fuzzysets模糊集合

1、模糊集LAZadeh加州大學電氣工程和電子研究實驗室，Berkeley，加利福尼亞模糊集合是帶有隸屬等級連續(xù)集的對象的一個類。這樣一個集合由隸屬（特征）函數(shù)表征，隸屬函數(shù)賦予每個對象一個取值于0到1區(qū)間之內(nèi)的隸屬度。本文把包含、聯(lián)合、交、補、關(guān)系、凸性等概念推廣到這種集合之上，并在模糊集合的意義上確立這些概念的各種特性。特別是在不要求模糊集合不想交的情況下證明凸模糊集合的分離定理。引言對現(xiàn)實的自然界中碰到的對象進行分類，經(jīng)常找不到精確定義的資格判據(jù)。例如，動物類明確把狗、馬、鳥等列為他的成員，并明確把巖石，液體以及工廠等這類對象排除在外。然而，像海星、細菌這類對象相對于動物類而言卻處于一種含混

2、的狀態(tài)。把像10這樣的一個數(shù)與遠大于1的實數(shù)的“類”聯(lián)系起來時，出現(xiàn)在相同的含混性。很清楚，“遠大于1的所有實數(shù)”，“沒人”或“高個子”這些類，不構(gòu)成一般數(shù)學意義上的類或集合。但事實上，這種不精確定義的“類”仍在人的思維中，特別是在圖像的識別、信息通訊和抽象的領(lǐng)域內(nèi)起著重要的作用。上面引述的這種類可以用一種概念來處理，本文的目的是初步探討這一概念的一些基本特性和含義。所要研究的概念就是模糊集合的概念。模糊集合是帶有隸屬度連續(xù)集的“類”。下面將要看到，在構(gòu)成一種許多方面與普通集合的結(jié)構(gòu)類似但比它更一般的概念結(jié)構(gòu)的過程中，模糊集合的概念提供一個方便的出發(fā)點。這種概念結(jié)構(gòu)很可能會被證明有很廣泛的應(yīng)用

3、范圍，特別可用在圖像分類和信息處理方面。實質(zhì)上，當問題的不精確性來源于類的成員資格的判據(jù)沒有明確的定義，而不是由于存在隨機變量時，這樣一種結(jié)構(gòu)為之提供一種自然的方法。我們由幾個基本定義出發(fā)，開始模糊集合的討論。定義令X是點（目標、對象）空間，x的一般元素記為x。于是X=x。X中的一個模糊集合（類）A由隸屬（特征）函數(shù)fA（x）表征，fA（x）把區(qū)間0,1中的一個實數(shù)與X中每個點結(jié)合起來，x上的fA（x）的值代表x在A中的“隸屬度”于是fA（x）的值越接近1,x在A中的隸屬度也越高。若A是一個普通的集合，其隸屬函數(shù)只能取0和1兩個值，fA（x）=1或0,視x屬于或不屬于A而定。這樣，在這情況下f

4、A（x）簡化為集合A的熟知的特征函數(shù)。（當必須把這種集合和模糊集合區(qū)別開來時，具有二值特征函數(shù)的集合將稱為普通集合或簡單集合）例令X是實線R1且令A是遠大于1的數(shù)的模糊集合。貝I，通過把fA（x）規(guī)定為R1上的一個函數(shù)可以給出一個雖然主觀但是明確的關(guān)于A的表征法。這樣一個函數(shù)的典型值可以是：fA（0）=0；fA（1）=0；fA（5）=0.01；fA（10）=0.2；fA（100）=0.95；fA（500）AAAAAA=1應(yīng)該注意，模糊集合的隸屬函數(shù)雖然與X是一個可數(shù)集合時的概率函數(shù)（或X是一個連續(xù)集合時的概率密度函數(shù)）相似，但是這兩個概念之間存在本質(zhì)的差別。建立起隸屬函數(shù)的組合規(guī)貝及它們的基本

5、特性，這一點將變得更清楚。實際上，模糊集合的概念本質(zhì)上完全是非統(tǒng)計的。我們先從模糊集合的幾個定義開始，這幾個定義是普通集合的相應(yīng)的定義的明顯推廣。一個模糊集合是空的當且僅當其隸屬函數(shù)在X上恒為0。兩個模糊集合相等，記為A=B，當且僅當對X中所有的x都有fA（x）=fB（x）。（這AB之后，對X中所有的x,fA(x)=fB(x)的寫法我們將更簡單的用fA=fB代替)模糊集合A的補集記作A并定義為fA=1-fA(1)和普通集合的情況一樣，包含的在模糊集合中起重要作用。這個概念和有關(guān)的并和交的概念定義如下。包含A包含于B,(或等價于A是B的一個子集、A小于等于B)當且僅當fAWfB。AB用符號記為A

6、BOfAWfB并各自具有隸屬函數(shù)fA(X)和fB(x)的兩個模糊集合A和B的并是模糊集合C,記作C=AUB，其隸屬函數(shù)和A與B的隸屬函數(shù)的關(guān)系是fC(x)=MaxfA(x),fB(x),xuX,(3)或縮寫為4)注意u具有結(jié)核特性，即-扌廣亠i.；mL.討論給并下定義的一個更加直觀更加引人注意的方法是:A和B的并是同時包含A和B的最小模糊集合。更準確的說，如果D是任何一個同時包含A和B的模糊集，則它也包含A和B的并。為了說明此定義與(3)等價，我們首先要看按照(3)的定義，C同時包含A和B,因為MasfA,fBNfA和Maj：厲,匡九.故，若D是任意一個同時包含A和B的模糊集合，則faMA因此

7、魚Max扎所以匚二“證畢模糊集合的交的概念可以用相似的方式來定義。具體來看交各自具有隸屬函數(shù)fA(x)和fB(x)的兩個模糊集合A和B的交是一個模糊集合C,記作C=AnB,其隸屬函數(shù)和A與B的隸屬函數(shù)的關(guān)系是簡化為 )和并的情勢一樣，不難看出A和B的交是同時被包含在A和B中的最大的模糊集合。和普通集合的情況一樣，若AHB是空集，則A和B不相交。需要注意的是，同U樣，。具有結(jié)合特性。R1中兩個模糊集合的交和并表示于1的圖中。并的隸屬函數(shù)由曲線段1和2構(gòu)成；交的隸屬函數(shù)由曲線段3和4構(gòu)成(粗線)。BFig,lroftheunionandintflrseetionoffuzavsetsinli1 #

8、) #)討論需要注意的是，“屬于”這個概念在普通集合中起著重要的作用，在模糊集合中并沒有相同的地位。這樣的話，討論一個點X“屬于”一個模糊集合A就是沒有意義的，除非是在fA(x)這個意義上來說。否則，人們可以引入a和B(OVavi,0B=并接受這樣的說法，(1)如果fA(x)三a，“x屬于A”；(2)如果fA(x)WB，“x不屬于A”；而(3)若BfA(x)a，“x相對于A處在一個不確定的地位上”。這導致三值邏輯(Kleene,1952)，這種邏輯具有三個真值：T(fA(x)三a)，F(xiàn)(fA(x)WB)，和U(BfA(x)fb(x)和fA(x)f(x)f(x),f(x)f(x)f(x),f(x

9、)f(x)f(x)ABCACBBACf(x)f(x)f(x),f(x)f(x)f(x),f(x)f(x)f(x)BCACABCBA實際上，X中的模糊集合構(gòu)成有一個0和1的分配格(Brikhoff,1948)并和交的解釋在普通集合中，由一族集合A.，A.,，A經(jīng)過U和。表示的一1in個集合C,可以表示為轉(zhuǎn)化a,，a的一個網(wǎng)絡(luò)，其中A.nA.和A.UA.各自對1nijij應(yīng)于a.和a.的串和并。在模糊集合中，我們可以給出一個類似的解釋。具體來說就是，令.j分別對應(yīng)于s.(x)和S.(x)f.(x)，i=1,，n，表示A.在x上的隸屬函數(shù)的值。把f.(x)與一個網(wǎng)狀尺寸為.f.(x)的S.(x)聯(lián)系

10、。則和.并和串，如圖2那樣。F1G-2ParallelandseriesconnectionofBievessivnultating|JandQ更一般的情況，由A,，A，U和n組成的表達式對應(yīng)S,(x)，S(x)的一1n1n個網(wǎng)絡(luò)，這個網(wǎng)絡(luò)可以通過控制電路的技術(shù)找出來。一個非常簡單的例子，C=(A1UA2)nA3UA4(13)對應(yīng)圖3的網(wǎng)絡(luò)。注意網(wǎng)絡(luò)中網(wǎng)的尺寸取決于x,而網(wǎng)絡(luò)作為一個整體等于尺寸為f(x)cIV模糊集合上的代數(shù)運算除了并和交等運算外，可以給出一些模糊集合的組合、建立相互聯(lián)系的其他方法。在這些的方法中最重要的如下所述。14)代數(shù)乘A和B的代數(shù)乘記作AB，以A和B的隸屬度用下面的關(guān)

11、系式來定義，fAB=fAfB很明顯 )代數(shù)和A和B的代數(shù)和記作A+B，定義為fA+B=fA+fB（16）條件是fA+fB小于或者等于1。這樣就和代數(shù)乘不一樣了。代數(shù)和只在滿足fA（x）+fB（x）ABABW1時才有意義。絕對差A和B的絕對差記作丨A-B丨，定義為f丨A-B丨=丨fA-fB丨要注意的是，在普通集合中的丨A-B丨簡化為AUB中AnB的補集。TOC o 1-5 h z凸組合f和g兩個矢量的凸組合通常是指f和g的線性組合，例如,其中自戀沁：。f和g的組合可以在模糊集合中一般化，如下：令A,B和A是任意的模糊集合。A，B和A的凸組合記作（A,B；A）并以如下關(guān)系式定義。（A，B；A）=A

12、A+AB（17）其中，A是A的補。用隸屬函數(shù)表示，（17）式表示為F（A,B;A）（X）=33+1-3嚇），X匕X（18）A，B和A的凸組合的一個基本特性是；：；.，：-（19）此式子對于所有A都滿足。這個性質(zhì)是下面不等式的直接結(jié)果：Min阮（加*（時羞血（珀+（1-A）A（）WMax幾（對（広幾蠶*Q0）這個不等式對于所有在0,1中都成立。有趣的是，任意一個滿足廠：二=仁=:的模糊集合C,總是能找到一個模糊集合A，使C=（A，B；A）。這一集合的隸屬函數(shù)從21)得出。模糊關(guān)系關(guān)系的概念（函數(shù)概念的一般化）在模糊集合中得到自然的推廣而且在這種集合理論和應(yīng)用中起到了重要的作用就如同它在普通集合中所起到的作用相當?shù)?。下面，我們將只是定義模糊關(guān)系的概念并且討論幾個相關(guān)概念。一般地，一個關(guān)系定義為有序?qū)ε迹℉almos,1960）,例如，使得x三y的實數(shù)x和y組成的所有有序?qū)ε嫉募?。在模糊集合中，X中的模糊掛席是XXX中的一個模糊集合。例，xy所代表的關(guān)系，x，yUR1，可以看為R2中的一個模糊集合A，A的隸屬函數(shù)為fA（x，y），其（主觀的）典型值為fA（10,5）=0；fA（100，10）=0.7；fA