北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊第二單元《三角形分類》教學(xué)案例教學(xué)研討

1、在分類活動(dòng)中如何培養(yǎng)學(xué)生的有序思維“三角形分類”教學(xué)案例教學(xué)內(nèi)容本冊教科書第22頁“三角形分類”。課前思考心理學(xué)認(rèn)為，概念本質(zhì)上就是一種分類的行為。通過“三角形分類”活動(dòng)，不僅要識(shí)別特殊三角形的概念，厘清這些概念的邏輯關(guān)系，更為重要的是體驗(yàn)分類的過程與方法，培養(yǎng)學(xué)生的有序思維。可是，很多“三角形分類”的課例卻沒有達(dá)成“過程與方法”的目標(biāo)。下面先看一個(gè)教學(xué)片斷，想一想，問題究竟出在哪里？課堂寫真（片斷）師：老師選擇了一些屏幕上出現(xiàn)的三角形放在材料袋里，請同學(xué)們把它們分分類。在操作前我們來看看提示（投影出示）。A.你準(zhǔn)備按什么標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類？B.可以把它們分成幾類？C.每類三角形都有什么特點(diǎn)？師：請

2、同學(xué)們先自己思考一下，然后再小組討論，接著進(jìn)行分類。學(xué)生以小組為單位進(jìn)行分類，教師參與到學(xué)生的分類活動(dòng)中。當(dāng)教師發(fā)現(xiàn)有的小組很快就分好時(shí)，及時(shí)指出：“老師發(fā)現(xiàn)有的小組同學(xué)很快就分好了，你們還能再嘗試用另外的方法來分類嗎？”學(xué)生嘗試按照不同的分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類。師：現(xiàn)在哪一組同學(xué)愿意為大家展示一下呢？師：先告訴大家你們是按什么標(biāo)準(zhǔn)來分類的？生：我們是按角分的。師：共分成幾類？生：分了三類。師：為了便于說明，請你把按角分類結(jié)果貼到黑板上來。學(xué)生將手中的三角形按角分類貼到黑板上，教師板書：按角分。師：還有別的分類標(biāo)準(zhǔn)嗎？生：我們是按邊分的。師：分成幾類？請把你們的分類也貼到黑板上。另一小組學(xué)生將手中的

3、三角形貼到黑板上，教師板書：按邊分。師：除了按角分和按邊分，還有別的分類標(biāo)準(zhǔn)嗎？生：沒有了。師：請同學(xué)們認(rèn)真觀察，他們和你們分的一樣嗎？按角分的同學(xué)能不能說說你們這樣分類的理由或想法？生：只要有一個(gè)角是直角的就分到一起，有一個(gè)角是鈍角的分到一起，三個(gè)角都是銳角的分到一起。師：按邊分的同學(xué)，說說你們是怎樣思考的。生：我們是按照三條邊相不相等來分的。這一行三條邊都相等就分到一類，只有兩條邊相等的分到第二類，三條邊都不相等的分到最后一類。課后解讀三角形分類是學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)三角形的起始課，對于后面學(xué)生深入認(rèn)識(shí)三角形的邊和角的特征有很重要的作用。而圖形的認(rèn)識(shí)對學(xué)生空間想象能力要求比較高，所以，在最初概念

4、形成階段，要學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)各類三角形的特征，讓學(xué)生都操作是必不可少的探索學(xué)習(xí)方式。值得注意的是，動(dòng)手操作并非單純地讓學(xué)生動(dòng)動(dòng)手，擺弄學(xué)具就可以了，動(dòng)手操作的價(jià)值應(yīng)該體現(xiàn)在學(xué)生是否是先思考，再動(dòng)手。學(xué)生的動(dòng)是否是受到思維指揮的有效運(yùn)動(dòng)，操作的結(jié)果是否是學(xué)生有效思考的結(jié)果。因此，在教學(xué)過程中，讓學(xué)生動(dòng)手分類之前，應(yīng)該明確地向?qū)W生提出要解決的問題，同時(shí)要求學(xué)生邊動(dòng)手操作邊把自己的想法試著用語言說出來。還要指出的是，學(xué)生匯報(bào)想法后教師的追問很重要，它既是對學(xué)生匯報(bào)的總結(jié)，同時(shí)也是對本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)的提煉。案例研討上述教學(xué)片斷具有代表性。學(xué)生小組合作，經(jīng)歷三角形分類的具體操作過程，并匯報(bào)了三角形“按角分”

5、或“按邊分”的分類結(jié)果。難道這還不算重視分類的過程與方法嗎？問題出在：有操作卻沒有深度的數(shù)學(xué)思考。沒有深度思考的操作是憑感覺走的，而感覺到的東西是不一定能把握和理解的。這個(gè)教學(xué)片斷，過程似乎順利、流暢，但至少有下列三個(gè)問題需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，澄清思路，糾正錯(cuò)誤。一、“按角分”是三角形的分類標(biāo)準(zhǔn)嗎？什么是三角形的分類標(biāo)準(zhǔn)？三角形的分類標(biāo)準(zhǔn)，其實(shí)就是某一類三角形的共同特征。因此，三角形的分類標(biāo)準(zhǔn)是可以據(jù)以判斷任意一個(gè)三角形是屬于具有這個(gè)特征的一類，還是屬于不具有這個(gè)特征的一類：兩者必居其一，且僅居其一。這就是最基本的分類方法要要二分法?！鞍唇欠帧笔且匀切蔚慕堑奶卣鳛闃?biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類活動(dòng)的統(tǒng)稱，也可

6、以說是三角形分類標(biāo)準(zhǔn)的一種范疇。所以，當(dāng)學(xué)生說“按角分”時(shí)，應(yīng)當(dāng)追問：“按三角形的角的什么特征為標(biāo)準(zhǔn)分？怎么分？”比如，可以先按“三角形是否有直角”的標(biāo)準(zhǔn)分，三角形分成“有直角”和“沒有直角”兩類。對于“沒有直角”的這一類三角形，還可以繼續(xù)按“是否有鈍角”的標(biāo)準(zhǔn)分，又分成了“有鈍角”和“沒有鈍角”兩類。綜合上述兩次“二分法”，三角形最終分成了如下三類。（1）有直角的三角形；（2）沒有直角，但有鈍角的三角形；（3）既沒有直角，也沒有鈍角的三角形?！鞍唇欠帧钡姆诸惒呗允嵌鄻踊?。也可以先按“三個(gè)角是否都是銳角”的標(biāo)準(zhǔn)分，三角形分成“三個(gè)角都是銳角”和“三個(gè)角不都是銳角”兩類（注意“不都是”與“都不

7、是”的區(qū)別）。對于“不都是銳角”的這一類三角形，還可以繼續(xù)按“是否有直角”的標(biāo)準(zhǔn)分，又分成了“有直角”和“沒有直角”兩類。綜合上述兩次“二分法”，也把三角形分成了如下三類。（1）三個(gè)角都是銳角的三角形；（2）三個(gè)角不都是銳角，但有直角的三角形；（3）三個(gè)角不都是銳角，也沒有直角的三角形。上面兩種“按角分”的不同策略，都把三角形分成了三類，通過對比不難發(fā)現(xiàn)這兩種不同的分類策略所分成的類別是完全相同的?！凹葲]有直角，也沒有鈍角的三角形”就是“三個(gè)角都是銳角的三角形”，把這一類命名為“銳角三角形”；“有直角的三角形”就是“三個(gè)角不都是銳角，但有直角的三角形”，把這一類命名為“直角三角形”；“沒有直角

8、，但有鈍角的三角形”就是“三個(gè)角不都是銳角，也沒有直角的三角形”，把這一類命名為“鈍角三角形”。綜上所述，三角形“按角分”的分類標(biāo)準(zhǔn)包括：是否有直角；是否有鈍角；是否三個(gè)角都是銳角。其中任選兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)按先后順序都可以組成一種“按角分”的分類策略。每一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)都對應(yīng)著一種“二分法”，不同的分類策略都能殊途同歸，把三角形分成三類：銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。把“按角分”（或“按邊分”）當(dāng)成是三角形分類的標(biāo)準(zhǔn)，是一個(gè)常見的錯(cuò)誤。這個(gè)錯(cuò)誤造成了學(xué)生的一個(gè)盲區(qū)，看不到真正的分類標(biāo)準(zhǔn)及其“二分法”的重要作用，因此，學(xué)生無法描述自己分類的思維過程，也無法說明自己的分類是否“不重復(fù)不遺漏”。二、“按邊

9、分”具體包括哪些分類標(biāo)準(zhǔn)？“按邊分”，學(xué)生說就是“按三條邊相等不相等來分”。這樣籠統(tǒng)的說法，還是沒有把“按邊分”的具體標(biāo)準(zhǔn)說清楚，因此，也抓不住分類的頭緒與思路。事實(shí)上，“按邊分”包括的分類標(biāo)準(zhǔn)有：是否三條邊都相等；是否有兩條邊相等；是否只有兩條邊相等。如果先按標(biāo)準(zhǔn)分，三角形可以分成“三條邊都相等”和“三條邊不都相等”的兩類；再按標(biāo)準(zhǔn)又可以把“三條邊不都相等”的三角形分成“只有兩條邊相等”和“三條邊互不相等”的兩類。綜上，三角形分成了“既不重復(fù)也不遺漏”的三類。（1）三條邊都相等的三角形；（2）只有兩條邊相等的三角形；（3）三條邊互不相等的三角形。如果先按標(biāo)準(zhǔn)分，三角形可以分成“有兩條邊相等”

10、和“三條邊互不相等”的兩類；再按標(biāo)準(zhǔn)（或者）又可以把“有兩條邊相等”的三角形分成“只有兩條邊相等”和“三條邊都相等”的兩類。綜上，三角形還是分成了上述三類。把上述第（1）類命名為等邊三角形。第（1）和（2）類的共同特征是“有兩條邊相等”，把它們合并為一類，并命名為等腰三角形。要引起注意的是，標(biāo)準(zhǔn)與，或者標(biāo)準(zhǔn)與并不是互相排斥的，這一點(diǎn)很容易被學(xué)生忽視或混淆。所以，教科書特別給等邊三角形和等腰三角形下了定義，以幫助學(xué)生厘清這兩種特殊三角形概念之間的從屬關(guān)系。如果用等腰三角形與等邊三角形等術(shù)語來描述“按邊分”的分類結(jié)果，那么三角形只能被分成等腰三角形和非等腰三角形兩類，等邊三角形是特殊的等腰三角形。

11、三、要不要利用圖來表示三角形分類的結(jié)果？如果三角形分類不僅是為了識(shí)別一些特殊三角形的概念，而且還要厘清這些概念之間的邏輯關(guān)系，那么利用圖來表示分類的結(jié)果是一個(gè)明智的選擇。但有不少教師卻不敢采納這種圖示策略，以為此舉超越了教科書要求。把概念視為集合，把概念之間的關(guān)系視為集合之間的關(guān)系，用韋恩圖來表示分類的結(jié)果，這些的確不是學(xué)生自己能夠探究發(fā)現(xiàn)的。但是，圖是學(xué)生直觀理解數(shù)學(xué)的有效工具。只要不把韋恩圖當(dāng)作知識(shí)點(diǎn)，不必要求學(xué)生自己會(huì)畫，只要把圖示作為幫助學(xué)生理解概念及其關(guān)系的一條途徑，那么這種“滲透”集合韋恩圖的教學(xué)策略，是應(yīng)該鼓勵(lì)的?！鞍唇欠帧?，三角形分類的結(jié)果如圖1。圖1 三角形“按角分”的分類結(jié)

12、果“按邊分”，三角形分類的結(jié)果如圖2。圖2 三角形“按邊分”的分類結(jié)果之一三邊互不相等的三角形，因?yàn)闆]有什么特別重要的性質(zhì)，所以可以淡化它，減少不必要的記憶。因此，在定義了等腰三角形和等邊三角形后，圖2可以改造如圖3。圖3 三角形“按邊分”的分類結(jié)果之二用圖表示分類的結(jié)果，從視覺上能強(qiáng)烈地感受到“按角分”與“按邊分”的區(qū)別。圖1突出了概念的并列關(guān)系，圖3突出了概念的從屬關(guān)系。四、除了“按角分”和“按邊分”，還有別的分類標(biāo)準(zhǔn)嗎？上述教學(xué)過程，學(xué)生以為“三角形分類”除了“按角分”或“按邊分”以外，就沒有其他的分類標(biāo)準(zhǔn)了。其實(shí)不然，三角形還有其他的分類標(biāo)準(zhǔn)。比如，還可以按是否是軸對稱圖形的標(biāo)準(zhǔn)分，三角形可以分成如下兩類。（1）是軸對稱圖形的三角形（等腰三角形）；（2）不是軸對稱圖形的三角形