判斷是否為線性系統(tǒng)例題

1、 例 1.6-1 在下列系統(tǒng)中，f(t)為激勵(lì)，y(t)為響應(yīng)，x(0-)為初始狀態(tài)，試判定它們是否為線性系統(tǒng)。 (1) y(t)=x(0-)f(t)(2) y(t)=x(0-)2+f(t)(3) y(t)=2x(0-)+3|f(t)|(4) y(t)=af(t)+b 判斷是否為線性系統(tǒng)例題1 解 由于系統(tǒng)(1)不滿足分解性； 系統(tǒng)(2)不滿足零輸入線性； 系統(tǒng)(3)不滿足零狀態(tài)線性，故這三個(gè)系統(tǒng)都不是線性系統(tǒng)。 對(duì)于系統(tǒng)(4)， 如果直接觀察y(t)f(t)關(guān)系，似乎系統(tǒng)既不滿足齊次性，也不滿足疊加性，應(yīng)屬非線性系統(tǒng)。但是考慮到令f(t)=0時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)為常數(shù)b, 若把它看成是由初始狀態(tài)引起

2、的零輸入響應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)仍是滿足線性系統(tǒng)條件的， 故系統(tǒng)(4)是線性系統(tǒng)。通常，以線性微分(差分)方程作為輸入輸出描述方程的系統(tǒng)都是線性系統(tǒng)，而以非線性微分(差分)方程作為輸入輸出描述方程的系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)。 2 例 1.6-2 試判斷以下系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)。 (1) yf(t)=acosf(t) t0 (2) yf(t)=f(2t) t0 輸入輸出方程中f(t)和yf(t)分別表示系統(tǒng)的激勵(lì)和零狀態(tài)響應(yīng)，a為常數(shù)。 判斷時(shí)不變例題3解 (1) 已知設(shè) 則其零狀態(tài)響應(yīng) 故該系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。 4 (2) 這個(gè)系統(tǒng)代表一個(gè)時(shí)間上的尺度壓縮，系統(tǒng)輸出yf(t)的波形是輸入f(t)在時(shí)間上壓縮1/2

3、后得到的波形。直觀上看，任何輸入信號(hào)在時(shí)間上的延遲都會(huì)受到這種時(shí)間尺度改變的影響。 所以， 這樣的系統(tǒng)是時(shí)變的。 設(shè) 相應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)為 5圖 1.6-2 例1.6-2圖 6例 1.6-3 對(duì)于以下系統(tǒng)： 由于任一時(shí)刻的零狀態(tài)響應(yīng)均與該時(shí)刻以后的輸入無(wú)關(guān)， 因此都是因果系統(tǒng)。 而對(duì)于輸入輸出方程為 因果性例題7 其任一時(shí)刻的響應(yīng)都將與該時(shí)刻以后的激勵(lì)有關(guān)。例如，令t=1時(shí)，就有yf(1)=f(2)，即t=1時(shí)刻的響應(yīng)取決于t=2時(shí)刻的激勵(lì)。響應(yīng)在先，激勵(lì)在后，這在物理系統(tǒng)中是不可能的。 因此， 該系統(tǒng)是非因果的。同理，系統(tǒng)yf(t)=f(2t)也是非因果系統(tǒng)。 在信號(hào)與系統(tǒng)分析中，常以t=0作為初始觀察時(shí)刻，在當(dāng)前輸入信號(hào)作用下， 因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)只能出現(xiàn)在t0的時(shí)間區(qū)間上，