小學數(shù)學奧數(shù)方法講義40精講(四)

1、PAGE PAGE 358第三十一講 分解質因數(shù)法 通過把一個合數(shù)分解為兩個或兩個以上質因數(shù)，來解答應用題的解題方法叫做分解質因數(shù)法。分解質因數(shù)的方法在求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)時有用，在學習有理數(shù)的運算、因式分解、解方程等方面也有廣泛的應用。分解質因數(shù)的方法還可為一些數(shù)學問題提供新穎的解法，有益于開辟解題思路，啟迪創(chuàng)造性思維。例1 一塊正方體木塊，體積是1331立方厘米。這塊正方體木塊的棱長是多少厘米？（適于六年級程度）解：把1331分解質因數(shù)：1331=111111答：這塊正方體木塊的棱長是11厘米。例2 一個數(shù)的平方等于324，求這個數(shù)。（適于六年級程度）解：把324分解質因數(shù)：324=

2、223333=（233）（233）=1818答：這個數(shù)是18。例3 相鄰兩個自然數(shù)的最小公倍數(shù)是462，求這兩個數(shù)。（適于六年級程度）解：把462分解質因數(shù)：462=23711=（37）（211）=2122答：這兩個數(shù)是21和22。*例4 ABCD=1673，在這個乘法算式中，A、B、C、D代表不同的數(shù)字，ABC是一個三位數(shù)。求ABC代表什么數(shù)？（適于六年級程度）解：因為ABCD=1673，ABC是一個三位數(shù)，所以可把1673分解質因數(shù)，然后把質因數(shù)組合成一個三位數(shù)與另一個數(shù)相乘的形式，這個三位數(shù)就是ABC所代表的數(shù)。1673=2397答：ABC代表239。例5 一塊正方形田地，面積是2304

3、平方米，這塊田地的周長是多少米？（適于六年級程度）解：先把2304分解質因數(shù)，并把分解后所得的質因數(shù)分成積相同的兩組質因數(shù)，每組質因數(shù)的積就是正方形的邊長。2304=2222222233=（22223）（22223）=4848正方形的邊長是48米。這塊田地的周長是：484=192（米）答略。*例6 有3250個桔子，平均分給一個幼兒園的小朋友，剩下10個。已知每一名小朋友分得的桔子數(shù)接近40個。求這個幼兒園有多少名小朋友？（適于六年級程度）解：3250-10=3240（個）把3240分解質因數(shù)：3240=23345接近40的數(shù)有36、37、38、39這些數(shù)中36=2232，所以只有36是324

4、0的約數(shù)。23345（2232）=2325=90答：這個幼兒園有90名小朋友。*例7 105的約數(shù)共有幾個？（適于六年級程度）解：求一個給定的自然數(shù)的約數(shù)的個數(shù)，可先將這個數(shù)分解質因數(shù)，然后按一個質數(shù)、兩個質數(shù)、三個質數(shù)的乘積逐一由小到大寫出，再求出它的個數(shù)即可。因為，105=357，所以，含有一個質數(shù)的約數(shù)有1、3、5、7共4個；含有兩個質數(shù)的乘積的約數(shù)有35、37、57共3個；含有三個質數(shù)的乘積的約數(shù)有357共1個。所以，105的約數(shù)共有4+3+1=8個。答略。*例8 把15、22、30、35、39、44、52、77、91這九個數(shù)平均分成三組，使每組三個數(shù)的乘積都相等。這三組數(shù)分別是多少？

5、（適于六年級程度）解：將這九個數(shù)分別分解質因數(shù)：15=3522=21130=23535=5739=31344=221152=221377=71191=713觀察上面九個數(shù)的質因數(shù)，不難看出，九個數(shù)的質因數(shù)中共有六個2，三個3，三個5，三個7，三個11，三個13，這樣每組中三個數(shù)應包括的質因數(shù)有兩個2，一個3，一個5，一個7，一個11和一個13。由以上觀察分析可得這三組數(shù)分別是：15、52和77；22、30和91；35、39和44。答略。*例9 有四個學生，他們的年齡恰好一個比一個大一歲，他們的年齡數(shù)相乘的積是5040。四個學生的年齡分別是幾歲？（適于六年級程度）解：把5040分解質因數(shù)：504

6、0=22223357由于四個學生的年齡一個比一個大1歲，所以他們的年齡數(shù)就是四個連續(xù)自然數(shù)。用八個質因數(shù)表示四個連續(xù)自然數(shù)是：7，222，33，25即四個學生的年齡分別是7歲、8歲、9歲、10歲。答略。*例10 在等式35（ ）8127=718（ ）162的兩個括號中，填上適當?shù)淖钚〉臄?shù)。（適于六年級程度）解：將已知等式的兩邊分解質因數(shù)，得：5377（ ）=22367（ ）把上面的等式化簡，得：15（ ）=4（ ）所以，在左邊的括號內填4，在右邊的括號內填15。15（4）=4（15）答略。*例11 把84名學生分成人數(shù)相等的小組（每組最少2人），一共有幾種分法？（適于六年級程度）解：把84分解

7、質因數(shù)：84=2237除了1和84外，84的約數(shù)有：2，3，7，22=4，23=6，27=14，37=21，223=12，227=28，237=42。下面可根據(jù)不同的約數(shù)進行分組。842=42（組），843=28（組），844=21（組），846=14（組），847=12（組），8412=7（組），8414=6（組），8421=4（組），8428=3（組），8442=2（組）。因此每組2人分42組；每組3人分28組；每組4人分21組；每組6人分14組；每組7人分12組；每組12人分7組；每組14人分6組；每組21人分4組；每組28人分3組；每組42人分2組。一共有10種分法。答略。*例12 把

8、14、30、33、75、143、169、4445、4953這八個數(shù)分成兩組，每組四個數(shù)，要使各組數(shù)中四個數(shù)的乘積相等。求這兩組數(shù)。（適于六年級程度）解：要使兩組數(shù)的乘積相等，這兩組乘積中的每個因數(shù)不必相同，但這些因數(shù)經(jīng)分解質因數(shù)，它們所含有的質因數(shù)一定相同。因此，首先應把八個數(shù)分解質因數(shù)。14=27 143=111330=235 169=131333=311 4445=5712775=355 4953=313127在上面的質因式中，質因數(shù)2、7、11、127各有2個，質因數(shù)3、5、13各有4個。在把題中的八個數(shù)分為兩組時，應使每一組中的質因數(shù)2、7、11、127各有1個，質因數(shù)3、5、13各有

9、2個。按這個要求每一組四個數(shù)的積應是：271112733551313因為，（27）（355）（1113）（313127）根據(jù)接下來為“14、75、143、4953”正符合題意，因此，要求的一組數(shù)是14、75、143、4953，另一組的四個數(shù)是：30、33、169、4445。答略。*例13 一個長方形的面積是315平方厘米，長比寬多6厘米。求這個長方形的長和寬。（適于五年級程度）解：設長方形的寬為x厘米，則長為（x+6）厘米。根據(jù)題意列方程，得：x（x+6）= 315x（x+6）=3357=（35）（37）x（x+6）=1521x（x+6）=15（15+6）x=15x+

10、6=21答：這個長方形的長是21厘米，寬是15厘米。*例14 已知三個連續(xù)自然數(shù)的積為210，求這三個自然數(shù)各是多少？（適于五年級程度）解：設這三個連續(xù)自然數(shù)分別是x-1，x，x+1，根據(jù)題意列方程，得：（x-1）x（x+1）=210=2110=3725=567比較方程兩邊的因數(shù)，得：x=6，x-1=5，x+1=7。答：這三個連續(xù)自然數(shù)分別是5、6、7。*例15 將37分為甲、乙、丙三個數(shù)，使甲、乙、丙三個數(shù)的乘積為1440，并且甲、乙兩數(shù)的積比丙數(shù)的3倍多12，求甲、乙、丙各是幾？（適于六年級程度）解：把1440分解質因數(shù)：1440= 121210=22322325=（222）（33）（22

11、5）=8920如果甲、乙二數(shù)分別是8、9，丙數(shù)是20，則：89=72，203+12=72正符合題中條件。答：甲、乙、丙三個數(shù)分別是8、9、20。*例16 一個星期天的早晨，母親對孩子們說：“你們是否發(fā)現(xiàn)在你們中間，大哥的年齡等于兩個弟弟年齡之和？”兒子們齊聲回答說：“是的，我們的年齡和您年齡的乘積，等于您兒子人數(shù)的立方乘以1000加上您兒子人數(shù)的平方乘以10?！睆倪@次談話中，你能否確定母親在多大時，才生下第二個兒子？（適于六年級程度）解：由題意可知，母親有三個兒子。母親的年齡與三個兒子年齡的乘積等于：331000+3210=27090把27090分解質因數(shù)：27090=4375322根據(jù)“大哥

12、的年齡等于兩個弟弟年齡之和”，重新組合上面的質因式得：431495這個質因式中14就是9與5之和。所以母親43歲，大兒子14歲，二兒子9歲，小兒子5歲。43-9=34（歲）答：母親在34歲時生下第二個兒子。第三十二講 最大公約數(shù)法通過計算出幾個數(shù)的最大公約數(shù)來解題的方法，叫做最大公約數(shù)法。 例1 甲班有42名學生，乙班有48名學生，現(xiàn)在要把這兩個班的學生平均分成若干個小組，并且使每個小組都是同一個班的學生。每個小組最多有多少名學生？（適于六年級程度）解：要使每個小組都是同一個班的學生，并且要使每個小組的人數(shù)盡可能多，就要求出42和48的最大公約數(shù)：23=642和48的最大公約數(shù)是6。答：每個小

13、組最多能有6名學生。例2 有一張長150厘米、寬60厘米的長方形紙板，要把它分割成若干個面積最大，井已面積相等的正方形。能分割成多少個正方形？（適于六年級程度）解：因為分割成的正方形的面積最大，并且面積相等，所以正方形的邊長應是150和60的最大公約數(shù)。求出150和60的最大公約數(shù)：235=30150和60的最大公約數(shù)是30，即正方形的邊長是30厘米?？瓷厦娴亩坛街校?50、60除以2之后，再除以3、5，最后的商是5和2。這說明，當正方形的邊長是30厘米時，長方形的長150厘米中含有5個30厘米，寬60厘米中含有2個30厘米。所以，這個長方形能分割成正方形：52=10（個）答：能分割成10個

14、正方形。例3 有一個長方體的方木，長是3.25米，寬是1.75米，厚是0.75米。如果將這塊方木截成體積相等的小正方體木塊，并使每個小正方體木塊盡可能大。小木塊的棱長是多少？可以截成多少塊這樣的小木塊？（適于六年級程度）解：3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米，此題實際是求325、175和75的最大公約數(shù)。55=25325、175和75的最大公約數(shù)是25，即小正方體木塊的棱長是25厘米。因為75、175、325除以5得商15、35、65，15、35、65再除以5，最后的商是3、7、13，而小正方體木塊的棱長是25厘米，所以，在75厘米中包含3個25厘米，在175

15、厘米中包含7個25厘米，在325厘米中包含13個25厘米。可以截成棱長是25厘米的小木塊：3713=273（塊）答：小正方體木塊的棱長是25厘米，可以截成這樣大的正方體273塊。例4 有三根繩子，第一根長45米，第二根長60米，第三根長75米?，F(xiàn)在要把三根長繩截成長度相等的小段。每段最長是多少米？一共可以截成多少段？（適于六年級程度）解：此題實際是求三條繩子長度的最大公約數(shù)。35=1545、60和75的最大公約數(shù)是15，即每一小段繩子最長15米。因為短除式中最后的商是3、4、5，所以在把繩子截成15米這么長時，45米長的繩子可以截成3段，60米長的繩子可以截成4段，75米長的繩子可以截成5段。

16、所以有：3+4+5=12（段）答：每段最長15米，一共可以截成12段。例5 某校有男生234人，女生146人，把男、女生分別分成人數(shù)相等的若干組后，男、女生各剩3人。要使組數(shù)最少，每組應是多少人？能分成多少組？（適于六年級程度）解：因為男、女生各剩3人，所以進入各組的男、女生的人數(shù)分別是：234-3=231（人）男146-3=143（人）女要使組數(shù)最少，每一組的人數(shù)應當是最多的，即每一組的人數(shù)應當是231人和143人的最大公約數(shù)。231、143的最大公約數(shù)是11，即每一組是11人。因為231、143除以11時，商是21和13，所以男生可以分為21組，女生可以分為13組。21+13=34（組）答

17、：每一組應是11人，能分成34組。例6 把330個紅玻璃球和360個綠玻璃球分別裝在小盒子里，要使每一個盒里玻璃球的個數(shù)相同且裝得最多。一共要裝多少個小盒？（適于六年級程度）解：求一共可以裝多少個盒子，要知道紅、綠各裝多少盒。要將紅、綠分別裝在盒子中，且每個盒子里球的個數(shù)相同，裝的最多，則每盒球的個數(shù)必定是330和360的最大公約數(shù)。235=30330和360的最大公約數(shù)是30，即每盒裝30個球。33030=11（盒）紅球裝11盒36030=12（盒）綠球裝12盒11+12=23（盒）共裝23盒答略。例7 一個數(shù)除40不足2，除68也不足2。這個數(shù)最大是多少？（適于六年級程度）解：“一個數(shù)除4

18、0不足2，除68也不足2”的意思是：40被這個數(shù)除，不能整除，要是在40之上加上2，才能被這個數(shù)整除；68被這個數(shù)除，也不能整除，要是在68之上加上2，才能被這個數(shù)整除。看來，能被這個數(shù)整除的數(shù)是：40+2=42，68+2=70。這個數(shù)是42和70的公約數(shù)，而且是最大的公約數(shù)。27=14答：這個數(shù)最大是14。例8 李明昨天賣了三筐白菜，每筐白菜的重量都是整千克。第一筐賣了1.04元，第二筐賣了1.95元，第三筐賣了2.34元。每1千克白菜的價錢都是按當?shù)厥袌鲆?guī)定的價格賣的。問三筐白菜各是多少千克，李明一共賣了多少千克白菜？（適于六年級程度）解：三筐白菜的錢數(shù)分別是104分、195分、234分，

19、每千克白菜的價錢一定是這三個數(shù)的公約數(shù)。把104、195、234分別分解質因數(shù)：104=2313195=3513234=23213104、195、234最大的公有的質因數(shù)是13，所以104、195、234的最大公約數(shù)是13，即每千克白菜的價錢是0.13元。1.040.13=8（千克）第一筐1.950.13=15（千克）第二筐2.340.13=18（千克）第三筐8+15+18=41（千克）答：第一、二、三筐白菜的重量分別是8千克、15千克、18千克，李明一共賣了41千克白菜。例9 一個兩位數(shù)除472，余數(shù)是17。這個兩位數(shù)是多少？（適于六年級程度）解：因為這個“兩位數(shù)除472，余數(shù)是17”，所以

20、，472-17=455，455一定能被這個兩位數(shù)整除。455的約數(shù)有1、5、7、13、35、65、91和455，這些約數(shù)中35、65和91大于17，并且是兩位數(shù)，所以這個兩位數(shù)可以是35或65，也可以是91。答略。例10 把圖32-1的鐵板用點焊的方式焊在一個大的鐵制部件上，要使每個角必須有一個焊點，并且各邊焊點間的距離相等。最少要焊多少個點？（單位：厘米）（適于六年級程度）解：要求焊點最少，焊點間距就要最大；要求每個角有一個焊點，焊點間距離相等，焊點間距離就應是42厘米、24厘米、18厘米、36厘米的最大公約數(shù)。23=6它們的最大公約數(shù)是6，即焊點間距離為6厘米。焊點數(shù)為：7+4+3+6=2

21、0（個）按這個算法每個角上的焊點是兩個，因為要求每一個角上要有一個焊點，所以，要從20個焊點中減4個焊點。20-4=16（個）答略。第三十三講 最小公倍數(shù)法通過計算出幾個數(shù)的最小公倍數(shù)，從而解答出問題的解題方法叫做最小公倍數(shù)法。 例1 用長36厘米，寬24厘米的長方形瓷磚鋪一個正方形地面，最少需要多少塊瓷磚？（適于六年級程度）解：因為求這個正方形地面所需要的長方形瓷磚最少，所以正方形的邊長應是36、24的最小公倍數(shù)。22332=7236、24的最小公倍數(shù)是72，即正方形的邊長是72厘米。7236=27224=323=6（塊）答：最少需要6塊瓷磚。*例2 王光用長6厘米、寬4厘米、高3厘米的長方

22、體木塊拼最小的正方體模型。這個正方體模型的體積是多大？用多少塊上面那樣的長方體木塊？（適于六年級程度）解：此題應先求正方體模型的棱長，這個棱長就是6、4和3的最小公倍數(shù)。232=126、4和3的最小公倍數(shù)是12，即正方體模型的棱長是12厘米。正方體模型的體積為：121212=1728（立方厘米）長方體木塊的塊數(shù)是：1728（643）=172872=24（塊）答略。例3 有一個不足50人的班級，每12人分為一組余1人，每16人分為一組也余1人。這個班級有多少人？（適于六年級程度）解：這個班的學生每12人分為一組余1人，每16人分為一組也余1人，這說明這個班的人數(shù)比12與16的公倍數(shù)（50以內）多

23、1人。所以先求12與16的最小公倍數(shù)。2234=4812與16的最小公倍數(shù)是48。48+1=49（人）4950，正好符合題中全班不足50人的要求。答：這個班有49人。例4 某公共汽車站有三條線路通往不同的地方。第一條線路每隔8分鐘發(fā)一次車；第二條線路每隔10分鐘發(fā)一次車；第三條線路每隔12分鐘發(fā)一次車。三條線路的汽車在同一時間發(fā)車以后，至少再經(jīng)過多少分鐘又在同一時間發(fā)車？（適于六年級程度）解：求三條線路的汽車在同一時間發(fā)車以后，至少再經(jīng)過多少分鐘又在同一時間發(fā)車，就是要求出三條線路汽車發(fā)車時間間隔的最小公倍數(shù)，即8、10、12的最小公倍數(shù)。22253=120答：至少經(jīng)過120分鐘又在同一時間發(fā)

24、車。例5 有一筐雞蛋，4個4個地數(shù)余2個，5個5個地數(shù)余3個，6個6個地數(shù)余4個。這筐雞蛋最少有多少個？（適于六年級程度）解：從題中的已知條件可以看出.不論是4個4個地數(shù)，還是5個5個地數(shù)、6個6個地數(shù)，筐中的雞蛋數(shù)都是只差2個就正好是能被4、5、6整除的數(shù)。因為要求這筐雞蛋最少是多少個，所以求出4、5、6的最小公倍數(shù)后再減去2，就得到雞蛋的個數(shù)。2253=604、5、6的最小公倍數(shù)是60。60-2=58（個）答：這筐雞蛋最少有58個。*例6 文化路小學舉行了一次智力競賽。參加競賽的人中，平均每15人有3個人得一等獎，每8人有2個人得二等獎，每12人有4個人得三等獎。參加這次競賽的共有94人得

25、獎。求有多少人參加了這次競賽？得一、二、三等獎的各有多少人？（適于六年級程度）解：15、8和12的最小公倍數(shù)是120，參加這次競賽的人數(shù)是120人。得一等獎的人數(shù)是：3（12015）=24（人）得二等獎的人數(shù)是：2（1208）=30（人）得三等獎的人數(shù)是：4（12012）=40（人）答略。*例7 有一個電子鐘，每到整點響一次鈴，每走9分鐘亮一次燈。中午12點整時，電子鐘既響鈴又亮燈。求下一次既響鈴又亮燈是幾點鐘？（適于六年級程度）解：每到整點響一次鈴，就是每到60分鐘響一次鈴。求間隔多長時間后，電子鐘既響鈴又亮燈，就是求60與9的最小公倍數(shù)。60與9的最小公倍數(shù)是180。18060=3（小時）

26、由于是中午12點時既響鈴又亮燈，所以下一次既響鈴又亮燈是下午3點鐘。答略。*例8 一個植樹小組原計劃在96米長的一段土地上每隔4米栽一棵樹，并且已經(jīng)挖好坑。后來改為每隔6米栽一棵樹。求重新挖樹坑時可以少挖幾個？（適于六年級程度）解：這一段地全長96米，從一端每隔4米挖一個坑，一共要挖樹坑：964+1=25（個）后來，改為每隔6米栽一棵樹，原來挖的坑有的正好趕在6米一棵的坑位上，可不重新挖。由于4和6的最小公倍數(shù)是12，所以從第一個坑開始，每隔12米的那個坑不必挖。9612+1=9（個）96米中有8個12米，有8個坑是已挖好的，再加上已挖好的第一個坑，一共有9個坑不必重新挖。答略。例9 一項工程

27、，甲隊單獨做需要18天，乙隊單獨做需要24天。兩隊合作8天后，余下的工程由甲隊單獨做，甲隊還要做幾天？（適于六年級程度）解：由18、24的最小公倍數(shù)是72，可把全工程分為72等份。7218=4（份）是甲一天做的份數(shù)7224=3（份）是乙一天做的份數(shù)（4+3）8=56份）兩隊8天合作的份數(shù)72-56=16（份）余下工程的份數(shù)164=4（天）甲還要做的天數(shù)答略。*例10 甲、乙兩個碼頭之間的水路長234千米，某船從甲碼頭到乙碼頭需要9小時，從乙碼頭返回甲碼頭需要13小時。求此船在靜水中的速度？（適于高年級程度）解：9、13的最小公倍數(shù)是117，可以把兩碼頭之間的水路234千米分成117等份。每一份

28、是：234117=2（千米）靜水中船的速度占總份數(shù)的：（13+9）2=11（份）船在靜水中每小時行：211=22（千米）答略。*例11 王勇從山腳下登上山頂，再按原路返回。他上山的速度為每小時3千米，下山的速度為每小時5千米。他上、下山的平均速度是每小時多少千米？（適于六年級程度）解：設山腳到山頂?shù)木嚯x為3與5的最小公倍數(shù)。35=15（千米）上山用：153=5（小時）下山用：155=3（小時）總距離總時間=平均速度（152）（5+3）=3.75（千米）答：他上、下山的平均速度是每小時3.75千米。*例12 某工廠生產(chǎn)一種零件，要經(jīng)過三道工序。第一道工序每個工人每小時做50個；第二道工序每個工人

29、每小時做30個；第三道工序每個工人每小時做25個。在要求均衡生產(chǎn)的條件下，這三道工序至少各應分配多少名工人？（適于六年級程度）解：50、30、25三個數(shù)的最小公倍數(shù)是150。第一道工序至少應分配：15050=3（人）第二道工序至少應分配：15030=5（人）第三道工序至少應分配：15025=6（人）答略。第三十四講 解平均數(shù)問題的方法已知幾個不相等的數(shù)及它們的份數(shù)，求總平均值的問題，叫做平均數(shù)問題。 解答平均數(shù)問題時，要先求出總數(shù)量和總份數(shù)?？倲?shù)量是幾個數(shù)的和，總份數(shù)是這幾個數(shù)的份數(shù)的和。解答這類問題的公式是；總數(shù)量總份數(shù)=平均數(shù)例1 氣象小組在一天的2點、8點、14點、20點測得某地的溫度分

30、別是13攝氏度、16攝氏度、25攝氏度、18攝氏度。算出這一天的平均溫度。（適于四年級程度）解：本題可運用求平均數(shù)的解題規(guī)律“總數(shù)量總份數(shù)=平均數(shù)”進行計算。這里的總數(shù)量是指測得的四個溫度的和，即13攝氏度、16攝氏度、25攝氏度、18攝氏度的和；這里的總份數(shù)是指測量氣溫的次數(shù)，一天測量四次氣溫，所以總份數(shù)為4。（13+16+25+18）4=724=18（攝氏度）答：這一天的平均氣溫為18攝氏度。例2 王師傅加工一批零件，前3天加工了148個，后4天加工了167個。王師傅平均每天加工多少個零件？（適于四年級程度）解：此題的總數(shù)量是指前3天和后4天一共加工的零件數(shù)，總份數(shù)是指前、后加工零件的天數(shù)

31、之和。用總數(shù)量除以總份數(shù)，便求出平均數(shù)。前、后共加工的零件數(shù)：148+167=315（個）前、后加工零件共用的天數(shù)：3+4=7（天）平均每天加工的零件數(shù)：3157=45（個）綜合算式：（148+167）（3+4）3157=45（個）答：平均每天加工45個零件。例3 某工程隊鋪一段自來水管道。前3天每天鋪150米，后2天每天鋪200米，正好鋪完。這個工程隊平均每天鋪多少米？（適于四年級程度）解：本題的總數(shù)量是指工程隊前3天、后2天一共鋪自來水管道的米數(shù)?？偡輸?shù)是指鋪自來水管道的總天數(shù)。用鋪自來水管道的總米數(shù)除以鋪自來水管道的總天數(shù)，就可以求出平均每天鋪的米數(shù)。前3天鋪的自來水管道米數(shù)：1503=

32、450（米）后2天鋪的自來水管道米數(shù)：2002=400（米）一共鋪的自來水管道米數(shù)：450+400=850（米）一共鋪的天數(shù)：3+2=5（天）平均每天鋪的米數(shù)：8505=170（米）綜合算式：（1503+2002）（3+2）（450+400）58505170（米）答略。例4 有兩塊實驗田，第一塊有地3.5畝，平均畝產(chǎn)小麥480千克；第二塊有地1.5畝，共產(chǎn)小麥750千克。這兩塊地平均畝產(chǎn)小麥多少千克？（適于四年級程度）解：本題的總數(shù)量是指兩塊地小麥的總產(chǎn)量，總份數(shù)是指兩塊地的總畝數(shù)，用兩塊地的總產(chǎn)量除以兩塊地的總畝數(shù)，可求出兩塊地平均畝產(chǎn)小麥多少千克。3.5畝共產(chǎn)小麥：4803.5=1680（

33、千克）兩塊地總產(chǎn)量：1680+750=2430（千克）兩塊地的總畝數(shù)：3.5+1.5=5（畝）兩塊地平均畝產(chǎn)小麥：24305=486（千克）綜合算式：（4803.5+750）（3.5+1.5）（1680+750）524305=486（千克）答略。例5 東風機器廠，五月份上半月的產(chǎn)值是125.2萬元，比下半月的產(chǎn)值少70萬元。這個廠五月份平均每天的產(chǎn)值是多少萬元？（適于四年級程度）解：本題的總數(shù)量是指五月份的總產(chǎn)值。五月份上半月的產(chǎn)值是125.2萬元，比下半月的產(chǎn)值少70萬元，也就是下半月比上半月多70萬元，所以下半月產(chǎn)值為125.2+70=195.2（萬元）。把上半月的產(chǎn)值和下半月的產(chǎn)值相加，

34、求出五月份的總產(chǎn)值。本題的總份數(shù)是指五月份的實際天數(shù)。五月份為大月，共有31天。用五月份的總產(chǎn)值除以五月份的實際天數(shù)，可求出五月份平均每天的產(chǎn)值是多少萬元。下半月產(chǎn)值：125.2+70=195.2（萬元）五月份的總產(chǎn)值：125.2+195.2=320.4（萬元）五月份平均每天的產(chǎn)值：320.43110.3（萬元）綜合算式：（125.2+125.2+70）31=320.43110.3（萬元）答略。例6 崇光軸承廠六月上旬平均每天生產(chǎn)軸承527只，中旬生產(chǎn)5580只，下旬生產(chǎn)5890只。這個月平均每天生產(chǎn)軸承多少只？（適于四年級程度）解：本題的總數(shù)量是指六月份生產(chǎn)軸承的總只數(shù)，總份數(shù)是指六月份生產(chǎn)

35、軸承的總天數(shù)。用六月份生產(chǎn)軸承的總只數(shù)除以六月份的總天數(shù)，可求出六月份平均每天生產(chǎn)軸承數(shù)。六月上旬生產(chǎn)軸承的只數(shù)：52710=5270（只）六月中、下旬共生產(chǎn)軸承：5580+5890=11470(只）六月份共生產(chǎn)軸承：5270+11470=16740（只）六月份平均每天生產(chǎn)軸承：1674030=558（只）綜合算式：（52710+5580+5890）30=（5270+5580+5890）30=1674030=558（只）答略。例7 糖果店配混合糖，用每千克4.8元的奶糖5千克，每千克3.6元的軟糖10千克，每千克2.4元的硬糖10千克。這樣配成的混合糖，每千克應賣多少元？（適于四年級程度）解：

36、本題中的總數(shù)量是指三種糖的總錢數(shù)；總份數(shù)是指三種糖的總重量。總錢數(shù)除以總重量，可求出每千克混合糖應賣多少錢。三種糖總的錢數(shù)：4.85+3.610+2.410=24+36+24=84（元）三種糖的總的重量：5+10+10=25（千克）每千克混合糖應賣的價錢：8425=3.36（元）綜合算式：（4.85+3.610+2.410）(5+10+10）84253.36（元）答略。例8 一輛汽車從甲地開往乙地，在平地上行駛了2.5小時，每小時行駛42千米；在上坡路行駛了1.5小時，每小時行駛30千米；在下坡路行駛了2小時，每小時行駛45千米，就正好到達乙地。求這輛汽車從甲地到乙地的平均速度。（適于四年級程

37、度）解：本題中的總數(shù)量是由甲地到乙地的總路程：422.5+301.5+452=105+45+90=240（千米）本題中的總份數(shù)是由甲地到乙地所用的時間：2.5+1.5+2=6（小時）這輛汽車從甲地到乙地的平均速度是：2406=40（千米/小時）綜合算式：（422.5+301.5+452）（2.5+1.5+2）240640（千米/小時）答略。*例9 學校發(fā)動學生積肥支援農(nóng)業(yè)，三年級85人積肥3640千克，四年級92人比三年級多積肥475千克，五年級的人數(shù)比四年級多3人，積肥數(shù)比三年級多845千克。三個年級的學生平均每人積肥多少千克？（適于四年級程度）解：本題中的總數(shù)量是三個年級積肥的總重量。已知

38、三年級積肥3640千克。四年級積肥：3640+475=4115（千克）五年級積肥：3640+845=4485（千克）三個年級共積肥：3640+4115+4485=12240（千克）本題中的總份數(shù)就是三個年級學生的總人數(shù)。三年級學生人數(shù)是85人已知，四年級學生人數(shù)是92人已知，五年級學生人數(shù)是：92+3=95（人）三個年級學生的總人數(shù)是：85+92+95=272（人）三個年級的學生平均每人積肥：12240272=45（千克）綜合算式：（36403+475+845）（85+922+3）=12240272=45（千克）答略。例10 山上某鎮(zhèn)離山下縣城有60千米的路程。一人騎自行車從該鎮(zhèn)出發(fā)去縣城，每

39、小時行20千米。從縣城返回該鎮(zhèn)時，由于是上坡路，每小時只行了15千米。問此人往返一次平均每小時行了多少千米？（適于四年級程度）解：本題中的總數(shù)量是從某鎮(zhèn)到縣城往返一次的總路程：602=120（千米）總份數(shù)是往返一次用的時間：6020+6O15=3+4=7（小時）此人往返一次平均每小時行的路程是：120717.14（千米）綜合算式：602（6020+6015）120(3+4）120717.14（千米）答略。*例11 有兩塊棉田，平均畝產(chǎn)皮棉91.5千克。已知一塊田是3畝，平均畝產(chǎn)皮棉104千克。另一塊田是5畝，求這塊田平均畝產(chǎn)皮棉多少千克？（適于四年級程度）解：兩塊棉田皮棉的總產(chǎn)量是：91.5（

40、3+5）=732（千克）3畝的那塊棉田皮棉的產(chǎn)量是：1043=312（千克）另一塊棉田皮棉的平均畝產(chǎn)量是：（732-312）5420584（千克）綜合算式：91.5（3+5）-10435732-3125420584（千克）答略。*例12 王伯伯釣魚，前4天共釣了36條，后6天平均每天比前4天多釣了5條。問王伯伯平均每天釣魚多少條？（適于四年級程度）解（1）：題中前4天共釣36條已知，后6天共釣魚：（364+5）6=146=84（條）一共釣魚的天數(shù)是：4+6=10（天）10天共釣魚：36+84=120（條）平均每天釣魚：12010=12（條）綜合算式：36+（364+5）6（4+6）=36+84

41、10=12010=12（條）答略。解（2）：這道題除用一般方法解之外，還可將后6天多釣的魚按10天平均后，再加上原來4天的平均釣魚數(shù)。（56）（4+6）+364=3+9=12（條）答：王伯伯平均每天釣魚12條。例13 一個小朋友爬山，上山速度為每小時2千米，到達山頂后立即按原路下山，下山速度為每小時6千米。這個小朋友上、下山的平均速度是多少？（適于四年級程度）解：本題的總數(shù)量是上山、下山的總路程，題中沒有說總路程是多少。假設上山的路程是1千米，那么下山的路程也是1千米，上山、下山的總路程是2千米。本題的總份數(shù)是上山、下山總共用的時間。上山、下山總共用的時間是：所以，上山、下山的平均速度是：答略

42、。例14 某廠一、二月份的平均產(chǎn)值是1.2萬元，三月份的產(chǎn)值比第一季度的平均月產(chǎn)值還多0.4萬元。這個工廠三月份的產(chǎn)值是多少萬元？（適于四年級程度）解：此題數(shù)量關系比較隱蔽，用“總數(shù)量總份數(shù)”的方法做不出來。作圖（34-1）。從圖34-1可以看出，一、二月份的平均產(chǎn)值都是1.2萬元。題中說“三月份的產(chǎn)值比第一季度的平均月產(chǎn)值還多0.4萬元”，那么三月份的產(chǎn)值一定比一、二月份的平均產(chǎn)值要高，所以圖34-1中表示三月份產(chǎn)值的線段比表示一、二月份平均產(chǎn)值的線段長。第一季度的平均產(chǎn)值是多少萬元呢？我們用“移多補少”的方法，把圖34-1中三月份的0.4萬元平均分成2份，分別加到一、二月份的產(chǎn)值上，這樣就

43、得到第一季度的平均產(chǎn)值了。1.2+0.42=1.4（萬元）因為三月份的產(chǎn)值比第一季度的平均月產(chǎn)值還多0.4萬元，所以三月份的產(chǎn)值是：1.4+0.4=1.8（萬元）綜合算式：1.2+0.42+0.4=1.4+0.4=1.8（萬元）答略。*例15 蘋果2千克賣2元錢，梨3千克賣2元錢。把每一筐15千克的梨、蘋果各一筐摻到一起，按2元錢2.5千克來賣，是掙錢，還是賠錢？按照前面的標準價計算差了多少元？（適于四年級程度）解：蘋果的單價是每1千克1元錢，梨的單價是每1千克2/3元，混合后每1千克混合水果的價錢應當是：因為是把每一筐15千克的梨、蘋果各一筐摻合到一起，所以混合的水果一共是30千克，這30千

44、克水果要少賣錢：答：混合后是賠錢，照標準價差了1元錢。*例16 三塊小麥實驗田的平均畝產(chǎn)量是267.5千克。已知第一塊地是3畝，平均畝產(chǎn)量是275千克；第二塊是5畝，平均畝產(chǎn)量是285千克；而第三塊地的平均畝產(chǎn)量只有240千克。第三塊地是多少畝？（適于四年級程度）解：第三塊地的畝產(chǎn)量比總平均畝產(chǎn)量低：267.5-240=27.5（千克）每畝低27.5千克，需要第一、二兩塊地可拿出多少千克來填補呢？（275-267.5）3+（285-267.5）5=7.53+17.55=22.5+87.5=110（千克）110千克中含有多少個27.5千克，第三塊地就是多少畝。11027.5=4（畝）綜合算式：（

45、275-267.5）3+（285-267.5）5（267.5-240）=22.5+87.527.5=11027.5=4（畝）答：第三塊地是4畝。第三十五講 解行程問題的方法已知速度、時間、距離三個數(shù)量中的任何兩個，求第三個數(shù)量的應用題，叫做行程問題。 解答行程問題的關鍵是，首先要確定運動的方向，然后根據(jù)速度、時間和路程的關系進行計算。行程問題的基本數(shù)量關系是：速度時間=路程路程速度=時間路程時間=速度行程問題常見的類型是：相遇問題，追及問題（即同向運動問題），相離問題（即相背運動問題）。（一）相遇問題兩個運動物體作相向運動或在環(huán)形跑道上作背向運動，隨著時間的發(fā)展，必然面對面地相遇，這類問題叫做

46、相遇問題。它的特點是兩個運動物體共同走完整個路程。小學數(shù)學教材中的行程問題，一般是指相遇問題。相遇問題根據(jù)數(shù)量關系可分成三種類型：求路程，求相遇時間，求速度。它們的基本關系式如下：總路程=（甲速+乙速）相遇時間相遇時間=總路程（甲速+乙速）另一個速度=甲乙速度和-已知的一個速度1.求路程（1）求兩地間的距離例1 兩輛汽車同時從甲、乙兩地相對開出，一輛汽車每小時行56千米，另一輛汽車每小時行63千米，經(jīng)過4小時后相遇。甲乙兩地相距多少千米？（適于五年級程度）解：兩輛汽車從同時相對開出到相遇各行4小時。一輛汽車的速度乘以它行駛的時間，就是它行駛的路程；另一輛汽車的速度乘以它行駛的時間，就是這輛汽車

47、行駛的路程。兩車行駛路程之和，就是兩地距離。564=224（千米）634=252（千米）224+252=476（千米）綜合算式：564+634=224+252=476（千米）答略。例2 兩列火車同時從相距480千米的兩個城市出發(fā)，相向而行，甲車每小時行駛40千米，乙車每小時行駛42千米。5小時后，兩列火車相距多少千米？（適于五年級程度）解：此題的答案不能直接求出，先求出兩車5小時共行多遠后，從兩地的距離480千米中，減去兩車5小時共行的路程，所得就是兩車的距離。480-（40+42）5=480-825=480-410=70（千米）答：5小時后兩列火車相距70千米。例3 甲、乙二人分別從A、B兩

48、地同時相向而行，甲每小時行5千米，乙每小時行4千米。二人第一次相遇后，都繼續(xù)前進，分別到達B、A兩地后又立即按原速度返回。從開始走到第二次相遇，共用了6小時。A、B兩地相距多少千米？（適于五年級程度）解：從開始走到第一次相遇，兩人走的路程是一個AB之長；而到第二次相遇，兩人走的路程總共就是3個AB之長（圖35-1），這三個AB之長是： （5+4）6=54（千米）所以，A、B兩地相距的路程是：543=18（千米）答略。例4 兩列火車從甲、乙兩地同時出發(fā)對面開來，第一列火車每小時行駛60千米，第二列火車每小時行駛55千米。兩車相遇時，第一列火車比第二列火車多行了20千米。求甲、乙兩地間的距離。（適

49、于五年級程度）解：兩車相遇時，兩車的路程差是20千米。出現(xiàn)路程差的原因是兩車行駛的速度不同，第一列火車每小時比第二列火車多行（60-55）千米。由此可求出兩車相遇的時間，進而求出甲、乙兩地間的距離。（60+55）20（60-55）=115205=460（千米）答略。*例5 甲、乙二人同時從A、B兩地相向而行，甲每小時走6千米，乙每小時走5千米，兩個人在距離中點1.5千米的地方相遇。求A、B兩地之間的距離。（適于五年級程度）解：由題意可知，當二人相遇時，甲比乙多走了1.52千米（圖35-2），甲比乙每小時多行（6-5）千米。由路程差與速度差，可求出相遇時間，進而求出A、B兩地之間的距離。（6+5

50、）1.52（6-5）=111.521=113=33（千米）答略。由兩車“在離中點2千米處相遇”可知，甲車比乙車少行：22=4（千米）所以，乙車行的路程是：甲車行的路程是：A、B兩站間的距離是：24+20=44（千米）答略。同普通客車相遇。甲、乙兩城間相距多少千米？（適于六年級程度）快車從乙城開出，普通客車與快車相對而行。已知普通客車每小時行60千米，快車每小時行80千米，可以求出兩車速度之和。又已知兩車相遇時間，可以按“速度之和相遇時間”，求出兩車相對而行的總行程。普通客車已行駛普通客車與快車速度之和是：60+80=140（千米/小時）兩車相對而行的總路程是：1404=560（千米）兩車所行的

51、總路程占全程的比率是：甲、乙兩城之間相距為：綜合算式：答略。2）求各行多少 例1 兩地相距37.5千米，甲、乙二人同時從兩地出發(fā)相向而行，甲每小時走3.5千米，乙每小時走4千米。相遇時甲、乙二人各走了多少千米？（適于五年級程度）解：到甲、乙二人相遇時所用的時間是：37.5（3.5+4）=5（小時）甲行的路程是：3.55=17.5（千米）乙行的路程是：45=20（千米）答略。例2 甲、乙二人從相距40千米的兩地同時相對走來，甲每小時走4千米，乙每小時走6千米。相遇后他們又都走了1小時。兩人各走了多少千米？（適于五年級程度）解：到甲、乙二人相遇所用的時間是：40（4+6）=4（小時）由于他們又都走

52、了1小時，因此兩人都走了：4+1=5（小時）甲走的路程是：45=20（千米）乙走的路程是：65=30（千米）答略。例3 兩列火車分別從甲、乙兩個火車站相對開出，第一列火車每小時行48.65千米，第二列火車每小時行47.35千米。在相遇時第一列火車比第二列火車多行了5.2千米。到相遇時兩列火車各行了多少千米？（適于五年級程度）解：兩車同時開出，行的路程有一個差，這個差是由于速度不同而形成的。可以根據(jù)“相遇時間=路程差速度差”的關系求出相遇時間，然后再分別求出所行的路程。從出發(fā)到相遇所用時間是：5.2（48.65-47.35）=5.21.3=4（小時）第一列火車行駛的路程是：48.654=194.

53、6（千米）第二列火車行駛的路程是：47.354=189.4（千米）答略。*例4 東、西兩車站相距564千米，兩列火車同時從兩站相對開出，經(jīng)6小時相遇。第一列火車比第二列火車每小時快2千米。相遇時這兩列火車各行了多少千米？（適于五年級程度）解：兩列火車的速度和是：5646=94（千米/小時）第一列火車每小時行：（94+2）2=48（千米）第二列火車每小時行：48-2=46（千米）相遇時，第一列火車行：486=288（千米）第二列火車行：466=276（千米）答略。2.求相遇時間例1 兩個城市之間的路程是500千米，一列客車和一列貨車同時從兩個城市相對開出，客車的平均速度是每小時55千米，貨車的平

54、均速度是每小時45千米。兩車開了幾小時以后相遇？（適于五年級程度）解：已知兩個城市之間的路程是500千米，又知客車和貨車的速度，可求出兩車的速度之和。用兩城之間的路程除以兩車的速度之和可以求出兩車相遇的時間。500（55+45）=500100=5（小時）答略。例2 兩地之間的路程是420千米，一列客車和一列貨車同時從兩個城市答略。例3 在一次戰(zhàn)役中，敵我雙方原來相距62.75千米。據(jù)偵察員報告，敵人已向我處前進了11千米。我軍隨即出發(fā)迎擊，每小時前進6.5千米，敵人每小時前進5千米。我軍出發(fā)幾小時后與敵人相遇？（適于五年級程度）解：此題已給出總距離是62.75千米，由“敵人已向我處前進了11千

55、米”可知實際的總距離減少到（62.75-11）千米。（62.75-11）（6.5+5）=51.7511.5=4.5（小時）答：我軍出發(fā)4.5小時后與敵人相遇。例4 甲、乙兩地相距200千米，一列貨車由甲地開往乙地要行駛5小時；一列客車由乙地開往甲地需要行駛4小時。如果兩列火車同時從兩地相對開出，經(jīng)過幾小時可以相遇？（得數(shù)保留一位小數(shù)）（適于五年級程度）解：此題用與平常說法不同的方式給出了兩車的速度。先分別求出速度再求和，根據(jù)“時間=路程速度”的關系，即可求出相遇時間。200（2005+2004）=200（40+50）=200902.2（小時）答：兩車大約經(jīng)過2.2小時相遇。例5 在復線鐵路上，

56、快車和慢車分別從兩個車站開出，相向而行?？燔囓嚿黹L是180米，速度為每秒鐘9米；慢車車身長210米，車速為每秒鐘6米。從兩車頭相遇到兩車的尾部離開，需要幾秒鐘？（適于五年級程度）解：因為是以兩車離開為準計算時間，所以兩車經(jīng)過的路程是兩個車身的總長。總長除以兩車的速度和，就得到兩車從相遇到車尾離開所需要的時間。（180+210）（9+6）=39015=26（秒）答略。3.求速度例1 甲、乙兩個車站相距550千米，兩列火車同時由兩站相向開出，5小時相遇。快車每小時行60千米。慢車每小時行多少千米？（適于五年級程度）解：先求出速度和，再從速度和中減去快車的速度，便得出慢車每小時行：5505-60=1

57、10-60=50（千米）答略。例2 A、B兩個城市相距380千米?？蛙嚭拓涇噺膬蓚€城市同時相對開出，經(jīng)過4小時相遇。貨車比客車每小時快5千米。這兩列車每小時各行多少千米？（適于五年級程度）解：客車每小時行：（3804-5）2=（95-5）2=45（千米）貨車每小時行：45+5=50（千米）答略。例3 甲、乙兩個城市相距980千米，兩列火車由兩城市同時相對開出，經(jīng)過10小時相遇?？燔嚸啃r行50千米，比慢車每小時多行多少千米？（適于五年級程度）解：兩城市的距離除以兩車相遇的時間，得到兩車的速度和。從兩車的速度和中減去快車的速度，得到慢車的速度。再用快車速度減去慢車的速度，即得到題中所求。50-（

58、98010-50）=50-（98-50）=50-48=2（千米）答略。例4 甲、乙兩地相距486千米，快車與慢車同時從甲、乙兩地相對開出，經(jīng)過6小時相遇。已知快車與慢車的速度比是54。求快車和慢車每小時各行多少千米？（適于六年級程度）兩車的速度和是：4866=81（千米/小時）快車每小時行：慢車每小時行：答略。例5 兩輛汽車同時從相距465千米的兩地相對開出，4.5小時后兩車還相距120千米。一輛汽車每小時行37千米。另一輛汽車每小時行多少千米？（適于五年級程度）解：如果兩地間的距離減少120千米，4.5小時兩車正好相遇。也就是兩車4.5小時行465-120=345千米，345千米除以4.5小

59、時，可以求出兩車速度之和。從速度之和減去一輛車的速度，得到另一輛車的速度。答略。例6 甲、乙兩人從相距40千米的兩地相向而行。甲步行，每小時走5千米，先出發(fā)0.8小時。乙騎自行車，騎2小時后，兩人在某地相遇。乙騎自行車每小時行多少千米？（適于五年級程度）解：兩人相遇時，甲共走：0.8+2=2.8（小時）甲走的路程是：52.8=14（千米）乙在2小時內行的路程是：40-14=26（千米）所以，乙每小時行：262=13（千米）綜合算式：40-5（0.8+2）2=40-52.82=40-142=262=13（千米）答略。例7 甲、乙二人從相距50千米的兩地相對而行。甲先出發(fā)，每小時步行5千米。1小時

60、后乙騎自行車出發(fā)，騎了2小時，兩人相距11千米。乙每小時行駛多少千米？（適于五年級程度）解：從相距的50千米中，去掉甲在1小時內先走的5千米，又去掉相隔的11千米，便得到：50-5-11=34（千米）這時，原題就改變成“兩地相隔34千米，甲、乙二人分別從兩地同時相對而行。甲步行，乙騎自行車，甲每小時走5千米。經(jīng)過2小時兩人相遇。乙每小時行多少千米？”由此可知，二人的速度和是：342=17（千米/小時）乙每小時行駛的路程是：17-5=12（千米）綜合算式：（50-5-11）2-5=342-5=17-5=12（千米）答略。（二）追及問題追及問題的地點可以相同（如環(huán)形跑道上的追及問題），也可以不同，