北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊第五單元《字母表示數(shù)》拓展資源《代數(shù)學(xué)的起點用字母表示數(shù)》

1、代數(shù)學(xué)的起點用字母表示數(shù)想必需要很多年，才會認(rèn)識到，一對野雞和兩天，都是“2”這個數(shù)的實例。羅素 在人類歷史的發(fā)展過程中，人們最先接觸的是具體的數(shù)量，如1只雞、2個人、3頭牛等。后來，經(jīng)過漫長的發(fā)展階段，人們才認(rèn)識到兩個人和兩只雞都可以用“2”來表示，才抽象出一般的數(shù)，如1，2，3等。從具體的數(shù)量到抽象的數(shù)是人類認(rèn)識上的第一次飛躍，也由此產(chǎn)生了算術(shù)理論。隨著生產(chǎn)力的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)現(xiàn)象具有共同的特征，如3223，4554，7887，類似的等式共同體現(xiàn)了一個定律加法交換律。這時，只是用幾組算式來表示，就不能代表這幾組算式的一般性規(guī)律，若是用語言文字表達(dá)又很麻煩，數(shù)不夠用了，必然要引起數(shù)學(xué)史

2、上的第二次抽象用符號表示數(shù)。每個民族都在不同的時期，產(chǎn)生了自己的表示數(shù)的符號，那么，用字母表示數(shù)，是從什么時候開始的呢？1700多年前的古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（約246330年）在算術(shù)著作中，首次用符號（希臘字母，讀截塔）來表示未知數(shù)。他還把未知數(shù)稱為“題中的數(shù)”，用于區(qū)別其他用希臘字母，表示自然數(shù)。7世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)的祖師爺數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家婆羅摩笈多創(chuàng)造了一套用顏色的名稱來表示未知數(shù)的符號。當(dāng)有多個未知數(shù)時，除了第一個外，其余的用各種顏色來表示，如藍(lán)、紅、黑、黃、綠等，并取表示相應(yīng)顏色的名稱的開頭的音節(jié)（字頭）作為未知數(shù)符號。1494年，意大利修道士帕喬利也曾用字頭co（兩個字母）表示未知數(shù)。我國

3、古代也曾用不同的漢字分別表示已知數(shù)和未知數(shù)?，F(xiàn)代所使用的數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)的誕生，首先歸功于法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)（15401603年）。他在前人積累下來的經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，有意識地、系統(tǒng)地使用字母表示數(shù)，從而使得代數(shù)性質(zhì)發(fā)生了質(zhì)的飛躍。韋達(dá)原是律師與政治家，業(yè)余時間研究數(shù)學(xué)。他曾在布列塔尼議會工作，后任那瓦爾亨利親王的樞密顧問官。他在政治上失意的15841589年間，獻(xiàn)身于數(shù)學(xué)研究，曾在卡爾達(dá)諾、塔塔利亞、邦貝利、史蒂文和丟番圖的著作中獲得了使用字母的想法。1591年，在他的成名著作分析引論一書里，第一次有意識地使用系統(tǒng)的代數(shù)字母與符號，把代數(shù)看作一門完全符號化的科學(xué)。他在代數(shù)中建立了抽象的符號，首次用元音（

4、又叫母音）字母A，E，I，O，U，Y（a，e，i，o，u，y）表示未知數(shù)，輔音（又叫子音）字母B，C，D，G，（b，c，d，g，）表示已知數(shù)，從而使代數(shù)不僅用數(shù)，也用字母計算。他把符號性代數(shù)稱作“類的算術(shù)”，把算術(shù)和代數(shù)加以區(qū)別。同時規(guī)定了算術(shù)與代數(shù)的分界，認(rèn)為代數(shù)運算（Logistica speciosa）施行于事物的類或形式，算術(shù)運算（Logistica numerosa）實施于具體的數(shù)。這就使代數(shù)成為研究一般類型的形式和方程的學(xué)問，因而抽象并且應(yīng)用得更廣泛。因此，韋達(dá)被西方稱為“代數(shù)學(xué)之父”。韋達(dá)的這種做法受到后人的贊賞，并被吉拉德的代數(shù)新發(fā)現(xiàn)和奧特雷德的實用分析術(shù)所繼承，特別是后者的著

5、作使采用數(shù)學(xué)符號的風(fēng)氣流行起來。但是，韋達(dá)所使用的代數(shù)符號系統(tǒng)并不完善，它的改進(jìn)工作則是由笛卡兒完成的。笛卡兒（15961650年）是法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、解析幾何學(xué)奠基人之一。他認(rèn)為數(shù)學(xué)是其他一切科學(xué)的理論和模型，提出了以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，以演繹為核心的方法論，對后世的哲學(xué)、數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的發(fā)展起到了巨大的作用。他在幾何學(xué)中提出了解析幾何學(xué)的主要思想和方法，標(biāo)志著解析幾何學(xué)的誕生，恩格斯把它稱為數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點。從此以后，人類進(jìn)入了變量數(shù)學(xué)階段，幾何學(xué)確定了笛卡兒在數(shù)學(xué)史上的地位。1637年，笛卡兒在韋達(dá)創(chuàng)用符號代表數(shù)的基礎(chǔ)上，引進(jìn)了本質(zhì)上可代表任何一種量的符號體系。在幾何學(xué)中，他采用了拉丁字

6、母的前幾個a，b，c，代表已知數(shù)；后幾個字母x，y，z，代表未知數(shù)的做法，這種用法一直延續(xù)至今。為了使代數(shù)方法在幾何中順利應(yīng)用，他還設(shè)計了一種辦法最終取消了要求方程必須是齊次的限制。他用數(shù)字上標(biāo)代替過去數(shù)學(xué)家們使用的“平方”“立方”這些詞語表達(dá)法。他認(rèn)為這樣做避免了“平方”“立方”這些詞語在維數(shù)方面的內(nèi)涵給運算帶來的困難：因為在幾何中，平方這個詞指面積，立方指體積，它們跟直線有本質(zhì)的不同；而對于一個量而言，其平方或立方跟該量本身并無質(zhì)的區(qū)別。他先引進(jìn)所謂的單位量和比例式1 : x=x : x2= x2 : x3=他說在這個式子中，x只通過一個“關(guān)系”（指比）跟單位量聯(lián)系在一起，x2則要通過兩個

7、“關(guān)系”與單位量發(fā)生關(guān)系，其余依此類推。因此，數(shù)字上標(biāo)僅表示跟單位量聯(lián)系所需的“關(guān)系”的數(shù)目，而不再具有維數(shù)方面的意義。據(jù)此，他毫不猶豫地把算術(shù)語言引進(jìn)幾何，定義了直線段的加、減、乘、除、乘方和開方。韋達(dá)和笛卡兒開創(chuàng)了用字母表示數(shù)，但字母表示的都是在正數(shù)情況下的數(shù)，雖然他們毫不猶豫地進(jìn)行文字系數(shù)項的加減，但還沒有意識到用字母表示負(fù)數(shù)。20年后的1657年，荷蘭數(shù)學(xué)家赫德（16331704年）首先提出字母可以表示正數(shù)，又可以表示負(fù)數(shù)。從此以后，數(shù)學(xué)家歷經(jīng)兩千多年的努力所創(chuàng)用的用字母表示數(shù)的方法，便貫穿于全部數(shù)學(xué)中。由此，數(shù)學(xué)在表達(dá)方法、解題思想和研究方法方面都發(fā)生了深刻的變化，大大地前進(jìn)了一步。有了字母表示數(shù)，代數(shù)學(xué)中的代數(shù)式、方程便出現(xiàn)了。因此，代數(shù)可以理解為“用字母代替數(shù)”，表明它比算術(shù)更高明。有了字母表示數(shù)，數(shù)學(xué)中的定理、性質(zhì)、定律、法則、運算律等都能用公式表達(dá)出來了，如小學(xué)階段我們學(xué)習(xí)的運算定律：