定積分的學(xué)案教師15

1、定積分與微積分基本定理【學(xué)習(xí)目標】1.了解定積分的實際背景，基本思想、概念.2.了解微積分基本定理的含義.【基礎(chǔ)評測】1.用S表示圖中陰影部分的面積，則S的值是(D)Aeq iin(a,c,)f(x)dx B|eq iin(a,c,)f(x)dx|Ceq iin(a,b,)f(x)dxeq iin(b,c,)f(x)dx Deq iin(b,c,)f(x)dxeq iin(a,b,)f(x)dx2下列各命題中，不正確的是(D)A若f(x)是連續(xù)的奇函數(shù)，則eq iin(a,a,)f(x)dx0B若f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，則eq iin(a,a,)f(x)dxeq avs4al(2iin(0,a

2、,)f（x）dx)C若f(x)在a，b上連續(xù)且恒正，則eq iin(a,b,)f(x)dx0D若f(x)在a，b上連續(xù)，且eq iin(a,b,)f(x)dx0，則f(x)在a，b上恒正3.設(shè)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2x0,2x x0) (5)eq avs4al()eq oal(2,0)|x1|dx；(6) eq r(1sin 2x)dx；（7）eq iin(0,1,)eq f(1,x23x2)dx；（8）如果eq avs4al()eq oal(1,0)f(x)dx1，eq avs4al()eq oal(2,0)f(x)dx1，則eq avs4al()eq oal(2

3、,1)f(x)dx解:(1)eq avs4al()eq oal(2,0)x(x1)dxeq avs4al()eq oal(2,0)(x2x)dxeq avs4al()eq oal(2,0)x2dxeq avs4al()eq oal(2,0)xdxeq f(x,3)3eq blc|rc (avs4alco1(oal(2,0)eq f(x2,2)eq blc|rc (avs4alco1(oal(2,0)eq f(14,3).(2)eq avs4al()eq oal(2,1)(e2xeq f(1,x)dxeq avs4al()eq oal(2,1)e2xdxeq avs4al()eq oal(2,1

4、)eq f(1,x)dxeq f(1,2)e2xeq blc|rc (avs4alco1(oal(2,1)ln xeq blc|rc (avs4alco1(oal(2,1)eq f(1,2)e4eq f(1,2)e2ln 2.(3)eq avs4al()eq oal(,0)sin2xdxeq avs4al()eq oal(,0)eq f(1cos2x,2)dxeq avs4al()eq oal(,0)eq f(1,2)dxeq avs4al()eq oal(,0)eq f(cos2x,2)dxeq f(x,2)eq blc|rc (avs4alco1(oal(,0)eq f(1,4)sin 2

5、xeq blc|rc (avs4alco1(oal(,0)eq f(,2)0eq f(,2).(4)eq avs4al()eq oal(a,a)eq r(a2x2)dx表示yeq r(a2x2)的圖象與xa，xa，y0所圍成的圖形的面積，由yeq r(a2x2)得x2y2a2(y0)，yeq r(a2x2)表示以原點為圓心，a為半徑的上半圓，其面積為eq f(1,2)a2eq f(a2,2)，(5)|x1|eq blcrc (avs4alco1(1xx0，1,x1， x1，2)eq avs4al()eq oal(2,0)|x1|dxeq avs4al()eq oal(1,0)(1x)dxeq

6、avs4al()eq oal(2,1)(x1)dx(xeq f(x2,2)eq blc|rc (avs4alco1(oal(1,0)(eq f(x2,2)x)eq blc|rc (avs4alco1(oal(2,1)eq f(1,2)eq f(1,2)1.(6)eq avs4al()eq oal(,0)|sin xcos x|dx (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx(sin xcos x) (cos xsin x) eq r(2)1(1eq r(2)2eq r(2)2.(7)eq iin(0,1,)eq f(1,x23x2)dxeq iin(0,1,)eq f(1,x1

7、)eq f(1,x2)dxln(x1)ln(x2)eq blc rc|(avs4alco1(,)eq sup12(1)0(ln2ln3)(ln1ln2)2ln2ln3.（8）解析：eq avs4al()eq oal(2,0)f(x)dxeq avs4al()eq oal(1,0)f(x)dxeq avs4al()eq oal(2,1)f(x)dx， eq avs4al()eq oal(2,1)f(x)dxeq avs4al()eq oal(2,0)f(x)dxeq avs4al()eq oal(1,0)f(x)dx112. 悟一法求定積分的一些技巧(1)對被積函數(shù)，要先化簡，再求定積分(2)求

8、被積函數(shù)是分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分的性質(zhì)， 分段求定積分再求和(3)對含有絕對值符號的被積函數(shù)，要去掉絕對值符號才能 求定積分(4)利用微積分基本定理不易求解時，可考慮利用定積分的 幾何意義求解探究二利用定積分求面積求下圖中陰影部分的面積解解方程組eq blcrc (avs4alco1(yx4，,y22x，)得eq blcrc (avs4alco1(x2,y2)，或eq blcrc (avs4alco1(x8,y4)S陰影eq iin(0,8,)eq r(2x)dx8eq iin(0,2,)|eq r(2x)|dx2eq r(2)eq blc rc|(avs4alco1(blc(rc)(a

9、vs4alco1(f(2,3)xf(3,2)eq oal(8,0)eq r(2)eq blc rc|(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)xf(3,2)eq oal(2,0)618.求由兩條曲線圍成的圖形的面積的解題步驟(1)畫出圖形，確定圖形的范圍，通過解方程組求出交點的橫坐標定出積分的上、下限；(2)確定被積函數(shù)，特別要注意分清被積函數(shù)的上、下位置；(3)寫出平面圖形面積的定積分的表達式；(4)運用微積分基本定理計算定積分，求出平面圖形的面積探究三定積分的應(yīng)用1一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度行駛至停止，在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離（單

10、位：）是 A B C D2一質(zhì)點在直線上從時刻t0(s)開始以速度vt24t3(m/s)運動求：(1)在t4 s的位置；(2)在t4 s內(nèi)運動的路程解：(1)在時刻t4時該點的位置為eq iin(0,4,)(t24t3)dt(eq f(1,3)t32t23t)eq blc|rc (avs4alco1(4,0)eq f(4,3)(m)，即在t4 s時刻該質(zhì)點距出發(fā)點eq f(4,3) m.(2)因為v(t)t24t3(t1)(t3)，所以在區(qū)間0,1及3,4上的v(t)0，在區(qū)間1,3上，v(t)0，所以t4 s時的路程為Seq iin(0,1,)(t24t3)dteq blc|rc|(avs4

11、alco1(iin(1,3,)t24t3dt)eq iin(3,4,)(t24t3)dt(eq f(1,3)t32t23t)eq blc|rc (avs4alco1(1,0)eq blc|rc|(avs4alco1(f(1,3)t32t23t)eq blc rc|(avs4alco1(,)eq oal(3,1)(eq f(1,3)t32t23t)eq blc|rc (avs4alco1(4,3)eq f(4,3)eq f(4,3)eq f(4,3)4(m)即質(zhì)點在4 s內(nèi)運動的路程為4 m.鞏 固 提 高1求由曲線,直線及軸所圍成的圖形的面積錯誤的為（）A BC D【答案】C22014湖北卷

12、若函數(shù)f(x)，g(x)滿足eq iin(1,1,)f(x)g(x)dx0，則稱f(x)，g(x)為區(qū)間1，1上的一組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)：f(x)sineq f(1,2)x，g(x)coseq f(1,2)x；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中為區(qū)間1，1上的正交函數(shù)的組數(shù)是()A0 B1 C2 D36C解析 由題意，要滿足f(x)，g(x)是區(qū)間1，1上的正交函數(shù)，即需滿足eq iin(1,1,)f(x)g(x)dx0.eq iin(1,1,)f(x)g(x)dxeq iin(1,1,)sineq f(1,2)xcoseq f(1,2)xdxeq f(1,2)eq

13、 iin(1,1,)sinxdxeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)cos x)eq oal(1,1)0，故第組是區(qū)間1，1上的正交函數(shù)；eq iin(1,1,)f(x)g(x)dxeq iin(1,1,)(x1)(x1)dxeq blc(rc)(avs4alco1(f(x3,3)x)eq oal(1,1)eq f(4,3)0，故第組不是區(qū)間1，1上的正交函數(shù)；eq iin(1,1,)f(x)g(x)dxeq iin(1,1,)xx2dxeq f(x4,4)eq oal(1,1)0，故第組是區(qū)間1，1上的正交函數(shù)綜上，是區(qū)間1，1上的正交函數(shù)的組數(shù)是2. 故選C.3.計算定積

14、分_.4.關(guān)于式子的結(jié)果，有以下結(jié)論：半徑為的圓的面積的二分之一半徑為的圓的面積的四分之一長短軸長分別為10和5的橢圓面積的二分之一長短軸長分別為10和5的橢圓面積的四分之一該式子的值為 該式子的值為其中正確結(jié)論的序號為 .5給出如下命題：(1)eq iin(b,a,)dxeq iin(a,b,)dtba(a，b為常數(shù)且a1)交于點O、A，直線xt(0t1)與曲線C1、C2分別相交于點D、B，連接OD、DA、AB.求四邊形ABOD面積和最大值。解析(1)由eq blcrc (avs4alco1(yx2,yx22ax)得點O(0,0)，A(a，a2)又由已知得B(t，t22at)，D(t，t2)故Seq iin(0,t,)(x22ax)dxeq f(1,2)tt2eq f(1,2)(t22att2)(at)eq blc rc|(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x3ax2)eq oal(t,0)eq f(1,2)t3(t2at)(at)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)t3at2)eq f(1,2)t3t32at2a2teq f(1,6)t3at2a2t.f(t)eq f(1,6)t3at2a2t(0t1)(2)f (t)eq f(1,2)t22ata2，令f (t)0，即eq f(1,2)t22ata20，解得t(2eq r