初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)銜接問題的研究

1、甫京瘁靠大擘教育碩士學(xué)位論文初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)銜接問題的研究一以微積分為例研究生：指導(dǎo)教師：楊作東教授培養(yǎng)單位：教師教育學(xué)院專業(yè)學(xué)位領(lǐng)域:學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）完成時(shí)間：2018年3月20日答辯時(shí)間：2018年5月26日學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所提交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研 究工作和取得的研究成果。本論文中除引文外，所有實(shí)驗(yàn)、數(shù)據(jù)和有 關(guān)材料均是真實(shí)的。本論文中除引文和致謝的內(nèi)容外，不包含其他人 或其它機(jī)構(gòu)已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。其他同志對(duì)本研究所做的 貢獻(xiàn)均己在論文中作了聲明并表示了謝意。學(xué)位論文作者簽名：期人日 期：皿學(xué)位論文使用授權(quán)聲明研究生在校攻讀學(xué)位期間論文工作的知

2、識(shí)產(chǎn)權(quán)單位屬南京師范 大學(xué)。學(xué)校有權(quán)保存本學(xué)位論文的電子和紙質(zhì)文檔，可以借閱或上網(wǎng) 公布本學(xué)位論文的部分或全部內(nèi)容，可以采用影印、復(fù)印等手段保存、 匯編本學(xué)位論文。學(xué)?？梢韵驀矣嘘P(guān)機(jī)關(guān)或機(jī)構(gòu)送交論文的電子和 紙質(zhì)文檔，允許論文被查閱和借閱。（保密論文在解密后遵守此規(guī)定）保密論文注釋：本學(xué)位論文屬于保密論文，密級(jí)：尤而保密期限為年。學(xué)位論文作者簽名:指導(dǎo)教師簽名:件日期：叫廠摧日 期：M.e摘要21世紀(jì)中國基礎(chǔ)教育體系內(nèi)的改革穩(wěn)定而受關(guān)注，體系之間的教育銜接研 究卻沒有受到足夠的重視。初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的銜接暴露出一系列的問題并影 響到了大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)。本文從當(dāng)前初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)銜接的現(xiàn)

3、狀出發(fā), 運(yùn)用文獻(xiàn)分析法對(duì)微積分教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分析后，發(fā)現(xiàn)了兩處問題：第一，初、高 等數(shù)學(xué)在教材呈現(xiàn)方面，高中數(shù)學(xué)教材生動(dòng)活潑，欄目多樣，富有現(xiàn)實(shí)性和趣味 性，高等數(shù)學(xué)教材呈現(xiàn)形式單一，編排時(shí)忽略學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)的心理，建議高等數(shù)學(xué) 教材在編制時(shí)能夠加強(qiáng)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，設(shè)置豐富的欄目引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)。 第二，初、高等數(shù)學(xué)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)內(nèi)容存在重復(fù)現(xiàn)象，三角函數(shù)和不等式內(nèi)容存在 脫節(jié)現(xiàn)象，建議高中數(shù)學(xué)教材在編制時(shí)多設(shè)置鏈接、閱讀欄目，高等數(shù)學(xué)教材設(shè) 置預(yù)備章節(jié)以做好銜接工作。針對(duì)具體實(shí)踐教學(xué)的銜接研究,高中部分運(yùn)用了測試的方法，發(fā)現(xiàn)兩處問題: 第一，課時(shí)數(shù)與高考的限制導(dǎo)致教師在教學(xué)過程中把更多的課時(shí)數(shù)放在

4、習(xí)題的求 解上，導(dǎo)致學(xué)生只會(huì)機(jī)械地解題，對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解較為片面，建議對(duì)高中生數(shù) 學(xué)水平的評(píng)價(jià)能有更加完善的評(píng)價(jià)制度取代高考的“一刀切政策。第二，沒有 將多媒體技術(shù)和微積分教學(xué)緊密結(jié)合起來，建議教師利用信息技術(shù)的可視化優(yōu)勢 進(jìn)行微積分教學(xué)。大學(xué)部分通過對(duì)大學(xué)教師的訪談發(fā)現(xiàn)：第一，大學(xué)教師不熟悉 高中課程，建議對(duì)大學(xué)里講授高等數(shù)學(xué)的教師進(jìn)行銜接培訓(xùn)。第二，高等數(shù)學(xué)的 課堂容量大、學(xué)業(yè)緊，學(xué)生在初學(xué)期間難以適應(yīng)，建議大學(xué)教師要重視情感因素 對(duì)概念學(xué)習(xí)的影響，注意循序漸進(jìn)的教學(xué)原則和及時(shí)的課堂反饋。最后，為了使研究成果更為具體，本文給出了高中微積分初步中“導(dǎo)數(shù)的概 念” 一課時(shí)的銜接教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)例。關(guān)

5、鍵詞：初等數(shù)學(xué)；高等數(shù)學(xué)；教育銜接；微積分AbstractAbstractIn the 21st Century, the reform of Chinas elementary education system is stable and concerned. However, the study of the connection of elementary education and higher education is somehow neglected. A series of problems sprang up in the connection of elementary m

6、athematics and higher mathematics and have effected college students, learning higher math. This paper starts from present education situation of our junior math and senior math. It analyses calculus course content with the research method of document analysis and finds out two problems: first, the

7、presentation of textbooks differs. Textbooks of high school math is vivid, realistic and various in columns while those of higher math is single and overlook students* learning psychology. It is suggested that textbooks of higher math should strengthen the connection with real life and set more colu

8、mns to enlighten students5 learning. Second, there is poiyisomenism in functions and derivatives and disjoint in trigonometric functions and inequalities. It is suggested that textbooks of high school math should set links and reading columns while textbooks of higher math should set preparatory cha

9、pters.As to the study on the connection of practice teaching, it uses the research method of test in high schools and finds out two problems: first, with the limit of time and college entrance examination(CEE), teachers put more hours in teaching how to solve problems which causes students to solve

10、problems mechanically instead of understanding the concept of derivative comprehensively. It is suggested that the evaluation system of high school students math level should be improved to replace CEE. Second, teachers foil to teach calculus with multimedia technology and they are suggested to use

11、the advantage of information visualization while teaching calculus. Through interviews with college teachers, it finds that first, college teachers are unfamiliar with high school courses and it is suggested that teachers who teach higher math should attend lectures on teaching link. Second, the cla

12、ss capacity of higher math is large and tight. Students are difficult to adapt courses during the early period. It is suggested that college teachers should pay attention to the influence of emotional factors on concept learning, and take notice of gradual teaching principles and timely classroom fe

13、edback.Finally, in order to make the research results more specific, this paper gives an example of teaching design of the concept of derivative in the preliminary calculus of high school.Key words: elementary mathematics; higher mathematics; education connection; calculus TOC o 1-5 h z HYPERLINK l

14、bookmark16 o Current Document 摘要 IAbstract II目錄 HI HYPERLINK l bookmark19 o Current Document 第1章緒論 1 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 1.1問題的提出 11.2文獻(xiàn)綜述 31.2.1國外部分31.2.2國內(nèi)部分 5 HYPERLINK l bookmark31 o Current Document 第2章初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的關(guān)系7 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 2.1初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的劃分

15、 7 HYPERLINK l bookmark41 o Current Document 2.2初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象不同 8 HYPERLINK l bookmark44 o Current Document 2.3初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的側(cè)重點(diǎn)不同9 HYPERLINK l bookmark47 o Current Document 第3章高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)微積分教學(xué)內(nèi)容的銜接10 HYPERLINK l bookmark50 o Current Document 3.1高中數(shù)學(xué)微積分初步的教學(xué)內(nèi)容10 HYPERLINK l bookmark53 o Current Documen

16、t 3.2高等數(shù)學(xué)微積分的教學(xué)內(nèi)容14 HYPERLINK l bookmark56 o Current Document 3.3高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的關(guān)系 15 HYPERLINK l bookmark63 o Current Document 3.4內(nèi)容銜接出現(xiàn)的問題及解決策略203.4.1教材呈現(xiàn)方式的不同203.4.2知識(shí)點(diǎn)的重復(fù)與脫節(jié)23 HYPERLINK l bookmark69 o Current Document 第4章微積分銜接教學(xué)理論基礎(chǔ)27 HYPERLINK l bookmark72 o Current Document 4.1過程對(duì)象的兩重性理論 27 HYPER

17、LINK l bookmark75 o Current Document 4.2 Procept 理論 28 HYPERLINK l bookmark81 o Current Document 第5章高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)微積分實(shí)踐教學(xué)的銜接 30 HYPERLINK l bookmark84 o Current Document 5.1高中數(shù)學(xué)微積分實(shí)踐教學(xué)現(xiàn)狀 305.1. 1對(duì)導(dǎo)數(shù)教學(xué)情況的測試與分析 30 HYPERLINK l bookmark99 o Current Document 5.1.2問題分析與解決策略 34 HYPERLINK l bookmark96 o Current

18、Document 5. 2高等數(shù)學(xué)微積分實(shí)踐教學(xué)現(xiàn)狀 385.2.1訪談設(shè)計(jì)385.2. 2問題分析與解決策略 39 HYPERLINK l bookmark102 o Current Document 5. 3微積分銜接教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)例展示.41參考文獻(xiàn)50 HYPERLINK l bookmark139 o Current Document 致謝 52 HYPERLINK l bookmark142 o Current Document 附錄1測試卷 53 HYPERLINK l bookmark166 o Current Document 附錄2訪談實(shí)錄 55第1章緒論1.1問題的提出21世

19、紀(jì)是教育改革的高峰期，本世紀(jì)初的基礎(chǔ)教育新課程改革使我國的應(yīng) 試教育開始向素質(zhì)教育過渡，以適應(yīng)社會(huì)的快速發(fā)展。在多年的探索與實(shí)踐中， “新課程改革”取得了累累的碩果，一個(gè)典型之處就在于更加注重學(xué)生在教學(xué)過 程中的主體地位，無論是在目標(biāo)的設(shè)置還是具體的教學(xué)環(huán)節(jié)上都體現(xiàn)了“以生為 本”的理念。我國的基礎(chǔ)教育包括幼兒教育、小學(xué)教育、普通中學(xué)教育（初中、 高中），基礎(chǔ)教育課程改革緊緊地圍繞中小學(xué)教育展開，可以說中小學(xué)教育是一 個(gè)體系。體系內(nèi)的改革必然會(huì)對(duì)教育銜接進(jìn)行思考，初中教育和小學(xué)教育同屬于 義務(wù)教育階段，二者之間銜接的緊密性不言而喻，而高中課程的制定又是以初中 課程為基礎(chǔ)的，因此整個(gè)基礎(chǔ)教育體系

20、內(nèi)的教育銜接既穩(wěn)定又容易受到足夠的關(guān) 注和重視。反觀高等教育，盡管其改革也在進(jìn)行中，但基本上也都是高等教育體系內(nèi)的 改革，落腳點(diǎn)在于培養(yǎng)更優(yōu)秀更符合市場需求的就業(yè)人才。而我們知道，高等教 育是以基礎(chǔ)教育為起點(diǎn)的，高考的“一刀切”評(píng)價(jià)制度無形中已經(jīng)在人們心理上 切斷了銜接基礎(chǔ)教育與高等教育的紐帶。如果基礎(chǔ)教育的改革忽略了學(xué)生進(jìn)入高 等教育后所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，高等教育的改革又不以基礎(chǔ)教育為出發(fā)點(diǎn)，很容易造 成“空中樓閣的現(xiàn)象，高考這樣一項(xiàng)選拔人才的制度只是提供了入學(xué)的門檻， 并不能給學(xué)生提供跨過門檻的階梯。基礎(chǔ)教育與高等教育的銜接不當(dāng)導(dǎo)致的結(jié)果 就是高中畢業(yè)生難以適應(yīng)大學(xué)學(xué)習(xí)。蘇聯(lián)教育學(xué)家維果斯基提

21、出過最近發(fā)展區(qū)理 論，在任何時(shí)候，當(dāng)前的學(xué)習(xí)總是在以往學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，大學(xué)新生學(xué)習(xí)的 不適應(yīng)正是最近發(fā)展區(qū)的缺失導(dǎo)致的。數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的重要學(xué)科。從小學(xué)階段開始一直到高中，數(shù) 學(xué)在眾學(xué)科中始終占有無法撼動(dòng)的地位，是基礎(chǔ)教育階段人人都必修的學(xué)科，是 物理、化學(xué)等自然學(xué)科的基礎(chǔ)學(xué)科。在高等教育中，高等數(shù)學(xué)（包括線性代數(shù)、 概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)）也是絕大部分大學(xué)生的必修課之一。從現(xiàn)狀來看，很多學(xué)生 （無論是大、中、小學(xué)生）都覺得自己的數(shù)學(xué)成績不盡如人意，很少有學(xué)生能夠 自信地說自己擅長數(shù)學(xué)。中小學(xué)教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的把控力度比較多，因此學(xué)生學(xué) 起來起碼知道努力的方向，而一旦進(jìn)入高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)

22、，很多學(xué)生感到心有余而 力不足，找不到正確的方向，甚至產(chǎn)生了明顯的脫節(jié)。這是由多方面的因素引發(fā) 的：1、前文已經(jīng)提及，基礎(chǔ)教育改革和高等教育改革各自為營，缺乏溝通與聯(lián) 系，導(dǎo)致初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)內(nèi)容上銜接不到位，產(chǎn)生學(xué)生知識(shí)上的斷層，學(xué)生 在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)缺乏初等數(shù)學(xué)應(yīng)有的知識(shí)作為最近發(fā)展區(qū)，所以感到學(xué)起來吃 力。初等數(shù)學(xué)應(yīng)該以什么內(nèi)容為終點(diǎn)，高等數(shù)學(xué)又以什么內(nèi)容作為起點(diǎn)，這是研 究數(shù)學(xué)教育銜接的重要內(nèi)容之一。2、初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)在思想方法上既有聯(lián)系也有區(qū)別。初等數(shù)學(xué)以靜態(tài)、 有限的眼光看待問題，而高等數(shù)學(xué)以動(dòng)態(tài)、無限的眼光看待問題。動(dòng)態(tài)、無限又 是建立在靜態(tài)、有限的基礎(chǔ)上的，因此數(shù)學(xué)思想方

23、法觀念的轉(zhuǎn)變也是學(xué)好高等數(shù) 學(xué)的重要因素。任何觀念的轉(zhuǎn)變都不是一蹴而就的，都存在一定的過渡期，思想 方法又不同于客觀的知識(shí)，它的滲透需要時(shí)間的積累，因此如何在思想方法上做 到良好的銜接也是一個(gè)研究的點(diǎn)。3、教學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最重要的環(huán)節(jié)，教師在教學(xué)過程中起主導(dǎo)作用，學(xué) 生是教學(xué)的主體。因此要做好初高等數(shù)學(xué)的銜接，教師的教學(xué)這塊也要下功夫。 這設(shè)計(jì)到兩方面，一方面中學(xué)教師要能“高瞻遠(yuǎn)矚”，不以僅僅完成初等數(shù)學(xué)的 教學(xué)任務(wù)為目標(biāo),要在自身了解高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上逐步向?qū)W生預(yù)告高等數(shù)學(xué)的內(nèi) 容與思想方法。另一方面，大學(xué)教5要能“放低姿態(tài)，在充分了解學(xué)生初等數(shù) 學(xué)學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行高等數(shù)學(xué)的教學(xué)。

24、2018年，更新一輪的數(shù)學(xué)課程改革即將到來，本文就對(duì)當(dāng)前初等數(shù)學(xué)與高 等數(shù)學(xué)銜接方面還存在的問題做出了分析，并提出了一些自己的看法與建議。由 于篇幅有限，本文只研究高等數(shù)學(xué)中微積分課程與高中數(shù)學(xué)的銜接問題，為了使 研究更加的具體，研究的范圍限定在微積分中定積分內(nèi)容之前（包括定積分）。1.2文1.2.1國外部分1.2.1.1國外微積分謀程改革現(xiàn)狀英國：英國沒有全國性的高中數(shù)學(xué)課程，英國Edexcel考試委員會(huì)制定的A-Level 考試大綱實(shí)際上起到了高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的作用。考試的具體內(nèi)容除了歐氏幾何 外涵蓋了我們所熟悉的初等數(shù)學(xué)內(nèi)容，對(duì)許多內(nèi)容的要求比我國的數(shù)學(xué)課程更高。 例如，在A-Level

25、第一階段考試AS階段己經(jīng)涉及到數(shù)列和級(jí)數(shù)，微分和積分的 知識(shí)；對(duì)于選修“進(jìn)一步的純數(shù)學(xué)”的學(xué)生，在第二階段A2考試內(nèi)容中還涉及 微分方程，麥克勞林和泰勒級(jí)數(shù)。由此可見英國中學(xué)課程的知識(shí)范圍之廣，在必 修階段己經(jīng)開始從初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)，在選修階段相當(dāng)于在讀大學(xué)預(yù)科課 程。SMP教材（英國中學(xué)數(shù)學(xué)教材）特別注重兩點(diǎn)：第一是在知識(shí)講解之前為學(xué) 生提供思考的機(jī)會(huì),讓他們在求知的狀態(tài)下進(jìn)入學(xué)習(xí)，一方面為后面的知識(shí)作鋪 墊，另一方面讓學(xué)生通過獨(dú)立思考進(jìn)入一種解疑、求知的狀態(tài)；二是形式化的定 義經(jīng)過數(shù)次鋪墊才給出。例如導(dǎo)數(shù)的形式化定義，是從平均變化率開始，逐級(jí)設(shè) 疑，步步上升，多次采用數(shù)值方法讓學(xué)生體

26、會(huì)逼近的過程、感受逼近的思想，從 而一次次地為極限方法奠定感性基礎(chǔ)。：法國：20世紀(jì)40年代，布爾巴基斯學(xué)派提了按照結(jié)構(gòu)主義思想改革數(shù)學(xué)課程的主 張，強(qiáng)調(diào)中學(xué)數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)代化。20世紀(jì)六七十年代，這樣的改革主張成為法國 數(shù)學(xué)教育改革的主導(dǎo)思想。法國普通高中數(shù)學(xué)課程特別重視函數(shù)、微積分、向量 以及概率與統(tǒng)計(jì)的教學(xué)，很多知識(shí)的編排采用了螺旋上升結(jié)構(gòu)。例如：學(xué)生在高 一高二己經(jīng)學(xué)過了函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，高三的課程內(nèi)容在回顧這些基本知 識(shí)后又增加了數(shù)列和函數(shù)的極限、連續(xù)性用語和變化的刻畫、中值定理、導(dǎo)數(shù)和 積分、微分方程等更高難度的內(nèi)容。從中可以看出法國高中理科數(shù)學(xué)課程在高三 以學(xué)習(xí)新知的方式復(fù)習(xí)

27、舊知，與此同時(shí)將初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)，這一點(diǎn)非常 值得借鑒。此外他們還非常注重先進(jìn)的數(shù)學(xué)思想方法的作用。例如，他們用微積 分為工具研究指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，這正是克萊因所極力主張的做法。美國：美國全國數(shù)學(xué)教師委員會(huì)(National Council of Teachers of Mathematics, 縮寫為NCTM)的中學(xué)數(shù)學(xué)課程與教育標(biāo)準(zhǔn)(NCTM1989)建議：912年級(jí)的數(shù)學(xué)課 程應(yīng)該包含從圖像和數(shù)值兩個(gè)角度非形式化地探索微積分概念的過程。NCTM的 課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)了幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)表示間聯(lián)系的重要性;微積分中最相關(guān)的聯(lián)系 是函數(shù)的解析表示和圖像表示之間的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)從圖像和數(shù)值兩個(gè)角度

28、非形式化 地探索微積分概念的過程，激發(fā)學(xué)生“通過解決問題情境”來獲得深層次的理解， 可以讓學(xué)生從表格和圖像兩個(gè)方面獲得探究函數(shù)、導(dǎo)數(shù)概念、積分概念的機(jī)會(huì)， 這樣就可以鼓勵(lì)他們清楚地處理形式化概念和他們自我概念之間的矛盾。教材采 用做研究的方法引領(lǐng)學(xué)生從提出問題T原有相關(guān)知識(shí)的檢索T確定作為“突破口” 的想法T討論實(shí)現(xiàn)此想法的途徑、步驟T具體例子的實(shí)踐檢驗(yàn)T抽象的數(shù)學(xué)定義。 特別是它將“思想、步驟、方法”都明確化，即不是隱于編者頭腦或內(nèi)容中，而 是讓學(xué)生也清楚并且要求學(xué)生自己也做一做。俄羅斯：俄羅斯是世界數(shù)學(xué)強(qiáng)國，數(shù)學(xué)教育水平很高。我國中小學(xué)數(shù)學(xué)教育在20世 紀(jì)50年代后曾受俄羅斯(蘇聯(lián))的深刻

29、影響。俄羅斯在20世紀(jì)末又進(jìn)行了新一 輪的數(shù)學(xué)課程改革，1999年下達(dá)了中學(xué)數(shù)學(xué)教育必須學(xué)習(xí)的最少內(nèi)容，其中 最顯著的是“數(shù)學(xué)分析初步”這部分內(nèi)容，包括了數(shù)列極限、函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo) 函數(shù)、牛頓一一萊布尼茨公式以及最優(yōu)解等高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容。1.2.1.2國際會(huì)議對(duì)初高等數(shù)學(xué)銜接的關(guān)注20世紀(jì)末，對(duì)“高中、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的銜接問題”受到了國際數(shù)學(xué)教育委員 會(huì)的關(guān)注。1997年11月國際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)在英國舉行了討論會(huì)，主題是關(guān) 于“大學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)的問題”，會(huì)上討論了中學(xué)到大學(xué)的過渡以及中學(xué)和大學(xué)之 間的關(guān)系、改善大學(xué)數(shù)學(xué)教師的培訓(xùn)的方法，列出了一些感興趣的問題，如“對(duì) 學(xué)習(xí)過程的本質(zhì)的洞察對(duì)不同年級(jí)可

30、能是不同的嗎？對(duì)中學(xué)適宜的理論也適宜 于大學(xué)嗎？”，“什么樣方式的教學(xué)變化可以顧及學(xué)習(xí)者的不同的基礎(chǔ)、能力和興 趣？”等。1998年12月又在新加坡召開了主題為“大學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)”國際 研討會(huì)，會(huì)上進(jìn)行了 “中學(xué)向大學(xué)的過渡”的主題研討。劉麗芳、高巖在2011年教育科學(xué)與管理工程國際學(xué)術(shù)會(huì)議匯報(bào)了影響初、 高等教學(xué)銜接問題構(gòu)成因素的調(diào)查研究，通過問卷調(diào)查歸納出影響初、高等數(shù)學(xué) 教學(xué)銜接的主要因素：教師的教學(xué)能力及個(gè)人素質(zhì)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀，學(xué)生的 學(xué)習(xí)基礎(chǔ)與能力，初、高等數(shù)學(xué)知識(shí)的連接設(shè)置。并針對(duì)這些建議提出了做好初、 高等數(shù)學(xué)教學(xué)的建議：關(guān)注高中數(shù)學(xué)課程改革，采取合理的教學(xué)策略；加強(qiáng)數(shù)學(xué)

31、思想方法的教學(xué)，體驗(yàn)高等數(shù)學(xué)的本質(zhì)；幫助學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀，注重 學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)。1.2.2國內(nèi)部分1.2.2.1我國中學(xué)微積分課程改革1958年，李善蘭和偉列亞力翻譯代微積拾級(jí)，將微積分學(xué)傳入中國，這 時(shí)離微積分的創(chuàng)立已經(jīng)近200年。在我國，中學(xué)課程中微積分內(nèi)容的設(shè)置幾經(jīng)周 折。1987年制定和試行的全日制十年制學(xué)校中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試行草案） 中，首次將微積分的內(nèi)容納入高中階段的數(shù)學(xué)課程，并從1983年起列為較高要 求教學(xué)綱要的必學(xué)內(nèi)容。但由于微積分的內(nèi)容未能列入高中數(shù)學(xué)教學(xué)綱要的基本 要求范圍，再加上全國高考并未將其列入考試內(nèi)容，所以微積分內(nèi)容并沒有進(jìn)行 課程實(shí)施。2000年和20

32、02年兩次重新修訂教學(xué)大綱，都將微積分內(nèi)容列為選修 課程，并列為全國高考考試內(nèi)容，2003年普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）又 將微積分內(nèi)容列為選修模塊。2017年普通數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將選修課程分為 A,B,C,D,E五類，其中A類課程（供有志于學(xué)習(xí)數(shù)理類學(xué)生選擇），B類課程（供 有志于學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)、社會(huì)類和部分理工類學(xué)生選擇），E類課程中的大學(xué)先修課程 都涉及到了微積分的內(nèi)容。1.2.2.2高中階段微積分課程與教學(xué)研究宋寶和、郭兆明和房元霞認(rèn)為，變化率思想是高中微積分課程的核心。宋寶 和、房元霞認(rèn)為2003版的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）的微積分設(shè)計(jì)逾越 了形式化極限概念學(xué)習(xí)的障礙，學(xué)生接受新的微積分課

33、程設(shè)計(jì)，而且表現(xiàn)出了積 極的學(xué)習(xí)態(tài)度，尤其對(duì)導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用性具有濃厚興趣;但教師對(duì)“無極限導(dǎo)數(shù)” 表現(xiàn)出較大的不適應(yīng)。段碧在對(duì)高中生導(dǎo)數(shù)概念認(rèn)知情況進(jìn)行問卷調(diào)查后認(rèn)為，學(xué)生可以在學(xué)習(xí)導(dǎo) 數(shù)前不系統(tǒng)地學(xué)習(xí)極限理論，但是教材可以通過穿插數(shù)學(xué)史的方式讓他們了解導(dǎo) 數(shù)概念在歷史上逐漸科學(xué)化的發(fā)展過程，這有利于幫助加深對(duì)極限思想的認(rèn)識(shí), 同時(shí)也能體現(xiàn)微積分的文化價(jià)值。秦德生通過大量調(diào)查得出：高中導(dǎo)數(shù)概念的教 學(xué)以直觀為主，不適宜形式化概念教學(xué)；瞬時(shí)速度是學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ), 是實(shí)施導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)的有效“平臺(tái)”；高中階段適合利用物理背景講授導(dǎo)數(shù)，而 不適合通過極限進(jìn)行導(dǎo)數(shù)教學(xué)。彭順英指出了現(xiàn)行高中微積分

34、課程中存在的一些問題，如與信息技術(shù)的整合 度不夠高，“探索與發(fā)現(xiàn)”等新增欄目的使用率不高。同時(shí)她也提到了高中微積 分內(nèi)容和高等數(shù)學(xué)微積分內(nèi)容的銜接，大學(xué)微積分教材沒有在中學(xué)教材變動(dòng)的基 礎(chǔ)上進(jìn)行調(diào)整，導(dǎo)致了部分教學(xué)內(nèi)容的重復(fù)。1.2.2. 3初、高等數(shù)學(xué)的銜接研究柴俊、陸競、俞曼通過對(duì)華東師范大學(xué)、杭州師范大學(xué)、南通師范學(xué)院數(shù)學(xué) 系大一學(xué)生基礎(chǔ)課程學(xué)習(xí)成績與高考數(shù)學(xué)成績的相關(guān)性調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其相關(guān)系數(shù)很 小，其原因之一是高等教育與中學(xué)教育缺乏銜接，大學(xué)與高中數(shù)學(xué)教師在教法上 存在著反差，使一些學(xué)生無法適應(yīng)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。羅衛(wèi)華、王新民對(duì)高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)銜接性現(xiàn)狀進(jìn)行了調(diào)查，總結(jié)了 高等數(shù)學(xué)與

35、中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)重疊和斷層兩方面。知識(shí)重疊包括：簡單函數(shù)的極限， 導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義和導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及空間解析幾何部分。知識(shí)斷 層包括三角函數(shù)中的積化和差、和差化積、萬能公式，反三角函數(shù)，極坐標(biāo)、球 坐標(biāo)、柱坐標(biāo)變換，雙曲函數(shù)、反三角函數(shù)，二項(xiàng)式展開定理，數(shù)學(xué)歸納法。季素月，錢林通過對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)狀況的調(diào)查和個(gè)案分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù) 學(xué)普遍感到困難，多數(shù)學(xué)生將數(shù)學(xué)與解題劃上等號(hào)，學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)不強(qiáng)烈、學(xué) 習(xí)目標(biāo)不明確，學(xué)生對(duì)高校老師教授方法的不適應(yīng)等。童雯雯認(rèn)為高等數(shù)學(xué)難學(xué)的原因在于高中教材和高等數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容不連 貫，初、高等數(shù)學(xué)的思維模式不同，高中教師和大學(xué)教師的教學(xué)方法不同，學(xué)生

36、學(xué)習(xí)的方法也不同。蘇德礦認(rèn)為，要想做好高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的有效銜接，高等數(shù)學(xué)第一 課很重要，教師要講清高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別，對(duì)高等數(shù)學(xué)的課程做 概貌性地介紹，告訴學(xué)生學(xué)習(xí)的方法和課程中最基本和最難的章節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生課 前預(yù)習(xí)課后復(fù)習(xí)的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。沈柳平從學(xué)生的心理角度研究大學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)教育銜接中的瓶頸，認(rèn)為 大學(xué)生的心理沖突和角色沖突導(dǎo)致了他們在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)產(chǎn)生了一系列的問 題。想要解決好這兩個(gè)沖突，教師首先要通過摸底測試和調(diào)查查詢的方式了解學(xué) 生的水平，其次要提高大學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重要性的認(rèn)識(shí)，消除高考后的怠慢 情緒，再次要經(jīng)常組織一些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)交流會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生走向正確的

37、學(xué)習(xí)方向。1.2.2.4 小結(jié)上述對(duì)于高中階段微積分的研究基本上未能延伸到銜接的范疇，對(duì)于初等數(shù) 學(xué)與高等數(shù)學(xué)銜接的研究，多數(shù)學(xué)者都從高等教育的角度出發(fā)，研究如何能讓大 學(xué)新生能夠適應(yīng)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，很少有人能對(duì)兩方面進(jìn)行系統(tǒng)的整合。從研究 方法來看，多數(shù)學(xué)者在研究銜接時(shí)都采用較為單一的文獻(xiàn)分析法，沒有實(shí)際去調(diào) 研當(dāng)前的課堂教學(xué)現(xiàn)狀和學(xué)生認(rèn)知現(xiàn)狀。很少有人能夠深入到高中教學(xué)一線去調(diào) 查研究這個(gè)問題。因此，本文希望能借鑒前人研究的基礎(chǔ)，從以上兩個(gè)方面做一 點(diǎn)突破和創(chuàng)新。第2章初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的關(guān)系2.1初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的劃分既然要研究初高等數(shù)學(xué)的銜接，就不得不對(duì)初高等數(shù)學(xué)的劃分有個(gè)說明。查

38、閱數(shù)學(xué)史可以發(fā)現(xiàn)，沒有一本書會(huì)明確指出這二者之間的界限，因?yàn)閿?shù)學(xué)本身就 是一個(gè)系統(tǒng),無論是其內(nèi)容還是思想方法都不是一蹴而就地從初等跳躍到高等的。 只能說某一個(gè)概念或者定義的產(chǎn)生為后續(xù)一連串新的數(shù)學(xué)理論奠定了基礎(chǔ)。但我 們可以從各數(shù)學(xué)史書籍對(duì)于數(shù)學(xué)時(shí)期的劃分中端倪出一些有助于研究的結(jié)論。李 文林在數(shù)學(xué)史概論中將數(shù)學(xué)史作了如下劃分：數(shù)學(xué)的起源于早期發(fā)展（公元前6世紀(jì)前）初等數(shù)學(xué)時(shí)期（公元前6世紀(jì)一16世紀(jì)前）近代數(shù)學(xué)時(shí)期（或稱變量數(shù)學(xué)建立時(shí)期，17世紀(jì)一18世紀(jì)）現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期（1820現(xiàn)在）李文林.數(shù)學(xué)史概論M.高等教育出版社，2011:144-196.綜合其他學(xué)者的看法，現(xiàn)如今將16世紀(jì)以前的數(shù)

39、學(xué)稱為初等數(shù)學(xué)，16世紀(jì) 以后的數(shù)學(xué)稱為高等數(shù)學(xué)。在16世紀(jì)以前,人們研究的數(shù)學(xué)是常量數(shù)學(xué)，而近 代數(shù)學(xué)在本質(zhì)上可以說是變量數(shù)學(xué)，變量數(shù)學(xué)的第一個(gè)里程碑是解析幾何的發(fā)明, 因此可以說，解析幾何的誕生拉開了高等數(shù)學(xué)的序幕。解析兒何是代數(shù)與幾何相 結(jié)合的產(chǎn)物，它將變量引進(jìn)了數(shù)學(xué)，使運(yùn)動(dòng)與變化的定量表述稱為可能，從而為 微積分的創(chuàng)立打起了舞臺(tái)。微積分的創(chuàng)立被譽(yù)為“人類精神的最高勝利，在18 世紀(jì)，微積分進(jìn)一步深入發(fā)展，與廣泛的應(yīng)用緊密交織在一起，刺激和推動(dòng)了許 多數(shù)學(xué)新分支的產(chǎn)生，從而形成了 “分析”這樣一個(gè)在觀念和方法上都具有鮮明 特點(diǎn)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。因此，微積分的誕生使得數(shù)學(xué)領(lǐng)域正式進(jìn)入了高等數(shù)學(xué)時(shí)

40、期。從我國的數(shù)學(xué)教育角度來看，理工各類專業(yè)的學(xué)生在高校都會(huì)學(xué)習(xí)“高等數(shù) 學(xué)”的課程，因此會(huì)習(xí)慣性地將中小學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)稱為“初等數(shù)學(xué)”。事實(shí)上， 亦有將中學(xué)較深入的代數(shù)、幾何以及簡單的集合論初步、邏輯初步稱為中等數(shù)學(xué) 的說法。從普通高中的數(shù)學(xué)教材中我們也可以發(fā)現(xiàn)上述“解析幾何”以及“微積 分”的內(nèi)容。因此，不管分類如何，高中數(shù)學(xué)始終是處于初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過 渡的時(shí)期，也就是本文要研究探討的“銜接”問題，為了使研究更為深入，本文 將研究范圍限定在微積分中導(dǎo)數(shù)、積分及其之前內(nèi)容的銜接。2.2初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象不同如上文所言，初等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是常量，高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是變量。因 此初等數(shù)

41、學(xué)用有限的眼光看待問題，高等數(shù)學(xué)用無限的眼光看待問題。函數(shù)是變 量數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，它是變量數(shù)學(xué)的標(biāo)志。但是從中小學(xué)教材來分析， 函數(shù)的概念早在初二的時(shí)候就出現(xiàn)了，那是否意味著初二數(shù)學(xué)就已經(jīng)開始進(jìn)入高 等數(shù)學(xué)的范疇了呢？答案是否定的，函數(shù)的定義在數(shù)學(xué)史上經(jīng)歷了三百年的錘煉 至今仍在不斷完善之中。初中生所接觸的函數(shù)定義從高等數(shù)學(xué)的角度來看是片面 的，它是一種簡單對(duì)應(yīng)關(guān)系，例如y = x + l這個(gè)函數(shù)，當(dāng)工取1的時(shí)候，y取2, 盡管x和y可以取不同的值，但每次所取的值是兩個(gè)常量，因此初中數(shù)學(xué)所學(xué)的函 數(shù)并不能嚴(yán)格地歸入變量數(shù)學(xué)的范疇。高中數(shù)學(xué)在集合論的基礎(chǔ)上重新定義了函 數(shù)，它相較初中數(shù)學(xué)

42、而言更加突出了映射，更為接近現(xiàn)代數(shù)學(xué)對(duì)函數(shù)的定義。在 學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的過程中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，“求導(dǎo)”其實(shí)就是一種映射?！扒髮?dǎo)”的對(duì)象是一 個(gè)函數(shù)，而函數(shù)本身就是在變化的，“求導(dǎo)的產(chǎn)物同樣是一個(gè)函數(shù)，它也是一 個(gè)變量。高等數(shù)學(xué)所謂的研究變量就是在研究對(duì)象本身就是一個(gè)變量的基礎(chǔ)上， 在繼續(xù)研究它的變化過程。當(dāng)然“求導(dǎo)只是一個(gè)最基本的例子，更為復(fù)雜的例 子還有很多，比如函數(shù)列的極限。數(shù)列極限的變化過程是不難理解的，因此數(shù)列 的每一項(xiàng)都是一個(gè)常量。而函數(shù)列的每一項(xiàng)自身就是一個(gè)不斷變化的函數(shù)，要把 這樣一個(gè)變量看作一個(gè)整體研究它的變化過程就不那么容易了。因此，與其說高 等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是變量，不如說高等數(shù)學(xué)的研究

43、對(duì)象是變量的變化過2.3初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的側(cè)重點(diǎn)不同初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)側(cè)重于理論的應(yīng)用，關(guān)注數(shù)學(xué)的結(jié)果。高中教材中很多的定 理都是由直觀感知?dú)w納而來的，甚至很多定義、定理在敘述時(shí)都是用模糊的文字 語言代替嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言。例如極大值和極小值的定義，中學(xué)教材僅用“比它附 近點(diǎn)的函數(shù)值都要大”來完成定義，而高等數(shù)學(xué)教材中則用數(shù)學(xué)語言“鄰域來 定義。高中生輕視定義是一件十分普遍的事，即便它們不能夠回憶起定義內(nèi)容， 仍能解決大部分的題目，而大學(xué)生如果忽視定義的存在往往會(huì)發(fā)現(xiàn)在解題時(shí)寸步 難行。談及極大值極小值問題，中學(xué)生學(xué)習(xí)的最多的就是給定一個(gè)函數(shù)，如何去 求它的極大值和極小值。這就涉及到了著名的費(fèi)馬

44、定理，中學(xué)生通過對(duì)函數(shù)圖像 的直觀感知得到極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0,從而獲得了費(fèi)馬定理，他們并不關(guān)心這個(gè) 定理的證明（在現(xiàn)有知識(shí)的條件下也無法完成證明），甚至他們都不知道這是一 個(gè)定理，理所當(dāng)然地認(rèn)為這是正確的，能夠直接應(yīng)用的。而高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)則側(cè)重于理論的證明過程，每給出一個(gè)定義，結(jié)合已有的 數(shù)學(xué)理論，都能夠延伸出許多的定理，這些定理也許有很多已經(jīng)通過直觀的感知 獲得了，也已經(jīng)被廣泛應(yīng)用了，但高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)正是要研究這些定理的“來龍”， 在用數(shù)學(xué)語言描述問題的過程中，學(xué)生的思維能夠更接近數(shù)學(xué)的本質(zhì)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?邏輯，因此在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中會(huì)認(rèn)為費(fèi)馬定理的證明過程比其應(yīng)用更為重要。 當(dāng)然這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程

45、并不是無意義的，學(xué)生在研究過程中能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)理論 的高度統(tǒng)一和數(shù)學(xué)研究方法的高度統(tǒng)一，從而派生出更為復(fù)雜的理論，自然也能 夠得到更為廣泛的應(yīng)用。第3章高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)微積分教學(xué)內(nèi)容的銜接3.1高中數(shù)學(xué)傲積分初步的教學(xué)內(nèi)容根據(jù)中華人民共和國教育部2011年頒布的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)學(xué) 課程框架在總體上分為必修與選修兩塊。必修課程是每一個(gè)高中生都必須學(xué)習(xí)的 數(shù)學(xué)內(nèi)容，包括5個(gè)模塊，如下表所示：表3.1普通高中數(shù)學(xué)必修課程目錄必修1第1章集合第2章函數(shù)第3章指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)必修2第1章立體幾何初步第2章平面解析幾何初步必修3第1章算法初步第2章統(tǒng)計(jì)第3章概率必修4第1章三角函數(shù)第2章

46、平面向量第3章三角恒等變換必修5第1章解三角形第2章數(shù)列第3章不等式對(duì)于選修課程，學(xué)生可以根據(jù)自己的興趣和對(duì)未來發(fā)展的愿望進(jìn)行選擇。選修系 列課程由系列1,系列2,系列3,系列4等組成。系列1是為那些希望在人文、 社會(huì)科學(xué)等方面發(fā)展的學(xué)生而設(shè)置的，系列2則是為那些希望在理工、經(jīng)濟(jì)等方 面發(fā)展的學(xué)生而設(shè)置的。系列3和系列4是為對(duì)數(shù)學(xué)有興趣和希望進(jìn)一步提高數(shù) 學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生而設(shè)置的。從高中實(shí)際教學(xué)情況來看，絕大多數(shù)學(xué)校的文科生和理科生都要學(xué)習(xí)必修的 5個(gè)模塊，文科生選修系列1的所有課程，理科生選修系列2的所有課程并在選 修4系列的4-1, 4-2, 4-4, 4-5中任選兩門學(xué)習(xí)。由于多數(shù)文科生在進(jìn)

47、入高校 后不學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，因此本文主要研究理科生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課程的銜接，具 體課程框架如下表所示：表3.2普通高中理科生數(shù)學(xué)課程普通高 中理科 生數(shù)學(xué) 課程必修模塊必修1必修2必修3必修4必修5選修系列選修2-1選修2-2選修2-3選修4-1選修42選修4-4選修4-5（4 選 2）其中與本文研究范圍的微積分銜接緊密有關(guān)的內(nèi)容如下表所示:表3. 3高中微積分銜接內(nèi)容教材（以蘇教版為例）內(nèi)容課時(shí)數(shù)必修11集合1集合的含義及其表示1.2子集、全集、補(bǔ)集1.3交集、并集2函數(shù)2.1函數(shù)的概念2函數(shù)的簡單性質(zhì)3映射的概念3指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)3.1指數(shù)函數(shù)2對(duì)數(shù)函數(shù)3.3 5函數(shù)36課時(shí)3.

48、4函數(shù)的應(yīng)用必修41三角函數(shù)L1任意角、弧度1.2任意角的三角函數(shù)1.3三角函數(shù)的圖像和桂質(zhì) 3三角恒等變換3.1兩角和與差的三角函數(shù)3.2二倍角的三角函數(shù)3.3幾個(gè)三角恒等式24課時(shí)必修52數(shù)列2.1數(shù)列2. 2等差數(shù)列2. 3等比數(shù)列3不等式3.1不等關(guān)系3.2 一元二次不等式3.3二元一次不等式與簡單的線性規(guī)劃問題3.2基本不等式28課時(shí)選修2-21導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用：1.1導(dǎo)數(shù)的概念1.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.4導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用1.5定積分24課時(shí)集合：集合論是德國數(shù)學(xué)家康托爾在19世紀(jì)末創(chuàng)立的，集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言。使用集合語言，可以簡潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)的

49、一些內(nèi)容。高中數(shù)學(xué)課程 只將集合作為一種語言來學(xué)習(xí)，學(xué)生將學(xué)會(huì)使用最基本的集合語言表示有關(guān)的數(shù) 學(xué)對(duì)象，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的能力。函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I：高中階段不僅把函數(shù)看成變量之間的依賴關(guān)系，同時(shí)還用集合與對(duì)應(yīng)的語言 刻畫函數(shù)，函數(shù)的思想方法將貫穿高中數(shù)學(xué)課堂的始終。學(xué)生將學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、 對(duì)數(shù)函數(shù)等具體的基本初等函數(shù)，結(jié)合實(shí)際問題，感受運(yùn)用函數(shù)概念建立模型的 過程和方法，體會(huì)函數(shù)在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的重要性，初步運(yùn)用函數(shù)思想理解和 處理現(xiàn)實(shí)生活和社會(huì)中的簡單問題。學(xué)生還將學(xué)習(xí)利用函數(shù)的性質(zhì)求方程的近似 解，體會(huì)函數(shù)與方程的有機(jī)聯(lián)系。三角函數(shù)與三角恒等變換：三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是

50、描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其 他領(lǐng)域中具有重要的作用。學(xué)生將通過實(shí)例學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，體會(huì)三 角函數(shù)在解決具有周期變化規(guī)律的問題中的作用。三角恒等變換在數(shù)學(xué)中有一定 的應(yīng)用，同時(shí)有利于發(fā)展學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力。學(xué)生將運(yùn)用向量方法推導(dǎo) 基本的三角恒等變換公式，由此出發(fā)導(dǎo)出其他的三角恒等變換公式，并能運(yùn)用這 些公式進(jìn)行簡單的恒等變換。數(shù)列：數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型。學(xué)生將通過對(duì) 生活中大量實(shí)際問題的分析，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，探索并 掌握它們的一些基本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并利用他們解 決實(shí)際問題。不等式：不等關(guān)系

51、與相等關(guān)系都是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容。 建立不等觀念、處理不等關(guān)系與處理等量問題是同樣重要的。學(xué)生將通過具體情 境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，理解不等式（組）對(duì) 于刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解決 一些實(shí)際問題；能用二元一次不等式組表示平面區(qū)域，并嘗試解決一些簡單的二 元線性規(guī)劃問題；認(rèn)識(shí)基本不等式及其簡單應(yīng)用；體會(huì)不等式、方程及函數(shù)之間 的聯(lián)系。導(dǎo)數(shù)及其網(wǎng)，導(dǎo)數(shù)概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用。 學(xué)生通過大量實(shí)例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率刻畫現(xiàn)實(shí)問題的過程，理解 導(dǎo)數(shù)概念，了解導(dǎo)

52、數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)中的作用，初步了解定積 分的概念,為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)。學(xué)生將體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其豐富 內(nèi)涵，感受導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用，了解微積分的文化價(jià)值。3.2高等敷學(xué)微積分的教學(xué)內(nèi)容高等數(shù)學(xué)教材的編制不像中小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編制，有課程標(biāo)準(zhǔn)文件作為 指導(dǎo)。根據(jù)所能查閱到的資料，1977年高等學(xué)校理科數(shù)學(xué)教材大綱討論會(huì)制定 了數(shù)學(xué)分析大綱，1980年在上海舉行的高等學(xué)校理科教材編審委員會(huì)審訂了 數(shù)學(xué)分析大綱，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系所編的數(shù)學(xué)分析第四版（上冊）， 本教材正是根據(jù)以上兩本大綱編寫的。同濟(jì)大學(xué)版的高等數(shù)學(xué)第七版（上冊） 是根據(jù)教育發(fā)布的工科類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程

53、教學(xué)基本要求編寫的，其應(yīng)用十 分廣泛，絕大多數(shù)高校的理工科專業(yè)都以此為教材。由于數(shù)學(xué)分析第四版（上 冊）（下面簡稱數(shù)學(xué)分析）和高等數(shù)學(xué)第七版（上冊）（下面簡稱高等 數(shù)學(xué)）的內(nèi)容都恰好包含了定積分，與高中數(shù)學(xué)微積分初步的內(nèi)容銜接緊密， 因此本文以研究數(shù)學(xué)分析教材為主，以高等數(shù)學(xué)教材為輔，在綜合二者 章節(jié)的基礎(chǔ)上刪去了一些與銜接無關(guān)的章節(jié)，主要章節(jié)如下表所示：表3.4高等數(shù)學(xué)微積分銜接內(nèi)容第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)1實(shí)數(shù)2數(shù)集-確界原理3函數(shù)概念4具有某些特性的函數(shù)第二章數(shù)列極限1數(shù)列極限的概念2收斂數(shù)列的性質(zhì)3數(shù)列極限存在的條件第三章函數(shù)極限1函數(shù)極限概念2函數(shù)極限的性質(zhì)3函數(shù)極限存在的條件4兩個(gè)重要極

54、限5無窮小量與無窮大量第四章函數(shù)的連續(xù)性1連續(xù)函數(shù)概念2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)3初等函數(shù)的連續(xù)性第五章導(dǎo)數(shù)和微分1導(dǎo)數(shù)的概念2求導(dǎo)法則3參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第六章微分中值定理及其應(yīng)用4函數(shù)的極值與最大（?。┲?函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)6函數(shù)圖像的討論第九章定積分1定積分概念2牛頓一萊布尼茨公式3可積條件4定積分的性質(zhì)5微積分學(xué)基本定理定積分計(jì)算（續(xù)）3.3高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的關(guān)系集合：高中階段學(xué)習(xí)集合一方面是為了培養(yǎng)學(xué)生用符號(hào)來表達(dá)數(shù)學(xué)的意識(shí),另一方 面是為了用集合來描述函數(shù)。高中數(shù)學(xué)教材從具體的生活情境出發(fā)抽象出集合的 含義，并對(duì)集合的表示和一些常見的數(shù)集做了符號(hào)的規(guī)定，然后介紹了集合間的 一些關(guān)系和運(yùn)算，

55、最終希望學(xué)生能夠?qū)W會(huì)如何應(yīng)用集合。結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)以及教材 后的習(xí)題可以發(fā)現(xiàn)，教材對(duì)學(xué)生的要求僅限于研究一些給定的集合的關(guān)系和運(yùn)算, 如：寫出集合血母的所有子集；耕=一1, 0, 1）, B = 0, 1, 2, 3,求AUB 和AUB.這里的集合%b就是一個(gè)具體的實(shí)例。大學(xué)階段學(xué)習(xí)數(shù)集.確界原理，在高中集合的基礎(chǔ)上增加了鄰域和確界的原 理。而鄰域和確界是用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言定義的，不同于集合描述性的定義，因此 習(xí)題大多是形如以下所示：設(shè)數(shù)集S有上確界.證明n = supScS 8 n+1n8 n+1高中階段運(yùn)用集合語言重新定義了函數(shù)的概念，并結(jié)合之前初中階段所學(xué)過 的一些具體的函數(shù)和新增的指數(shù)函數(shù)、

56、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、三角函數(shù)研究函數(shù)的 一些性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性和周期性。大學(xué)學(xué)習(xí)的函數(shù)概念在高等數(shù)學(xué)中與高 中所學(xué)的函數(shù)概念并無太大的區(qū)別，只不過對(duì)高中未涉及到的一些盲區(qū)進(jìn)行了補(bǔ) 充，例如在函數(shù)的表示方法中增加了狄利克雷函數(shù)和黎曼函數(shù)，它們的圖像正常 情況下無法給出(高中教材未在正文中介紹)。增加了復(fù)合函數(shù)的定義，高中教 材中盡管有用到但并未給出明確定義。增加了反函數(shù)的定義，高中教材在新課改 之前有反函數(shù)的內(nèi)容，新課改后將這部分內(nèi)容放到了 “鏈接”中。在函數(shù)的性質(zhì) 中增加了有界函數(shù)的概念?？梢哉f數(shù)學(xué)分析第一章中函數(shù)的內(nèi)容與高中相比沒有太大的差別，第三 章和第四章才正式開始研究函數(shù)的性質(zhì)。在數(shù)

57、列級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上，海涅定理(歸結(jié) 原則)成功地把函數(shù)極限歸結(jié)為數(shù)列極限來處理，真正意義上體現(xiàn)了數(shù)列是一種 特殊的函數(shù)。數(shù)列和函數(shù)不應(yīng)該被割裂開來，高中學(xué)習(xí)的等差數(shù)列就是一次函數(shù) 的離散形式，等比數(shù)列就是指數(shù)函數(shù)的離散形式，但這一點(diǎn)在高中教材中并沒有 很好的體現(xiàn)。有了函數(shù)極限的基礎(chǔ)后，高中教材不能解決的對(duì)函數(shù)連續(xù)的數(shù)學(xué)語 言描述在大學(xué)數(shù)學(xué)中有了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，根的存在定理(零點(diǎn)存在定理)也能 夠進(jìn)行嚴(yán)格的證明。在高中教材中，零點(diǎn)存在定理只要求會(huì)應(yīng)用，至于它的由來 只是通過觀察一些特例得到的，定義描述不夠數(shù)學(xué)化，又缺乏嚴(yán)格的證明，非常 不符合數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性。至于三角函數(shù)的內(nèi)容，高中教材把它歸結(jié)為第

58、二類基本初等函數(shù)，是刻畫周 期現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，無論是研究函數(shù)的性質(zhì)還是后面的恒等變換，都是對(duì)正 弦、余弦、正切這三種函數(shù)研究的比較多，恒等變換主要是為了加強(qiáng)學(xué)生的推理 能力和運(yùn)算能力，對(duì)兩角和差公式和二倍角公式要求比較高，積化和差、和差化 積、半角公式僅鼓勵(lì)學(xué)生去探索和交流討論，不要求記憶。數(shù)學(xué)分析在“初 等函數(shù)”中提到了三角函數(shù)(正弦、余弦、正切、余切)和它們反三角函數(shù)，余 切的地位和前三者等同，沒有介紹反三角函數(shù)的性質(zhì)，但在課后習(xí)題中卻有要求， 例如：確定下列初等函數(shù)的存在域：y = sin-1(log),y = log(sin-1)；試作函= sin-1(sinx)的圖像.在“求導(dǎo)法

59、則一章的例題中出現(xiàn)了正割函數(shù)y=secx和余割函數(shù)y = esc %.總 的看來三角函數(shù)、反三角函數(shù)的性質(zhì)在數(shù)學(xué)分析中沒有系統(tǒng)性的介紹，比較 零散，三角恒等變換的一些公式與技巧都默認(rèn)讀者已經(jīng)掌握。導(dǎo)數(shù)：傳統(tǒng)的導(dǎo)數(shù)課程應(yīng)當(dāng)是遵循數(shù)列T數(shù)列的極限T函數(shù)的極限T函數(shù)的連續(xù)T 導(dǎo)數(shù)T導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。高中教材中并非把導(dǎo)數(shù)看成一種特殊的極限(增量比的極限), 而是直接通過實(shí)際背景和具體應(yīng)用實(shí)例一一速度、增長率等反映導(dǎo)數(shù)思想本質(zhì)的 實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過程，認(rèn)識(shí)和理解導(dǎo)數(shù)。蘇教 版教材中的導(dǎo)數(shù)由曲線的切線引入，當(dāng)割線的兩端點(diǎn)無限接近時(shí)割線就變成了切 線，切線的斜率就是導(dǎo)數(shù)，這其實(shí)是導(dǎo)數(shù)的

60、幾何意義；在實(shí)際背景中當(dāng)平均變化 率中的分母無限接近0時(shí)，平均變化率就變成了瞬時(shí)變化率，瞬時(shí)變化率就是導(dǎo) 數(shù)，瞬時(shí)速度就是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)特例。教材主要介紹了導(dǎo)數(shù)的兩部分內(nèi)容，第一部 分是如何計(jì)算一個(gè)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在沒有求導(dǎo)公式前例題根據(jù)教材中導(dǎo)數(shù)的定 義求導(dǎo)，如：已知f(x) = X2 + 2,求f(x)在x = l處的導(dǎo)數(shù)，解答過程如下：因?yàn)榇?如竺也。=冬冬!竺冬色 =2 + AxAxAx從而，當(dāng)Ax 0時(shí)，2+A*t2,所以/(x)在x = lAt的導(dǎo)數(shù)等于2.隨后教材通過對(duì)三個(gè)函數(shù)(f(x) = kx + b, f(x) = x2, /(%) = Vx)的導(dǎo)數(shù)用定 義證明后歸納出了多項(xiàng)式