人教B版選修(2-1)《平面的法向量與平面的向量表示》練習(xí)題

1、平面的法向量與平面的向量表示一、選擇題1下列命題中正確的是()A如果一條直線與平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條斜線垂直B如果一條直線與平面的一條斜線垂直，則它與斜線在平面上的射影垂直C如果一向量和斜線在平面內(nèi)的射影垂直，則它垂直于這條斜線D如果一非零向量和一平面平行，且和一條斜線垂直，則它垂直于斜線在平面內(nèi)的射影答案 D解析 由三垂線定理知D 成立2在正方體 ABCD A1B1C1D1 中，平面 ACB1 的一個法向量為 ()A.BD1B.DBC.BA1D.BB1答案 A3點 A(a,0,0)， B(0 ，b,0)， C(0,0， c)，則平面ABC 的一個法向量為()A (

2、bc， ac， ab)B (ac，ab， bc)C( bc， ab， ac)D (ab， ac， bc)答案A解析 設(shè)法向量為n (x， y， z)，則 ABn 0， ACn 0，則ax by 0n (bc， ac， ab)ax cz 0故選 A.4在正方體 ABCD A1B1C1D1 中，若 E 為 A1C1 的中點，則直線CE垂直于()AACB BDCA1DD A1A答案 B解析 直線 CE 在平面 AC 內(nèi)的射影為 AC，又 AC BD， BD CE，故選 B.5正方體 AC1 中， E，F(xiàn) 分別是 AB，CD 的中點，則下列直線中不互相垂直的是()AB1C與 C1D1B D1B 與 B

3、1CCD 1B 與 EFD A1 B 與 B1C1答案 C解析 D1B 與 EF 所成角等于 D 1BC，其余弦值為3，故選 C.36若平面 、 的法向量分別為u ( 2,3， 5)， v (3， 1,4)，則 ()A B C、相交但不垂直D以上均不正確答案 C解析 u ( 2,3， 5)， v (3， 1,4)，u 與 v 不平行且 u 與 v 不垂直，故選 C.7平面 的一個法向量為 v 1 (1,2,1) ，平面 的一個法向量v2 (2,4,2) ，則平面 與平面 ()A 平行B垂直C相交D不能確定答案 A解析 由 v1v 2 故可判定 .8設(shè)平面 的法向量為 (1,2， 2)，平面 的

4、法向量 ( 2， 4，k)，若 ，則 k ()A 2B 4C4D 2答案 C122解析 ， 2 4 k， k 4，故選 C.9若直線 l 的方向向量為a ( 1,0， 2)，平面 的法向量為 u(4,0,8) ，則 ()A l B l Cl ? D l 與 斜交答案 B解析 u 4a， u a， a ， l .故選 B.10在正方體ABCD A1B1C1D1 中， E、 F 分別是 BB1、 CD 的中點，則 ()A 面 AED 面 A1FD 1B面 AED 面 A1FD 1C面 AED 與面 A1FD 相交但不垂直D以上都不對答案B解析 1分別為 x， y， z 建立空間直角坐標(biāo)系求面AED

5、 的以 D 為原點， DA、 DC， DD法向量 n1 與面 A1FD 1 的法向量n2.n1n2 0， n1 n2， 平面 AED 平面 A1FD 1.二、填空題11若直線 l 與 的法向量分別是a (1,0， 2)， b( 1， 0,2)，則直線 l 與 的位置關(guān)系是 _答案 l 解析 ab， l .12已知 l ，且 l 的方向向量為 (2，m,1)，平面 的法向量為1，1， 2，則 m _.2答案 81解析 設(shè) a (2， m,1)， b (1， 2，2) l ， ab， 21m 2 0， m 8.213已知正四棱錐 (如圖所示 )，在向量 PAPBPC PD ，PA 的PC ，PB

6、PD， PA PB PC PD中，不能作為底面 ABCD法向量的向量是 _答案 PA PB PC PD解析 PA PB PC PDBA DC 0，不能作為這個平面的法向量，對其它三個化簡后可知均與PO共線而 PO 平面 ABCD ，它們可作為這個平面的法向量14如圖所示，已知矩形ABCD ， AB1， BC a， PA平面 ABCD ，若在 BC 上只有一個點Q 滿足 PQ QD ，則 a 的值等于 _答案 2解析 以 A 為原點，建立如圖所示坐標(biāo)系，則 A(0,0,0) ，B(1,0,0) ，D(0，a,0)，C(1，a,0) ，設(shè) Q(1，x,0)，P(0,0，z) ，PQ (1， x，z

7、)，QD( 1， a x,0)由 PQQD 0，得 1 x(ax) 0，即 x2 ax 1 0.2當(dāng) a 40，即 a 2 時， Q 只有一個15已知 ABC 的三個頂點坐標(biāo)分別為A(0,0,2) ，B(4,2,0) ，C(2,4,0) ，求平面 ABC 的單位法向量， 2)解析 AB (4,2，2)， AC (2,4設(shè) n(x，y， z)是平面 ABC 的單位法向量，則有|n|21，222x y z 1，? 2x y z 0，nAB0，x 2y z 0.nAC 0，取 z0 ，得 x y 1 ， z 3 .1111n 1 (1,1,3) 1116如圖所示， M、N、P 分別是正方體 ABCD

8、 A1B1C1 D1 中的棱CC1、 BC、CD 的中點求證： A1P平面 DMN .證明 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則 D(0,0,0) ， A1(2,0,2) ，P(0,1,0) ， M(0,2,1) ， N(1,2,0) 向量 A1P (0,1,0) (2,0,2) ( 2,1， 2)，DM (0,2,1) (0,0,0) (0,2,1) ， DN (1,2,0) A1PDM ( 2,1， 2) (0,2,1) ( 2) 01 2 ( 2) 1 0. 2) (1,2,0)A1PDN ( 2,1，( 2) 11 2 ( 2) 0 0. A1P DM， A1P DN，即

9、 A1P DM ，A1PDN，又 DM DN D，A1P 平面 DMN .17棱長為 a 的正方體ABCD A1B1C1D1 中，在棱 DD 1 上是否存在點 P 使 B1D 面 PAC?解析 以 D 為原點建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)存在點 P(0,0，z)，AP( a,0， z)，AC ( a，a,0)， DB 1(a，a，a)， B1D 面 PAC， DB1AP 0，DB1AC 0. a2 az0.z a，即點 P 與 D 1 重合點 P 與 D1 重合時， DB1 面 PAC.18如圖所示， ABCD 為矩形， PA平面 ABCD ，PAAD， M、N、Q 分別是 PC 、AB、CD 的中點，(1)求證： MN PAD；(2)求證：平面QMN 平面 PAD；(3)求證： MN 平面 PCD.解析 (1)如圖以 A 為原點，以AB，AD ，AP 所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) B(b,0,0)， D (0， d,0)， P(0,0， d)，則 C(b，d,0) M， N， Q 分別是 PC，AB ，CD 的中點，M b，d， d ， N b， 0， 0 ， Q b， d， 022222dd， MN 0，22 面 PAD 的一個法向量為m(1,0,0) MNm 0，即 MN m， MN 不在面 PAD 內(nèi)，MN 面 PAD，(2)