高等代數(shù)環(huán)的定義及性質(zhì)

1、. 環(huán)的定義與根本性質(zhì)環(huán)的定義：定義1：交換群稱為加群群，其運(yùn)算叫做加法，記為+。定義2：代數(shù)系統(tǒng)稱為環(huán)，假設(shè)，是加群；代數(shù)系統(tǒng)適合結(jié)合律；乘法對(duì)加法的分配律成立。例子1、都是環(huán)，均稱為數(shù)環(huán)。、，則也是數(shù)環(huán)，稱之為高斯整環(huán)。設(shè)是任一數(shù)環(huán)，則關(guān)于多項(xiàng)式加法與乘法作成一個(gè)多項(xiàng)式環(huán)。所有模剩余類，則是模剩余類環(huán)，這里，設(shè)，是加群，規(guī)定乘法如下：，則作成一個(gè)環(huán)，稱之為零環(huán)。二環(huán)的根本性質(zhì)：。為整數(shù)。、為整數(shù)。、為整數(shù)。為整數(shù)。假設(shè)環(huán)中元、滿足，則。、為整數(shù)三交換律與單位元：、定義：環(huán)叫做交換環(huán)，假設(shè)有定義：環(huán)的元稱為單位元，假設(shè)有約定：環(huán)假設(shè)有單位元，則記其單位元為，并稱為有的環(huán)。性質(zhì)：設(shè)是有環(huán)，則假

2、設(shè)；假設(shè)不僅含一個(gè)元，則、定義：為有環(huán)，、則稱為的逆元，記為。性質(zhì)：有環(huán)的所有可逆元關(guān)于乘法構(gòu)成群。整環(huán)、除環(huán)、域一整環(huán)、定義：設(shè)為環(huán)，、，假設(shè)但，則稱為的一個(gè)左零因子，為的一個(gè)右零因子。定理：在一個(gè)無(wú)左零因子的環(huán)里，兩個(gè)消去律都成立；反之，假設(shè)一個(gè)環(huán)里有一個(gè)消去律成立，則該環(huán)無(wú)零因子。推論：環(huán)中，假設(shè)有一消去律成立，則另一消去律也成立。、定義：無(wú)零因子的有交換環(huán)稱為整環(huán)。、例子、分別是全陣環(huán)的左右零因子。整數(shù)環(huán)是整環(huán)；實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式環(huán)是整環(huán)；證明左逆元不是零因子。二除環(huán)與域、定義：一個(gè)至少包含一個(gè)非零元的有環(huán)中，假設(shè)的任一非零元都有逆元，則稱為除環(huán)或體。交換除環(huán)稱為域。根本性質(zhì)：除環(huán)無(wú)零因

3、子。為除環(huán)有，且都可逆。為除環(huán)，則關(guān)于乘法作成一個(gè)群，反之也然。為除環(huán)，則，方程 在中各有唯一解。為域，、則方程在中各有唯一解，且解一樣，記為商的形式。在域中，商有如下性質(zhì)：；。環(huán)、整環(huán)、除環(huán)、域的隸屬關(guān)系：無(wú)零因子環(huán)域有環(huán)交換環(huán)整環(huán)除環(huán)環(huán)無(wú)零因子環(huán)的特征定理：無(wú)零因子環(huán)的非零元對(duì)于加群而言階一致。定義：無(wú)零因子環(huán)的非零元在加群中的階叫做該環(huán)的特征。環(huán)的特征記為定理：無(wú)零因子環(huán)的特征或?yàn)闊o(wú)限大，或?yàn)樗財(cái)?shù)。推論：整環(huán)、除環(huán)、域的特征或無(wú)限大，或是素?cái)?shù)。子環(huán)、環(huán)的同態(tài)一子環(huán)、子環(huán)的概念與例子定義：設(shè)是環(huán)的一個(gè)非空子集，假設(shè)對(duì)于的兩個(gè)運(yùn)算也作成環(huán)，則稱為的子環(huán)，而為的擴(kuò)環(huán)。特別，可相仿得到子體、子域

4、的概念。、子環(huán)的判別定理定理：為環(huán)的非空子集，以下四條等價(jià)：為的子環(huán)；。定理：設(shè)是體域的非空子集，以下四款等價(jià)：是有子體域；且；。、環(huán)與子環(huán)關(guān)于交換律、零因子、單位元的情形：關(guān)于交換律： = 1 * GB3 交換環(huán)的子環(huán)必是交換環(huán)； = 2 * GB3 非交換環(huán)的子環(huán)可能是交換環(huán)，也可能是非交換環(huán)。關(guān)于零因子： = 1 * GB3 無(wú)零因子環(huán)的子環(huán)無(wú)零因子； = 2 * GB3 有零因子環(huán)的子環(huán)可能有零因子，也可能無(wú)。關(guān)于單位元的例： = 1 * GB3 、的單位元都為，這里. = 2 * GB3 為的單位元，而的單位元為 = 3 * GB3 的單位元為，但的子環(huán)偶數(shù)環(huán)卻無(wú)單位元 = 4 *

5、GB3 對(duì)運(yùn)算，作成環(huán)，但無(wú)單位元，而為的子環(huán)，有單位元 = 5 * GB3 為偶數(shù)環(huán)，為的子環(huán)，與都無(wú)單位元二環(huán)的同態(tài)以下總設(shè)、是代數(shù)系統(tǒng)。、環(huán)的同態(tài)根本性質(zhì)：定理：設(shè)是環(huán)，則也是環(huán)，而且；假設(shè)為交換環(huán)，則也是交換環(huán)；假設(shè)有，則為的單位元。定理：設(shè)、都是環(huán)，則是整環(huán)體、域是整環(huán)體、域。關(guān)于零因子與特征的例：為合數(shù)，則而無(wú)零因子，有零因子；規(guī)定則是環(huán)，且有零因子令，則，但無(wú)零因子。為素?cái)?shù)，同1，則，且，但。、挖補(bǔ)定理：引理：假設(shè)存在代數(shù)系統(tǒng)到集的一個(gè)雙射，則可在上規(guī)定代數(shù)運(yùn)算，使。定理挖補(bǔ)定理設(shè)是環(huán)的子環(huán)，是在中的補(bǔ)集，是另一環(huán)。假設(shè)，且則存在的擴(kuò)環(huán)使。五、理想定義：環(huán)的一個(gè)非空子集叫做的一個(gè)

6、理想子環(huán)，簡(jiǎn)稱理想，如果、。任何一個(gè)環(huán)都至少有兩個(gè)理想：環(huán)本身，稱為環(huán)的單位理想；以及，稱為該環(huán)的零理想。定理：除環(huán)只有零理想與單位理想。定理：是一個(gè)環(huán)，則是的一個(gè)理想。定義：定理中的稱為由生成的的一個(gè)主理想，記為。定理：設(shè)為環(huán)的元，則假設(shè)為交換環(huán)，則假設(shè)為有環(huán)，則假設(shè)為有交換環(huán)，則。定理：為環(huán)的元，則是的理想。定義：定理中的稱為由生成的理想，記為。六、剩余類環(huán)、同態(tài)與理想假設(shè)為環(huán)的理想，則；是；的不變子群，則商群，其中為所在的陪集，并稱為的一個(gè)模剩余類。顯然，定理：對(duì)于運(yùn)算作成一個(gè)環(huán)，且，這里為環(huán)的一個(gè)理想。定義：稱為環(huán)的模的剩余類環(huán)。定理：、都為環(huán)，且，則為的一個(gè)理想，且定理：環(huán)，則的一個(gè)子環(huán)理想的象是的子環(huán)理想；的一個(gè)子環(huán)理想的逆象是的子環(huán)理想。七、最想定義：一個(gè)環(huán)的一個(gè)不等于的理想，假設(shè)沒(méi)有其它包含的理想存在，則稱為的一個(gè)最想。即，假設(shè)為之一理