數(shù)理方程第 3 章 3.2高維波動方程的初值問題

1、3.2 高維波動方程的初值問題3.2.1 三維波動方程的基爾霍夫公式上節(jié)我們討論了一維波動方程的初值問題，得到了達(dá)朗貝爾公式。對于三維波動方程，可用球面平均法形式地推出解的表達(dá)式。這表達(dá)式通常被稱為基爾霍夫公式?，F(xiàn)在，我們考察三維波動方程的初值問題(27)(28)其中與為已知函數(shù)。1(27)(28)首先，任意固定點(diǎn)表示以為球心，為半徑的球面。利用球坐標(biāo)，則球面上的點(diǎn)用表示球面的單位外法向，則球面上的點(diǎn)可簡單記作同時也可被看成單位球面上的點(diǎn)。因此，我們也記球面上的微元為球心，2(27)(28)此外，記表示以為球心，為半徑的球體，則在上的體積分用球坐標(biāo)可表示為現(xiàn)在引進(jìn)的球面平均數(shù)對上式兩邊對取極限

2、得3(27)(28)微積分里面的奧-高公式其中為簡單閉曲面外法向。所圍成的區(qū)域，是的單位可寫成散度形式4(27)(28)微積分里面的奧-高公式寫成散度形式為其中為簡單閉曲面外法向。所圍成的區(qū)域，是的單位現(xiàn)將方程(27)兩邊在上積分得5(27)(28)微積分里面的奧-高公式寫成散度形式為其中為簡單閉曲面外法向。所圍成的區(qū)域，是的單位現(xiàn)將方程(27)兩邊在上積分得6(27)(28)微積分里面的奧-高公式寫成散度形式為其中為簡單閉曲面外法向。所圍成的區(qū)域，是的單位現(xiàn)將方程(27)兩邊在上積分得7(27)(28)另一方面，利用則有8(27)(28)于是兩邊對求導(dǎo)得因此可得的通解為其中為二階可微函數(shù)。9

3、(27)(28)上式兩端分別對求導(dǎo)得(29)(30)上面的兩式中，令得在(29)(30)式中取得10(27)(28)在上式中取并代入可得11(27)(28)當(dāng)初始函數(shù)足夠光滑時，容易驗(yàn)證，由公式(31)所表示的函數(shù)確實(shí)是問題(27)(28)的解。(31)三維波動方程的泊松公式12例1求下列初值問題的解(31)解由公式(31)得13例1求下列初值問題的解解由公式(31)得(31)14(32)(33)(34)3.2.2 降維法用降維法求解二維波動方程的初值問題由于可把二維波動方程的初值問題看做是三維波動方程初值問題的特殊情況，故可用三維波動方程的泊松公式來表示二維波動方程初值問題的解，并由此導(dǎo)出二

4、維問題解的表示式的另外一種形式。一種由高維問題的解引出低維問題解的方法。15(35)(32)(33)(34)利用公式(31)可得二維波動方程初值問題(32)-(34)的解為這里的積分是在三維空間中的球面上進(jìn)行的。16(35)(32)(33)(34)由于及都是與無關(guān)的函數(shù)，因此在球面上的積分可以化為它在平面常數(shù)上的投影上的積分。由于球面上的面積元素和它的投影平面元素之間成立著如下的關(guān)系：17(35)(32)(33)(34)其中為這兩個面積元素法線方向間的夾角。因此有注意到上下半球面上的積分都化成同一圓上的積分，因此，應(yīng)取圓上的積分的2倍，18(35)(32)(33)(34)所以(36)19(32

5、)(33)(34)(36)上式稱為二維波動方程初值問題的泊松公式。由于積分區(qū)域是以為半徑的圓域。為中心，所以我們通常采用極坐標(biāo)來計(jì)算(36)式中的積分。20例2求下列問題的解解由公式(36)得(36)21(31)3.2.3 解的物理意義假設(shè)初始擾動僅發(fā)生在空間某個有限域內(nèi).在區(qū)域外任取一點(diǎn)我們考察在點(diǎn)處在各個不同時刻所受到初始擾動影響的情況.我們知道解在點(diǎn)和時刻的值是由初值函數(shù)在球面和上的值所決定,所以只有當(dāng)球面和區(qū)域相交時,(31)式中的積分才不為0，從而在區(qū)域外任取一點(diǎn)22(31)圖3.7用分別表示點(diǎn)到區(qū)域當(dāng)時，的最近和最遠(yuǎn)距離，如圖還有一段距離，積分為0，處所以該球面上的和這時擾動還未達(dá)

6、到點(diǎn)因而球面與區(qū)域值為0，和當(dāng)時，初始擾動在處于擾動狀態(tài)。積分的值一般不為0，此時點(diǎn)相交，球面一直與區(qū)域的值一般也不為0，那以瞬間達(dá)到點(diǎn)處。23(31)圖3.7用分別表示點(diǎn)到區(qū)域當(dāng)時，的最近和最遠(yuǎn)距離，如圖初始擾動區(qū)域開始又取零值，不再與它相交，和這說明擾動已經(jīng)越過了球面已越過了因此，在中任一點(diǎn)處的擾動引起的波以速度有界區(qū)域向周圍傳播，從中擾動影響的區(qū)域，秒時受到初始時刻區(qū)域點(diǎn)，點(diǎn)處恢復(fù)到原來的靜止?fàn)顟B(tài)。就是所有以為中心，因此，在中擾動影響的區(qū)域，秒時受到初始時刻區(qū)域就是所有以為中心，24(31)圖3.7因此，在中任一點(diǎn)處的擾動引起的波以速度有界區(qū)域向周圍傳播，中擾動影響的區(qū)域，秒時受到初始時

7、刻區(qū)域就是所有以為中心，為半徑的球面的全體。當(dāng)足夠大時，這種球面簇有內(nèi)外兩個包絡(luò)面。25(31)圖3.7當(dāng)足夠大時，這種球面簇有內(nèi)外兩個包絡(luò)面。外包絡(luò)面稱為傳播波的前陣面(簡稱波前)，內(nèi)包絡(luò)面稱為傳播波的后陣面(簡稱波后)。這前后陣面的中間部分就是受到初始擾動影響的部分。26(31)圖3.7前陣面以外的部分表示波尚未傳到的區(qū)域，而后陣面以內(nèi)的部分式波已傳過并恢復(fù)了原來狀態(tài)的區(qū)域。因此，當(dāng)初始擾動限制在空間某局部范圍內(nèi)時，波的傳播由清晰的前陣面和后陣面，現(xiàn)象在物理學(xué)中稱為惠更斯原理或無后效現(xiàn)象。這種27(31)圖3.7由于在點(diǎn) 這種現(xiàn)象在物理學(xué)中稱為惠更斯原理或無后效現(xiàn)象。時它的影響是在為中心，

8、為半徑的球面處的擾動，在以上，故解(31)稱為球面波。28(36)對于二維波動方程初值問題的解(36)也可作類似的討論。但有一點(diǎn)值得注意，由于積分是在這個圓域上進(jìn)行的，所以對任一點(diǎn)隨著時間的增加，由等于0變?yōu)椴坏扔?之后，就不會像空間情形那樣又由不等于0變?yōu)榈扔?了，但將從某一時刻起逐漸減小。所以二維情形與三維情形有明顯不同之處。29(36)對于二維問題，可以把它看作所給初始擾動坐標(biāo)的空間問題。對于二維情形，傳播波只有前陣面，而無后陣面，惠更斯原理不再成立。這種現(xiàn)象稱為波的彌散，或者說，這種波具有后效現(xiàn)象。是在一個無限長的柱體內(nèi)發(fā)生，而且不依賴于這樣在點(diǎn)處的初始擾動，應(yīng)看作是過點(diǎn)且平行于軸的無