2022年高考數(shù)學(xué)尖子生輔導(dǎo)專題(文理通用)之專題03含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立問題

1、第 PAGE14 頁 共 NUMPAGES14 頁2022年高考數(shù)學(xué)尖子生輔導(dǎo)專題(文理通用)之專題03 含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立問題專題三含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立問題不等式問題是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，而含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立問題又是重點(diǎn)中的難點(diǎn)這類問題既含參數(shù)又含變量，與多個(gè)知識(shí)有效交匯，有利于考察學(xué)生的綜合解題才能，檢驗(yàn)學(xué)生思維的靈敏性與創(chuàng)造性，這正符合高考強(qiáng)調(diào)才能立意，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想與方法的命題思想，因此恒成立問題成為近年來全國各地高考數(shù)學(xué)試題的一個(gè)熱點(diǎn)模塊1整理方法提升才能處理含參數(shù)函數(shù)不等式一個(gè)未知數(shù)恒成立問題，從方法上，可考慮別離參數(shù)法或猜測(cè)最值法必要條件法假如使用別離參數(shù)法，那么猜測(cè)是

2、沒有作用的，對(duì)于難一點(diǎn)的別離參數(shù)法，可能要使用屢次求導(dǎo)或洛必達(dá)法那么假如使用猜測(cè)法，那么后續(xù)有3種可能：一是猜測(cè)沒有任何作用；二是利用猜測(cè)減少分類討論；三是在猜測(cè)的根底上強(qiáng)化，從而得到答案從改造的形式上，解答題優(yōu)先選擇一平一曲，可利用別離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為一平一曲兩個(gè)函數(shù)，也可以把函數(shù)化歸為一邊，考慮函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)情況本質(zhì)上也是一平一曲洛必達(dá)法那么假如當(dāng)也可以是時(shí)，兩個(gè)函數(shù)和都趨向于零或都趨向于無窮大，那么極限可能存在，也可能不存在假如存在，其極限值也不盡一樣我們稱這類極限為型或型不定式極限對(duì)于這類極限，一般要用洛必達(dá)法那么來求定理1：假設(shè)函數(shù)和滿足條件：12和在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且3存在

3、或?yàn)闊o窮大那么有定理2：假設(shè)函數(shù)和滿足條件：12和在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且3存在或?yàn)闊o窮大那么有在定理1和定理2中，將分子、分母分別求導(dǎo)再求極限的方法稱為洛必達(dá)法那么使用洛必達(dá)法那么時(shí)需要注意：1必須是型或型不定式極限2假設(shè)還是型或型不定式極限，且函數(shù)和仍滿足定理中和所滿足的條件，那么可繼續(xù)使用洛必達(dá)法那么，即3假設(shè)無法斷定的極限狀態(tài)，或能斷定它的極限振蕩而不存在，那么洛必達(dá)法那么失效，此時(shí)，需要用其它方法計(jì)算4可以把定理中的換為，此時(shí)只要把定理中的條件作相應(yīng)的修改，定理仍然成立例1函數(shù)1求在上的最小值；2假設(shè)對(duì)恒成立，求正數(shù)的最大值【解析】1定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，由可得

4、，由可得，所以在上遞增，在上遞減于是在上的最小值為或i當(dāng)，即時(shí)，ii當(dāng)，即時(shí)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，2令，那么對(duì)恒成立對(duì)恒成立法1：別離參數(shù)法當(dāng)，不等式恒成立，于是對(duì)恒成立對(duì)恒成立令，那么，令，那么，所以在上遞增，于是，即，所以在上遞增由洛必達(dá)法那么，可得，于是，所以正數(shù)的最大值為法2：不猜測(cè)直接用最值法構(gòu)造函數(shù)，那么當(dāng)，即時(shí)，所以函數(shù)在上遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，由可得，所以函數(shù)在上遞減，于是在上，不合題意綜上所述，正數(shù)的最大值為法3：先猜測(cè)并將猜測(cè)強(qiáng)化由常用不等式可得，即當(dāng)時(shí)，式子恒成立，當(dāng)，有恒成立，而，所以下面證明可以取到，即證明不等式對(duì)恒成立構(gòu)造函數(shù)，那么，所以函數(shù)在上遞增，所以，所以不

5、等式對(duì)恒成立，所以正數(shù)的最大值為法4：先猜測(cè)并將猜測(cè)強(qiáng)化對(duì)恒成立，因?yàn)樗裕聪峦?法5：先猜測(cè)并將猜測(cè)強(qiáng)化當(dāng)，不等式恒成立，于是對(duì)恒成立對(duì)恒成立由洛必達(dá)法那么，可得，于是下同法3【點(diǎn)評(píng)】法1別離參數(shù)法把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，法2最值法把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求的最小值由此可見最值法與別離參數(shù)法本質(zhì)上是相通的，其本質(zhì)都是把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，其區(qū)別在于所求的函數(shù)中是否含有參數(shù)法3、法4和法5都是先求出必要條件，然后將必要條件進(jìn)展強(qiáng)化，需要解題的敏感度和判斷力假如我們將這個(gè)必要條件與法2的最值法進(jìn)展結(jié)合，可減少法2的分類討論例2設(shè)函數(shù)1求的單調(diào)區(qū)間；2假設(shè)，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，

6、求的最大值【解析】1當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上遞增當(dāng)時(shí)，由可得，由可得所以在上遞減，在上遞增2當(dāng)時(shí)，所以，即在上恒成立法1：別離參數(shù)法在上恒成立在上恒成立令，那么，令，有在上恒成立，所以在上遞增也可由1可知，函數(shù)在上遞增而，所以在上有唯一根，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是在上遞減，在上遞增，所以在上的最小值為，因?yàn)?，所以，于是，所以，所以的最大值為?：不猜測(cè)直接用最值法令，那么，令可得當(dāng)，即時(shí)，有在上恒成立，于是在上遞增，從而在上有，于是在上恒成立當(dāng)，即時(shí)因?yàn)槭钦麛?shù)，所以，可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是在上的最小值是令，那么在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減而，所以當(dāng)時(shí)，有在上恒成立，當(dāng)時(shí)，在上不恒成立綜上所述，的最

7、大值為法3：先猜測(cè)并將猜測(cè)強(qiáng)化因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以?dāng)時(shí)，該式子也成立，于是，即下證的最大值為令，那么，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增所以，于是的最大值為【點(diǎn)評(píng)】由于是整數(shù)，所以先猜測(cè)再將猜測(cè)強(qiáng)化是優(yōu)先采用的解題方法假如將是整數(shù)這個(gè)條件去掉，那么得到的必要條件既不能強(qiáng)化又不能減少分類討論，此時(shí)猜測(cè)將沒有任何作用，只能用法1的別離參數(shù)法和法2的最值法進(jìn)展求解例3設(shè)函數(shù)1假設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；2假設(shè)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍【解析】1當(dāng)時(shí)，由可得，由可得所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是2法1：別離參數(shù)法在上恒成立在上恒成立當(dāng)時(shí)，式子顯然成立；當(dāng)時(shí)，別離參數(shù)可得在上恒成立令，那么，令，可得，所以在上遞增，于

8、是，即，所以在上遞增，于是，所以，所以在上遞增由洛必達(dá)法那么，可得，所以在上有，所以法2：不猜測(cè)直接用最值法，當(dāng)，即時(shí)，有，所以在上遞增，所以，所以，所以在上遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，由可得時(shí)，于是在上遞減，所以，所以，所以在上遞減，于是，于是不恒成立綜上所述，的取值范圍是法3：先猜測(cè)并將猜測(cè)強(qiáng)化當(dāng)時(shí)，在上恒成立當(dāng)時(shí)，在上恒成立在上恒成立由洛必達(dá)法那么，可得，所以，所以在上遞增，所以，所以，所以在上遞增，所以【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于恒成立問題，最值法與別離參數(shù)法是兩種最常用的方法假如別離后的函數(shù)容易求最值，那么選用別離參數(shù)法，否那么選用最值法最值法主要考察學(xué)生分類討論的思想，一般遵循“構(gòu)造函數(shù)分類討論”兩部曲來

9、展開一些稍難的恒成立問題，假如用別離參數(shù)法來處理，往往需要屢次求導(dǎo)和使用洛必達(dá)法那么此題中，法2的最值法比法1的別離參數(shù)法要簡(jiǎn)單，這是因?yàn)樘幚淼淖钚≈狄忍幚淼淖钚≈狄菀撞聹y(cè)最值法的形式是解決恒成立問題的重要形式，猜測(cè)的一般方法有：特殊值代入，不等式放縮，洛必達(dá)法那么，端點(diǎn)效應(yīng)模塊2練習(xí)穩(wěn)固整合提升練習(xí)1：函數(shù)1求曲線在點(diǎn)處的切線方程；2求證：當(dāng)時(shí)，；3設(shè)實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，求的最大值【解析】1，因?yàn)?，所以，于是切線方程為【證明】2構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，所以在上遞增，所以于是當(dāng)時(shí)，【解析】3法1：不猜測(cè)直接用最值法構(gòu)造函數(shù)，那么當(dāng)時(shí)，所以在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，所以在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，由可得，于是在上遞

10、減，所以，于是在上不恒成立綜上所述，的最大值為法2：先猜測(cè)并將猜測(cè)強(qiáng)化由2可知，猜測(cè)的最大值為下面證明當(dāng)時(shí)，在上不恒成立構(gòu)造函數(shù)，那么當(dāng)時(shí)，由可得，于是在上遞減，所以，于是在上不恒成立練習(xí)2：設(shè)函數(shù)1證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；2假設(shè)對(duì)于任意、，都有，求的取值范圍【證明】1，令，那么，所以在上遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增【解析】2由1可知，在上遞減，在上遞增，所以，于是對(duì)于任意、，都有，即構(gòu)造函數(shù)，那么，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增又因?yàn)?，所以的取值范圍是練?xí)3：函數(shù)1當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；2假設(shè)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍【解析】1的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，于是曲

11、線在處的切線方程為2法1：別離參數(shù)法當(dāng)時(shí)，令，那么，令，那么，于是在上遞增，所以，于是，從而在上遞增由洛必達(dá)法那么，可得，于是于是的取值范圍是法2：不猜測(cè)直接用最值法當(dāng)，即時(shí)，所以在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，令，那么，所以即在上遞增，于是i假設(shè)，即時(shí)，于是在上遞增，于是ii假設(shè)，即時(shí)，存在，使得當(dāng)時(shí)，于是在上遞減，所以綜上所述，的取值范圍是法3：變形后不猜測(cè)直接用最值法當(dāng)時(shí)，令，那么，記，那么是以為對(duì)稱軸，開口方向向上的拋物線當(dāng)，即時(shí)，所以，于是在上遞增，因此當(dāng)，即時(shí)，的判別式為，于是有兩根，不妨設(shè)為、，且由韋達(dá)定理可得，于是，所以，于是，當(dāng)時(shí)，所以，于是在上遞減，即綜上所述，的取值范圍是法4：通過猜

12、測(cè)減少分類討論當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即，記，那么是以為?duì)稱軸，開口方向向上的拋物線當(dāng)時(shí)，所以，于是在上遞增，因此所以的取值范圍是法5：通過猜測(cè)減少分類討論當(dāng)時(shí)，由洛必達(dá)法那么，可得，于是下同法4練習(xí)4：函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為1求、的值；2假如當(dāng)，且時(shí)，求的取值范圍【解析】1，因?yàn)椋?，于?法1：別離參數(shù)法由可得，令且，令，那么，令，那么，令，那么當(dāng)時(shí)，在上遞增，于是，即，所以在上遞減，于是，即，所以在上遞增，所以，于是，所以在上遞減當(dāng)時(shí)，在上遞增，于是，即，所以在上遞增，于是，即，所以在上遞增，所以，于是，所以在上遞增由洛必達(dá)法那么，可得，同理，所以當(dāng)且時(shí)，有，于是法2：不猜測(cè)直接用最值

13、法由1知，所以，考慮函數(shù)，那么，此時(shí)有，令，當(dāng)時(shí)，其判別式為當(dāng)時(shí)，所以，于是，于是在上遞減，而，所以當(dāng)時(shí)，于是；當(dāng)時(shí)，于是所以當(dāng)，且時(shí)，即恒成立當(dāng)時(shí)，是開口方向向下，以為對(duì)稱軸，與軸有兩個(gè)交點(diǎn)的二次函數(shù)因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所以，于是在上遞增，所以而時(shí)，所以，于是不恒成立當(dāng)時(shí)，所以在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，而，所以，于是不恒成立當(dāng)時(shí)，是開口方向向上，以為對(duì)稱軸，與軸有兩個(gè)交點(diǎn)的二次函數(shù)因?yàn)?，所以在上恒成立，所以在上是增函?shù)，以下同，于是不恒成立當(dāng)時(shí)，是開口方向向上，以為對(duì)稱軸，與軸最多有一個(gè)交點(diǎn)的二次函數(shù)，所以在上恒成立，所以在上是增函數(shù)，以下同，于是不恒成立綜上所述，的取值范圍為法3：通過猜測(cè)減少分類討論由1知，所以因?yàn)椋钥紤]函數(shù)，那么，此時(shí)有，令，這是開口方向向下的拋物線，其判別式為當(dāng)時(shí)，所以，于是，于是在上遞減，而，所以當(dāng)時(shí)，于是；當(dāng)時(shí)，于是所以當(dāng)，且時(shí)，即恒成立當(dāng)時(shí)，是開口方向向下，以為對(duì)稱軸，與軸有兩個(gè)交點(diǎn)的二次函數(shù)因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所以，于是在上遞增，所以而時(shí)，所以，于是不恒成立綜上所述，的取值范圍為法4：通過猜測(cè)減少分類討論由可得，由洛必達(dá)法那么，可得，于是，所以下同法2，只需討論法2的三種情況即可法5：通過猜測(cè)減少分類討論由可得，由洛必達(dá)法那么，可得，所以下同法2，只需討論法2的即可【點(diǎn)評(píng)】法1的別離參數(shù)法，利用了高階導(dǎo)數(shù)以及洛必達(dá)法那么，減少理解題的技