考慮剪切變形影響的L形柱單元剛度矩陣

1、 PAGE 7考慮剪切變形影響的L形柱單元剛度矩陣秦 力1,2, 姜鳳龍3, 顧祥林1, 王 瑜3(1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院 上海 200092; 2.東北電力大學(xué) 建筑工程學(xué)院 吉林吉林 132012;3.東北電力設(shè)計院 大連分院 遼寧大連 116021)摘 要：通過分析等肢L形截面柱的受力性能,在非慣性軸坐標(biāo)系下,建立了考慮剪切變形及形心與剪切中心不重合影響下的L形截面柱單元剛度矩陣,并編寫了L形截面柱框架結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析的有限元程序。通過某三層框架結(jié)構(gòu)算例,將所編程序的計算結(jié)果與ANSYS軟件分析結(jié)果及采用異形柱剛度等效的計算結(jié)果進(jìn)行了比較,得出L形柱的剪切變形與等效矩形柱的剪切變形差異較

2、大及考慮扭轉(zhuǎn)效應(yīng)對L形柱的扭矩影響較大的結(jié)論。關(guān)鍵詞：L形截面柱;抗側(cè)移剛度;剪切變形;單元剛度矩陣中圖分類號：TU311.1；TU375.3 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：0253-374 X (2009)10Element Stiffness Matrix for L-shaped Columns Considering Shear Deformation EffectsQin Li1,2,Jiang feng-long3 ,Gu xiang-lin1,Wang Yu3(1.School of Civil Engineering,Tongji University, Shanghai 2000

3、92; 2.School of Architectural and Civil Engineering, Northeast Dianli University, Jilin 132012; 3. Northeast Electric Power Design Institute of Dalian Branch,Dalian 116021)Abstract：In non-inertial coordinate system, the L -shaped columns element stiffness matrix was derived from the study of load-be

4、aring capacity of the L-shaped columns considering shear deformation effects. Using the matrix, a finite element program of L-shaped column frame structure internal forces analysis was compiled. Final calculated a 3-layer frame structure and compared to ANSYS calculation results and the calculation

5、results of equivalent rectangular columns,the following conclusions was drew: Shear deformation of the L-shaped column is greatly different from that of equivalent rectangular column; whether to consider the effects of reverse or not has great influence on the torque of L-shaped column.Keywords： L-s

6、haped columns；lateral stiffness；shear deformation；element stiffness matrix 近年來，在高層建筑結(jié)構(gòu)中，鋼筋混凝土異形柱框架結(jié)構(gòu)以其較好的經(jīng)濟(jì)效益、較佳的建筑功能得到了廣泛應(yīng)用。異形柱構(gòu)件受力性能和變形狀態(tài)都不同于矩形柱1-2。在計算異形柱框架抗側(cè)移剛度時，結(jié)構(gòu)設(shè)計軟件3先求出L形柱主形心慣性矩，然后利用材料力學(xué)經(jīng)典公式，求出L形截面在主軸的慣性矩和方向角，并建立主軸的單元剛度矩陣及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，與梁單元剛度、墻單元剛度一起參與結(jié)構(gòu)的整體分析。文獻(xiàn)4將L形柱按截面形心等效為在結(jié)構(gòu)平面內(nèi)相互垂直的兩個主軸方向抗彎剛度相等的矩

7、形柱，換算后的截面面積增大，因此軸壓比限制更加嚴(yán)格，并應(yīng)適當(dāng)加大縱向鋼筋最小配筋率。文獻(xiàn)5利用L形柱的截面慣性矩和慣性積推導(dǎo)出在非慣性軸坐標(biāo)系下異形截面空間桿單元剛度矩陣，但未考慮剪切變形、形心與剪切中心不重合的影響。在經(jīng)典梁理論中，矩形截面構(gòu)件在慣性軸坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣中添加剪切變形影響系數(shù)來近似考慮剪切變形的影響，但對于L形截面柱不再適用，為了計算方便、直觀，本文在非慣性軸坐標(biāo)系下建立考慮剪切變形、形心與剪切中心不重合影響的L形截面空間桿單元剛度矩陣，并編制C語言有限元程序。然后選取算例進(jìn)行靜力分析，并與ANSYS軟件分析結(jié)果及異形柱剛度等效后的計算結(jié)果進(jìn)行對比分析。1 推導(dǎo)非對稱彎曲

8、正應(yīng)力和剪應(yīng)力公式1.1 正應(yīng)力公式推導(dǎo)收稿日期：2008-10-28基金項目：吉林省教育廳科技計劃資助項目（200630），吉林市科技發(fā)展計劃資助項目（200702）作者簡介：秦力(1970),男,教授,工學(xué)博士,主要研究方向為高層結(jié)構(gòu)設(shè)計理論與應(yīng)用研究.E-mail:L形柱橫截面的中性軸用直線n-n表示，且其具體位置尚未確定。設(shè)x軸為L形柱的軸線，y，z軸為橫截面上任意一對互相垂直的形心軸，如圖1所示。任一橫截面上的彎矩M及其在y，z軸上的分量My和Mz均用矢量表示。 圖1 平面示意圖 圖2 空間示意圖 Fig.1 Plane schematic diagram Fig.2 Schemat

9、ic diagram of space 對非對稱純彎曲受力狀態(tài)，平截面假定依然成立，且橫截面上各點均處于單軸應(yīng)力狀態(tài)6。當(dāng)材料在線彈性范圍內(nèi)工作，且材料的拉、壓彈性模量相同時，橫截面上任意一點的正應(yīng)力為： (1)式中：E為材料的彈性模量；為橫截面上任意一點到中性軸的距離；為柱變形后中性層的曲率。由靜力學(xué)關(guān)系，可得 (2) (3)式中：A為橫截面面積。將式（1）代入式（2），得 (4) 顯然，因而必有。 由此可見，在非對稱純彎曲時，中性軸n-n仍然通過橫截面的形心，如圖1所示。設(shè)中性軸n-n與y軸間的夾角為，則 (5) 中性層在柱彎曲后所形成的曲面如圖2所示，將，代入式（1），得 (6) 將式（

10、6）代入式（3），并根據(jù)截面幾何參數(shù)的定義，可得 (7) (8)聯(lián)立以上兩式，得 (9) 將式（9）代入式（6），即得非對稱純彎曲狀態(tài)下L形柱橫截面上任一點正應(yīng)力的表達(dá)式為 (10) 式中： ，分別為橫截面對y軸，z軸的慣性矩；為對y軸，z軸的慣性積。當(dāng)=0時， (11)當(dāng)=0時， (12)式中： ；。 L形柱在或作用下，既有沿y軸的變形，又有沿z軸的變形，受力性質(zhì)表現(xiàn)為雙向彎曲。1.2 推導(dǎo)Z軸截面的平均剪應(yīng)變和剪切變形系數(shù)假定L形柱橫截面上各點處的剪應(yīng)力均與Z軸平行，如圖3，O為截面形心，y1、y2為截面的右、左邊界，z1、z2為截面的上、下邊界。取單元體為研究對象，X方向力的平衡條件為：

11、 (13)將式（11）代入式（13）得當(dāng)時， (14) （a） （b）圖3 桿單元截面切片F(xiàn)ig.3 Sectional slices of link element當(dāng)時， (15) (16)對式（14）、（15）取積分并代入式（16）得截面平均剪應(yīng)力計算公式為 (17)式中：當(dāng)時，；當(dāng)時，；。計算荷載作用下結(jié)構(gòu)的彈性位移時，Z軸方向上的平均剪應(yīng)變?yōu)?(18)對于等肢L形柱而言 (19)顯然，剪切變形系數(shù)。2 建立L形柱在非主慣性軸坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣2.1 建立L形柱非主慣性軸坐標(biāo)系在空間框架中任選一個桿單元，取形心軸為，任意一對通過橫截面形心的坐標(biāo)軸分別為軸，軸，軸的方向按右手定則確定。

12、空間桿單元的兩端分別與結(jié)點i和j相連接。 在局部坐標(biāo)系下L形截面空間桿單元的桿端位移列陣為 (20) 桿端力列陣為 (21) 兩者之間關(guān)系為 。式中：為軸向位移；，分別為橫向位移；為桿件的扭轉(zhuǎn)角；，分別為桿件繞軸和軸彎曲時的扭轉(zhuǎn)角；為桿單元的軸力；，分別為沿軸和軸作用的剪力；，為作用在桿端的力偶矩。力偶矩和角位移的指向符合右手定則。2.2 建立L形截面空間桿單元剛度矩陣2.2.1軸力 (22)式中：h為柱高。2.2.2彎矩 在，作用下，柱在y、z方向上的曲率為，。由單位荷載法，考慮剪切變形影響，得L形柱兩端有相對位移時的桿端彎矩為 (23) (24) (25) (26)式中： ；。2.2.3剪

13、力根據(jù)桿端剪力和桿端彎矩的關(guān)系得單元桿端剪力為 (27)2.2.4扭矩 (28)綜上分析，得到非主慣性軸坐標(biāo)系下L形截面空間桿單元剛度矩陣為式中：；J為桿件截面抗扭慣性矩。當(dāng)截面慣性積時，即為在形心慣性主軸坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣。當(dāng)時，即為不考慮剪切變形影響的剛度矩陣。2.2.5附加扭轉(zhuǎn)變形L形柱的桿端剪力作用在桿端截面的剪切中心上，需要轉(zhuǎn)換為作用在形心上的剪力和附加扭轉(zhuǎn)力偶矩。設(shè)轉(zhuǎn)換后的桿端力列陣為，如圖4所示，則荷載轉(zhuǎn)換矩陣為 使得。 圖4 框架編號及節(jié)點荷載布置 Fig.4 Frame number and loading layout3 實例分析 本算例是一個三層框架，L形柱截面尺寸為

14、700200，梁截面尺寸為400200，混凝土均為C35，縱梁的線荷載為30kNm-1，橫梁的線荷載為36kNm-1，節(jié)點荷載水平方向為40kN，豎直方向為20kN，見圖6。ANSYS軟件采用能夠考慮剪切變形和形心與剪切中心不重合影響的Timoshenko梁理論的Beam189單元模擬桿件，BEAM189單元建模與自編程序建模中的幾何參數(shù)、荷載完全相同。3.1 L形柱的扭轉(zhuǎn)效應(yīng) 按L形柱主慣性矩相等的原則，改變柱肢長厚比（梁截面不變），利用自編程序計算頂層位移和柱編號為4的L形柱的扭矩，并與ANSYS分析結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果見表1?？梢钥闯觯豢紤]形心與剪切中心不重合影響時，柱的扭矩幾乎為零；考

15、慮時，扭矩隨柱肢長厚比增大，扭轉(zhuǎn)效應(yīng)加劇，故在設(shè)計中不宜采用柱肢長厚比過大的L形柱。考慮與不考慮剪切變形、形心與剪切中心不重合影響，頂層位移相差不大。表1 L形柱的扭矩和側(cè)移Tab. 1 Torque and lateral displacement of L-shaped columns肢長厚比桿端扭矩/(kNm)頂層位移/(mm)ANSYS不重合重合ANSYS不重合重合2.02397.82363.22.59010.89510.9089810.908962.54464.54427.52.88611.00911.0663311.066303.06189.56126.22.84311.09011

16、.2121511.212103.57578.67491.72.66711.20311.3659611.365894.08703.88599.72.44811.30511.5099711.509904.59629.19514.72.22011.39711.6436111.643535.010406.010287.52.00211.47111.7567311.756656.011635.011522.21.61311.60211.9582011.958103.2 剛度等效 有很多學(xué)者通過剛度等效原則將異形柱等效為具有等剛度的矩形柱。表2給出算例中底層14號L形柱與等效矩形柱的剪力值?？梢钥闯?，等效

17、柱不能完全反映異形柱的荷載效應(yīng)，尤其是在垂直于水平荷載加載方向（即Y向）上結(jié)果相差達(dá)16.871%。 首先，因為等效矩形柱形心和剪切中心重合，扭轉(zhuǎn)效應(yīng)消失，柱的剪力及頂層位移受到影響，但變化不大。其次，異形柱與等效柱的截面形式不同，在受剪時，L形柱的剪力流形式與矩形柱不同，等效柱方法與Timoshenko梁（ANSYS中Beam189單元）理論計算的結(jié)構(gòu)側(cè)移相比偏小，若作為設(shè)計依據(jù)會引起不安全因素；本文非形心主軸坐標(biāo)系下空間桿單元方法因未考慮各柱肢剪力滯后效應(yīng)，與Timoshenko梁理論計算的結(jié)構(gòu)側(cè)移相比偏大。有的研究人員提出用剛度等效計算異形柱結(jié)構(gòu)，再根據(jù)等效后的面積比調(diào)整異形柱的軸壓比。

18、但對于采用輕質(zhì)填充墻的純異形柱框架結(jié)構(gòu)，等效柱面積增大，導(dǎo)致重力荷載增大，結(jié)構(gòu)周期隨之增大，所受地震力也隨之改變了。表2 等效前后柱的剪力及位移Tab. 2 Shear and displacement of Equivalent rectangular columns or L-shaped columns柱單元號X方向剪力/kNY方向剪力/kN頂層位移/mmY方向?qū)Ρ犬愋沃刃е愋沃刃е愋沃刃е钪?kN百分比/%1-48.944-48.96728.09330.83811.37 11.052.7459.7712-63.118-63.01428.64031.3692.7299.528

19、3-62.817-62.723-16.803-19.581-2.77816.5314-65.119-65.295-17.299-20.217-2.91816.8714 結(jié)論 本文考慮剪切變形、形心與剪切中心不重合的影響，建立了L形柱在非主慣性軸坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣，并編制了C語言有限元程序，通過實例與ANSYS軟件分析結(jié)果進(jìn)行了內(nèi)力、位移對比分析，得出以下主要結(jié)論：（1）L形柱與剛度等效矩形柱的剪切變形差異較大，設(shè)計高層異形柱結(jié)構(gòu)時應(yīng)予以考慮；（2）考慮扭轉(zhuǎn)效應(yīng)時，L形柱的扭矩差異較大，但在彈性分析中對結(jié)構(gòu)彎矩、剪力、軸力和位移影響不大。參考文獻(xiàn)：1 管仲國,黃承逵,王丹. 鋼筋混凝土異形柱

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