2022年《量子力學(xué)》考試知識(shí)點(diǎn)

1、名師整理 精華知識(shí)點(diǎn)量子力學(xué)考試知識(shí)點(diǎn) 第一章：緒論經(jīng)典物理學(xué)的困難考核知識(shí)點(diǎn)：（一）、經(jīng)典物理學(xué)困難的實(shí)例（二）、微觀粒子波粒二象性 考核要求：（一）、經(jīng)典物理困難的實(shí)例 1. 識(shí)記：紫外災(zāi)難、能量子、光電效應(yīng)、康普頓效應(yīng)。2. 領(lǐng)會(huì)：微觀粒子的波粒二象性、德布羅意波。第二章：波函數(shù)和薛定諤方程 考核知識(shí)點(diǎn)：（一）、波函數(shù)及波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（二）、含時(shí)薛定諤方程（三）、不含時(shí)薛定諤方程 考核要求：（一）、波函數(shù)及波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 1. 識(shí)記：波函數(shù)、波函數(shù)的自然條件、自由粒子平面波2. 領(lǐng)會(huì)：微觀粒子狀態(tài)的描述、（二）、含時(shí)薛定諤方程Born 幾率解釋、幾率波、態(tài)疊加原理1. 領(lǐng)會(huì)：薛定諤方

2、程的建立、幾率流密度，粒子數(shù)守恒定理 2. 簡明應(yīng)用：量子力學(xué)的初值問題（三）、不含時(shí)薛定諤方程 1. 領(lǐng)會(huì)：定態(tài)、定態(tài)性質(zhì) 2. 簡明應(yīng)用：定態(tài)薛定諤方程 第三章：一維定態(tài)問題名師整理 精華知識(shí)點(diǎn)一、考核知識(shí)點(diǎn)：（一）、一維定態(tài)的一般性質(zhì)（二）、實(shí)例二、考核要求：1. 領(lǐng)會(huì)：一維定態(tài)問題的一般性質(zhì)、束縛態(tài)、系數(shù)、透射系數(shù)、完全透射、勢壘貫穿、共振 2. 簡明應(yīng)用：定態(tài)薛定諤方程的求解、第四章 量子力學(xué)中的力學(xué)量 一、考核知識(shí)點(diǎn)：（一）、表示力學(xué)量算符的性質(zhì)（二）、厄密算符的本征值和本征函數(shù)（三）、連續(xù)譜本征函數(shù)“ 歸一化”（四）、算符的共同本征函數(shù)（五）、力學(xué)量的平均值隨時(shí)間的變化 二、考核

3、要求：（一）、表示力學(xué)量算符的性質(zhì) 1. 識(shí)記：算符、力學(xué)量算符、對(duì)易關(guān)系波函數(shù)的連續(xù)性條件、反射2. 領(lǐng)會(huì)：算符的運(yùn)算規(guī)則、 算符的厄密共厄、 厄密算符、厄密算符的性質(zhì)、基本力學(xué)量算符的對(duì)易關(guān)系（二）、厄密算符的本征值和本征函數(shù)1. 識(shí)記：本征方程、本征值、本征函數(shù)、正交歸一完備性2. 領(lǐng)會(huì)：厄密算符的本征值和本征函數(shù)性質(zhì)、值問題、力學(xué)量可取值及測量幾率、幾率振幅。（三）、連續(xù)譜本征函數(shù)“ 歸一化”坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符的本征1. 領(lǐng)會(huì)：連續(xù)譜的歸一化、箱歸一化、本征函數(shù)的封閉性關(guān)系名師整理 精華知識(shí)點(diǎn)（四）、力學(xué)量的平均值隨時(shí)間的變化 1. 識(shí)記：好量子數(shù)、能量時(shí)間測不準(zhǔn)關(guān)系2. 簡明應(yīng)用：力

4、學(xué)量平均值隨時(shí)間變化 第五章 態(tài)和力學(xué)量的表象 一、考核知識(shí)點(diǎn)：（一）、表象變換，幺正變換（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩陣形式（三）、量子態(tài)的不同描述 二、考核要求：（一）、表象變換，幺正變換 1. 領(lǐng)會(huì)：幺正變換及其性質(zhì)2. 簡明應(yīng)用：表象變換（二）、平均值，本征方程和 Schrodinger equation 的矩陣形式 1. 簡明應(yīng)用：平均值、本征方程和 Schrodinger equation 的矩陣形式2. 綜合應(yīng)用：利用算符矩陣表示求本征值和本征函數(shù)（三）、量子態(tài)的不同描述第六章：微擾理論 一、考核知識(shí)點(diǎn) : （一）、定態(tài)微擾論（二）、變分法

5、（三）、量子躍遷二、考核要求 : （一）、定態(tài)微擾論1. 識(shí)記：微擾 2. 領(lǐng)會(huì)：微擾論的思想名師整理 精華知識(shí)點(diǎn)3. 簡明應(yīng)用：簡并態(tài)能級(jí)的一級(jí)，二級(jí)修正及零級(jí)近似波函數(shù) 4. 綜合應(yīng)用：非簡并定態(tài)能級(jí)的一級(jí)，二級(jí)修正、波函數(shù)的一級(jí)修正。（二）、變分法 1. 領(lǐng)會(huì)：變分原理 2. 簡明應(yīng)用：用 Ritz 變分法求體系基態(tài)能級(jí)及近似波函數(shù)（三）、量子躍遷 1. 識(shí)記：躍遷、躍遷幾率、自發(fā)輻射、受激輻射、費(fèi)米黃金規(guī)則 2. 領(lǐng)會(huì)：躍遷理論與不含時(shí)微擾的關(guān)系 3. 簡明應(yīng)用：簡單微擾體系躍遷幾率的計(jì)算、常微擾、周期微擾 第七章 自旋與全同粒子 一、考核知識(shí)點(diǎn)：（一）、電子自旋（二）、總角動(dòng)量（三）

6、、堿金屬的雙線結(jié)構(gòu)（四）、自旋單態(tài)和三重態(tài)（五）、全同粒子交換不變性 二、考核要求：（一）、電子自旋 1. 識(shí)記：自旋存在的實(shí)驗(yàn)事實(shí)、二分量波函數(shù) 2. 領(lǐng)會(huì)：電子自旋的內(nèi)稟磁矩、對(duì)易關(guān)系、泡利表象、矩陣表示（泡利矩陣）、自旋態(tài)的表示 3. 簡明應(yīng)用：考慮自旋后，狀態(tài)和力學(xué)量的描述、考慮自旋后，電子在中 心勢場中的薛定諤方程（二）、總角動(dòng)量 1. 識(shí)記：自旋軌道耦合名師整理精華知識(shí)點(diǎn)jz)的共同本征值問題2. 領(lǐng)會(huì)：總角動(dòng)量、力學(xué)量完全集(H l2,j2,（三）、堿金屬的雙線結(jié)構(gòu) 1. 領(lǐng)會(huì)：堿金屬原子光譜的雙線結(jié)構(gòu)及反常塞曼效應(yīng)的現(xiàn)象及形成原因（四）、自旋單態(tài)和三重態(tài) 1.領(lǐng)會(huì)：自旋單態(tài)和三

7、重態(tài)(2 S?, S?z)表象中兩自旋為12的粒子的自旋波2. 簡明應(yīng)用：在(S 1 z,S 2z)和函數(shù)（五）、全同粒子交換不變性1. 領(lǐng)會(huì)：全同粒子體系與波函數(shù)的交換對(duì)稱性、費(fèi)米子和玻色子體系的描述、泡利不相容原理2. 簡明應(yīng)用：兩全同粒子體系、全同粒子體系波函數(shù)的結(jié)構(gòu)1、 波函數(shù)與薛定諤方程 理解波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，態(tài)迭加原理，薛定鄂方程，粒子流密度和粒子 數(shù)守恒定律 定態(tài)薛定諤方程。掌握一維無限深勢阱，線性諧振子。2、 力學(xué)量的算符表示 理解算符與力學(xué)量的關(guān)系。掌握動(dòng)量算符和角動(dòng)量算符，厄米算符本征 函數(shù)的正交性，算符的對(duì)易關(guān)系， 兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件 測不準(zhǔn)關(guān)系，力學(xué)量平均值隨時(shí)

8、間的變化 守恒定律。氫原子3、 態(tài)和力學(xué)量的表象 理解態(tài)的表象，掌握算符的矩陣表示，量子力學(xué)公式的矩陣表述 么正變換，了解狄喇克符號(hào)，線性諧振子與占有數(shù)表象。4、 定態(tài)近似方法 掌握非簡并定態(tài)微擾理論，簡并情況下的微擾理論，理解薛定鄂方程的名師整理 精華知識(shí)點(diǎn)變分原理及變分法。5、 含時(shí)微擾論 掌握與時(shí)間有關(guān)的微擾理論，躍遷幾率，光的發(fā)散和吸收及選擇定則。6、 自旋與角動(dòng)量 理解電子自旋，掌握電子的自旋算符和自旋函數(shù)。7、 全同粒子體系 理解兩個(gè)角動(dòng)量的耦合，光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)和全同粒子的特性。掌握全同。粒子體系的波函數(shù)，泡利原理，兩個(gè)電子的自旋函數(shù)。了解氦原子（微擾法）周世勛，量子力學(xué)教程，高等

9、教育出版社， 1979 年第 1 版 曾謹(jǐn)言，量子力學(xué)教程，科學(xué)出版社， 20XX 年版 參考書目：量子力學(xué)導(dǎo)論，北京大學(xué)出版社，曾謹(jǐn)言我認(rèn)為考試前要清楚報(bào)考單位對(duì)量子力學(xué)這門課的基本要求以及主要考查內(nèi)容是什么，應(yīng)當(dāng)按照其要求出發(fā)，有目的性、針對(duì)性的進(jìn)行的復(fù)習(xí)。中科院量子力學(xué)考試的重點(diǎn)是要求熟練把握波函數(shù)的物理解釋，薛定諤方程的建立、基本性質(zhì)和精確的以及一些重要的近似求解方法，理解這些解的物理意義，熟悉其實(shí)際的應(yīng)用。把握量子力學(xué)中一些非凡的現(xiàn)象和問題的處理方法，包括力學(xué)量的算符表示、對(duì)易關(guān)系、不確定度關(guān)系、態(tài)和力學(xué)量的表象、電子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子躍遷及光的發(fā)射與吸收的半經(jīng)典處

10、理方法等，并具有綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力。再者，中科院對(duì)量子力學(xué)這門課考查主要包括以下 9 大內(nèi)容：波函數(shù)和薛定諤方程 一維勢場中的粒子力學(xué)量用算符表示中心力場量子力學(xué)的自旋定態(tài)問題的近 似方法量子躍遷多體問題，復(fù)習(xí)過程中應(yīng)當(dāng)主要對(duì)這些內(nèi)容下功夫。第一階段：首先按照中科院碩士研究生入學(xué)考試量子力學(xué)考試大綱中的要求將參考書目看了一遍。中科院量子力學(xué)考試大綱中指定的參考書目是量子力學(xué)教程 ，這本書是由曾謹(jǐn)言編著的。此階段看書以理解為主，不必糾纏于細(xì)節(jié)，將不懂的知識(shí)點(diǎn) 做上記號(hào)。名師整理 精華知識(shí)點(diǎn)第二階段：我對(duì)大綱中要求了解的內(nèi)容，熟練把握的內(nèi)容以及理解的內(nèi)容進(jìn)行了分類，并且按相關(guān)

11、要求對(duì)將這門課進(jìn)行了第二輪復(fù)習(xí)。另外我認(rèn)為在這一遍復(fù)習(xí)中一定要把歷年試題弄到手并且仔細(xì)分析，因?yàn)檎骖}體現(xiàn)了命題單位的出題特點(diǎn)以及出題趨勢等。另外，我認(rèn)為真題要比大綱更有用，因?yàn)閺拇缶V中看不出的有價(jià)值的東西可以從真題中得到。當(dāng)然，需要注重的是，單純把握真題也是不理智的做法，假如一個(gè)考生僅僅把握了歷年真題的內(nèi)容，那么考試后他會(huì)得出這樣一個(gè)結(jié)論：今年的題真偏。其實(shí)，不是題偏，而是他沒有把參考書上的東西完全把握好。所以在這個(gè)階段中我仍然以看指定的參考書為主，著重解決了在第一遍復(fù)習(xí)中留下的疑問和在做真題中自己不會(huì)的題目。對(duì)了，此輪復(fù)習(xí)一定要做一份筆記，將主要內(nèi)容歸納出一份比較簡潔的提綱，以便于下輪復(fù)習(xí)。

12、第三階段：將專業(yè)課過第三遍，這一輪注重結(jié)合上一輪的筆記和提綱有重點(diǎn)的，系統(tǒng)的理解和記憶，由于專業(yè)課要求答的深入，所以可以找一些專業(yè)方面的期刊雜志來看下，擴(kuò)大下自己的視野范圍。這一階段大家也可以找些習(xí)題集來做下，不斷鞏固自己把握了的知識(shí)點(diǎn)。第四階段：這一輪要將參考書快速翻幾遍，以便對(duì)整個(gè)知識(shí)體系有全面的把握并且牢記于心，同時(shí)要進(jìn)行查缺補(bǔ)漏，不要放過一個(gè)疑點(diǎn)，要注重的是此時(shí)不能執(zhí)著于細(xì)小的知識(shí)點(diǎn)，要懂得抓大放小，把握最重要的知識(shí)點(diǎn)。另外可以根據(jù)對(duì)歷年試題的分析以及對(duì)本年度的專業(yè)考試做出一些猜測，并對(duì)考試的時(shí)間安排及如何進(jìn)行考中心理調(diào)節(jié)做下演練。（中科大 2003）一、試證明：（1）投影算符 P |

13、 n n | 是厄密算符；它在任意態(tài) | 中的平均值是正定的，即 | P | 0。（2）設(shè) | 是歸一化波函數(shù)，對(duì)于線性厄密算符 A 以下等式成立i d A A , H i A。dt t證明：（1）因?yàn)?P (| n n |) | n n | P 所以 P 是厄密算符或|P|名師整理n|精華知識(shí)點(diǎn)*n|*|P|*|n|n2| P | | n n | | n | | 0（2）因?yàn)?A , A 則d A, A , A , Adt t t t再由 S-eq得 i d A A , H i Ad t t*或 因?yàn)?A A dx 所以*d A A dx *A dx * A dxdt t t t1 *HA

14、dx 1 *AH dx * A dxi i t1 *( AH HA ) dx * A dxi t即 i d A A , H i Ad t t二、對(duì)于一維諧振子，求消滅算符 a 的本征態(tài) |，將其表示成各能量本征態(tài) | n 的線性疊加。已知 a | n . n | n 1。解：設(shè) | C n | nn 0由于 a | | 且利用 a | n . n | n 1得 a | C n a | n C n n | n 1 C n | nn 0 n 0 n 0以 n 1 | 左乘上式 并利用 n | n n n 得名師整理 精華知識(shí)點(diǎn)nC n C n 1 依次遞推得 C n C 0n n !2 n2 2由

15、歸一化條件 | C n C 0 1n n n !2 n21 2因?yàn)?e C 0 e 2 ie 為實(shí)數(shù)，可取為 0n n !1 2 n所以 | e 2 | nn 0 n !三、給定 ( , ) 方向的單位矢量 n (sin cos , sin sin , cos )，在 z表象中求 n n 的本征值和歸一化本征矢。解：因?yàn)?n x s i n c o s y s i n s i n z c o s 所以icos sin en i n n的本征值為 1sin e coscos sin e i a a由本征方程 i 求得sin e cos b bi / 2cos cos e對(duì)于 1 1 2 或 1

16、2sin ie sin e i / 22 2i / 2sin sin e對(duì)于 1 1 2 或 1 2cos ie cos e i / 22 2四、設(shè)一定域電子（作為近似模型，不考慮軌道運(yùn)動(dòng)），處于沿 x 方向的均勻磁場 B 中，哈密頓量為 H e Bx L x L eB 拉莫爾2 c 2 c（Larmor）頻率設(shè)t0名師整理精華知識(shí)點(diǎn)時(shí)，電子自旋 “ 向上 ”（Sz/2）。求t0時(shí)（1）電子自旋態(tài)(t ；（2）電子自旋 S 的平均值。解：（1） 方法一令( t)a(t)初始條件( 0 )a(0 )1b ( t)b ( 0 )0由薛定諤方程得(aaaiid dttabLtLa)tb(t)a(0)

17、abbeiLtL(aib)bbiLbLaabiLb)積分得0)eiLti ea(t(0 )ieLta(t)b (t)(0 )b(b (t)is i nLt由此可得a(t)c o sL( t)tcosLisinL方法二體系能量本征態(tài)即x的本征態(tài)，本征值和本征態(tài)分別為111EEL1x121EEL1x12電子自旋初態(tài)( 0 )名師整理(精華知識(shí)點(diǎn)11)02T 時(shí)刻電子自旋態(tài)為( t)1( eiLti eLt)cosLttisinL2（ 2）電子自旋各分量的平均值S y( tS x(t)( t)S x(t)Lt2cosLtisinLt01LtcosLt20Lt10isinLt0i) S y2cosis

18、inLtcos2sini0isinLtS z( t) S z( t)2cosLtisinLt10cosLt2cos 2Lt01isinLt五、已知系統(tǒng)的哈密頓量為H2020020求能量至二級(jí)近似，波函數(shù)至一級(jí)近似。解： （1）HH0HH020000020H000可見所設(shè)表象為非H 表象，為將0200H 對(duì)角化，先由H 的本征方程求其本征值和本征矢。求得結(jié)果為：本征值( E 10)E(0)2E(0)323相應(yīng)本征矢名師整理精華知識(shí)點(diǎn)0|311|1110|210221011 0 1（2）利用 S 10 2 0 轉(zhuǎn)到 h 表象（將 H 對(duì)角化）21 0 10 0 2 02h 0 S H 0 S 0

19、2 0 h S H S 0 0 00 0 3 02 2在 h 0 表 象 中 E n ( 1 ) h nn E n ( 2 ) |( 0 h) nm | 2( 0 )m n E n E m( 1 ) h nm ( 0 )n ( 0 ) ( 0 ) mm n E n E m( 1 ) ( 1 ) ( 1 )則 E 1 / 2 E 2 0 E 3 / 22 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 )E 1 E 2 0 E 38 8( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 )1 3 2 0 3 14 4量子力學(xué)測試題（2）1、一質(zhì)量為 m 的粒子沿 x 正方向以能量 E 向 x=0 處勢壘運(yùn)

20、動(dòng)。當(dāng) x 0 時(shí)，勢能為零；當(dāng)x0時(shí)，勢能為V 03E。問在 x=0 處粒子被反射的幾率多大？24解： S-eq為12 k 110 x0其 中k22mE/2k2 220 x01k22 m (EV0)/2k2/4名師整理精華知識(shí)點(diǎn)21由題意知 x 0 區(qū)域 既有入射波，又有反射波；x 0 區(qū)域僅有透射波故方程的解為 1 e ik 1 xre ik 1 xx 0ik 2 x2 te x 0在 x=0 處，及 都連續(xù)，得到 1 r t k 1 ( 1 r ) k 1 t 由此解得22 1R r92注意 透射率 T t 因?yàn)?k 2 k 1將 e ik 1 x，re ik 1 x，te ik 2 x

21、 分 別 代 入 幾 率 流 密 度 公 式i * *j2 m x x得 入射粒子流密度 j 0 k 1m反射粒子流密度 jR k 1 r 2m透射粒子流密度 jT k 2 t 2m由此得 反射率 R j R r 2 1j 0 9透射率 T j T k 2 t 2 8 R T 1j 0 k 1 92、計(jì)算（1）L,r2,p?是x,p的整函數(shù)，則p,F?(x)（2）設(shè)F解：（1）L,r2L,xx名師整理x精華知識(shí)點(diǎn)ixxixx0 xL,L,xx因?yàn)閷⒌诙?xiàng)啞標(biāo)作更換ixxiinxxixx所以L,r20 xx（ ）式（2）先由歸納法證明p,xninxn1in1上式顯然成立；設(shè)nk時(shí)上式成立，即p,

22、xkxkikxk1則p,xk1p,xkxxkp,xikxkixk(k)1顯然，nk1 時(shí)上式也成立，（ ）式得證。因?yàn)镕(x,p )C mnxmpnm,n0則p,FCmnp,xmpnCmnp ,xmpniCmnmxm1pnrlixFnlmm,nm,nm,n3、試在氫原子的能量本征態(tài)nlm 下，計(jì)算r1和r2的平均值。1解：處于束縛態(tài)nlm下的氫原子的能量l2E n2e42e21a2 enn2n2an2（1）計(jì)算r11VTn方 法1 相 應(yīng) 的 維 里 定 理 為m2En1Vn l m2所以r12En12e2EnHn l man方法 2 選 Z 為參量相應(yīng)的 F-H 定理e2e2H222名師整理

23、精華知識(shí)點(diǎn)nlmr1122 e11ran2ran（2）計(jì)算r22F-H2HH2d22 el(l1 )2等效的一維哈密頓量2dr2r2r2取 l 為參量相應(yīng)的定理EnHln l m注意llnnrl1rH0r2(l1/1a2n3e2(2l1 )an322 )H4、有一個(gè)二能級(jí)體系，哈密頓量為，H 和微擾算符 H 的矩陣表示為H0E 10H01E 12E20E210其中表征微擾強(qiáng)度，E1E2。用微擾法求 H 的本征值和本征態(tài)。解：由于是對(duì)角化的，可見選用表象為H 表象對(duì)于E1E2，由非簡并微擾論計(jì)算公式EnE(0)Hnnm|Hnm|2)nE( n0 )E( 0m(0)Hmn(0)nnmE(0 )E(

24、0)mnm得E(1 )0E(2)E(H1220)110)( E 21( 1 )( E 10H210)(0)E 1名師整理精華知識(shí)點(diǎn)01)( E 22E 21( 1 )EE(1 )0)(0)E2E 11E(2)EH1220)E22E 122(0)( E 1H1222(0)E 1 (0102所以 ，二級(jí)近似能量和一級(jí)近似態(tài)矢為2 1 0 2 0 1E 1，；E 2，。E 1 E 2 0 E 1 E 2 1 E 2 E 1 1 E 1 E 2 0對(duì)于 E 1 E 2，由簡并微擾論計(jì)算得一級(jí)近似能量和零級(jí)近似態(tài)矢為E 1，1 1；E 1，1 1。2 1 2 15 、 自 旋 投 影 算 符 Sn n，

25、為 泡 利 矩 陣 ， n 為 單 位 矢 量2（sin cos , sin sin , cos）。（1）對(duì)電子自旋向上態(tài) ( zs / 2 )，求 S 的可能值及相應(yīng)幾率；（2）對(duì) n的本征值為 1 的本征態(tài)，求 y的可能值及相應(yīng)幾率。cos sin e icos sin e i a a解：（1）由 S n2 sin e icos 2 sin e icos b m sb得1(s n)cos21( s n)sin2i ei e2sin22cos2對(duì)于電子自旋向上態(tài)名師整理/2 )精華知識(shí)點(diǎn)，S 取值2的幾率分別為(zs101(2sin2ie122 cos2111cos2022cos2ie12s

26、in221sin202（2）y的本征值和本征態(tài)1 i；1，(y)1，(y)122i1 的本征態(tài) ( 即S 的本征值為電子處于n的本征值為2的本征態(tài)ns)，2則 y的可能值及相應(yīng)幾率為12(y)1(n)211icos21( 1sinsin)2sin22i e221(y)1(n)211ic o s 211(s i ns i n)22s i n 2i e26、設(shè)質(zhì)量為m 的兩個(gè)全同粒子作一維運(yùn)動(dòng)，它們之間的相互作用能為1a(x1x 2)2(a0 )。2（1）若粒子自旋為0，寫出它們的相對(duì)運(yùn)動(dòng)態(tài)的能量和波函數(shù)；（2）若粒子自旋s1 /2，寫出它們的相對(duì)運(yùn)動(dòng)基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)的能量和波函數(shù)。名師整理 精華

27、知識(shí)點(diǎn)解：體系的哈密頓量為H2222221a (x 1x 2)2xx 1x2m/2m2 x 1m2 x 22引入質(zhì)心坐標(biāo) X 和相對(duì)坐標(biāo) x：X1(x 1x2)2在坐標(biāo)變換x 1,x 2X,x下，體系的哈密頓量變?yōu)镠22222221ax2MMX2 x2m2相對(duì)運(yùn)動(dòng)哈密頓量為nH r22d21ax222d212x2adx22dx22（ 1）若粒子自旋為0，則相對(duì)運(yùn)動(dòng)態(tài)的能量和波函數(shù)為Enn1n(x)Nne12x2Hn(x )220,24, ,是為了保證波函數(shù)對(duì)交換1x 和x 是對(duì)稱的 。限定n0 ,24,（ 2）若粒子自旋s1/2，則相對(duì)運(yùn)動(dòng)態(tài)的能量和波函數(shù)為Enn1n0 ,1,2,2(x ,S

28、 z)Nne12x2Hn(x|)00n,02 ,42)Nne12x2Hn(x)|11n,15,3 ,(x ,S z2|10|11其中|11()1(2)|101( 1 )(2 )(2)(1 )2|11()1名師整理|精華知識(shí)點(diǎn)( 1 )(2 )(2)( 1 )(2)0012體系基態(tài)能量和波函數(shù)E1(x ,S z)N0e12x2|0022體系第一激發(fā)態(tài)能量和波函數(shù)E3(x,S z)N 1e12x2H1(x)|112|102量子力學(xué)測試題（4）11（復(fù)旦 2002）1、已知一維運(yùn)動(dòng)的粒子在態(tài)(x 中坐標(biāo) x 和動(dòng)量p 的平均值分別為x 和p ，求在態(tài)(x)eip0 x/(xx0)中坐標(biāo) x 和動(dòng)量p

29、 的平均值。解：已知粒子在態(tài)(x 中坐標(biāo) x 和動(dòng)量p 的平均值分別為x*(x)x(x )dxx 0p x*(x )ix(x )dxp 0現(xiàn)粒子處在(x 態(tài)，坐標(biāo) x 和動(dòng)量p 的平均值x*(x)x(x) dx*(xx0)x(xx 0) dx*(x)(xx0)(x)d xx 0 x 00px*(x )i名師整理精華知識(shí)點(diǎn)(xx 0)ixeip0 x/(xx 0)dxx(x )dxe ip0 x/*ip e0 x/*(x)x0)p 0eip0 x/)(xx 0)eip0 x/0ix(xx 0)dxp 0*(xix(xd xp 0p 02、一體系服從薛定諤方程2(22)1kr 1r22( r 1,

30、r2)E(r 1,r2)2 m122（1）指出體系的所有守恒量（不必證明） ；（2）求基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)。解：（1）體系的哈密頓量為H2222221kr 1r22rr1r2m/2m1m22引入質(zhì)心坐標(biāo) R 和相對(duì)坐標(biāo) r ：R1(r 1r2)2在坐標(biāo)變換r 1,r2R ,r下，體系的哈密頓量變?yōu)?mH2222221kr2MMRr2容易得知系統(tǒng)的守恒量為E,L2,Lz。（中心力場）（ 2）相對(duì)運(yùn)動(dòng)哈密頓量為Hr2221kr222212r2krr22相對(duì)運(yùn)動(dòng)為三維各向同性諧振子，基態(tài)能量和波函數(shù)為EN3( r)332e12r2N0 1, ,2 ,/22名師整理 精華知識(shí)點(diǎn)3、設(shè) t=0 時(shí)氫原子

31、處在態(tài)(r,0)121002102211321110（1）求體系能量的平均值； （2）任意 t 時(shí)刻波函數(shù)(r,t)；（3）任意 t 時(shí)刻體系處在l1 m1態(tài)的幾率；（4）任意 t 時(shí)刻體系處在m0態(tài)的幾率。解：氫原子定態(tài)能量和波函數(shù)為（1）E2E13Ene2nlm(r,)R nl(r)Y lm(,)2an2E11 e225540a（2）任意 t 時(shí)刻波函數(shù)(r,t)12 eiE1 t/100(r)eiE2t/210(r)2211(r)3211(r)10（3）任意 t 時(shí)刻體系處在l,1 m1態(tài)的幾率為 1/5 ；（4）任意 t 時(shí)刻體系處在m0態(tài)的幾率為 1/2 。4、一維諧振子受到微擾Hc

32、x2作用，式中 c 為常數(shù)。在粒子數(shù)表象中，1/2x2 m( aa)a,a分別為湮滅算符和產(chǎn)生算符，滿足a|nn|n1a|nn1|n1（1）用微擾論求準(zhǔn)確到二級(jí)近似的能量值；（2）求能量的準(zhǔn)確值，并與微擾論給出的結(jié)果相比較。解：（1）由a,a1名師整理精華知識(shí)點(diǎn)得利用aHccx2c(acaa)2c2a2|(a)212aa |22|nnn1n1計(jì)算微擾矩陣元得n1|nHmnm|H|n1 )n2m|a(a)212 aa |n2)1(n(n( 2 nn1 )(n2 )m,n2mnm,2零級(jí)近似能量、一級(jí)和二級(jí)修正能量分別為( 0E n)n18c23E(1 )Hnn(nn12cc2n12c23n22E

33、(2)mnEHmn2(0)En(n1 )1 )(n2)2n(0)22nmEnn11c24精確到二級(jí)近似的能量值為22（2）現(xiàn)求能量精確值Hp2122x2cx2p2122x21022222c1/2c02本征能量E nn1n0,1,n112c1/2n111/2222202 ,2 c2視為微小量，則名師整理精華知識(shí)點(diǎn)其中2)Enn21n3122E( n0)E( 1 )nE n (2)n1c28n( En0)c1( 1 )E n2212( En22能量精確解的前三項(xiàng)與分別與零級(jí)近似能量、一級(jí)和二級(jí)修正能量相同。5、設(shè)a,a分別為湮滅算符和產(chǎn)生算符， 滿足對(duì)易關(guān)系a,a1。體系的哈密頓量為H Aaa B

34、a a Ca a D（1）問 A , B , C , D 滿足什么條件 H 才是厄密算符？（ 2）求體系的能量。解：（1）容易得知 H 是厄密算符的條件是 A , B , C , D 均為實(shí)數(shù)，且 A B，則2 2H A a ( a ) Ca a D（ 1）（2）由（ 1）式得22令bCaaa2(a)21(HD)（2）1則AAaabaa其中,為待定實(shí)數(shù)已知b,baa,aa2a,a2a,aa,a1則得b ,b22為 使b,b與a,a滿 足 相 同 的 對(duì) 易 關(guān) 系b,b1bb(aa )(aa)2aaa2(a)22aa計(jì)算利用a ,a1名師整理aa精華知識(shí)點(diǎn)1aa得bb(22)aa)a2(a)2

35、2)2（3）442 A221(bb所以aaa2(a)2比較（ 2）式和（ 3）式，如令222C)則得A1(bb1(HD)2A（4）)由此可得HA(bbDD2Cn0,1,2,如果已知,，則 H 的本征值為EnA(n22現(xiàn)在來求,由于221解之得ACC24A2CC22C24A22C2A2An0 ,1,C24A2EnC24A2nCC244A2DC2A所以2C2A22 ,武漢大學(xué) 20XX 年度研究生入學(xué)考試量子力學(xué)試題選解一名詞解釋（ 4 分 5 題）名師整理精華知識(shí)點(diǎn)波長1德布羅意假設(shè)：微觀粒子也具有波粒二象性，粒子的能量E和動(dòng)量P與波的頻率和之間的關(guān)系，正像光子和光波的關(guān)系一樣，為：hph/k2

36、.波函數(shù)：描述微觀體系的狀態(tài)的一個(gè)函數(shù)稱之為波函數(shù)，從這個(gè)波函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)。波函數(shù)一般應(yīng)滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個(gè)條件。3基本量子條件：x ?,x ?0p ?,p ?0 x?,p?i4.電子自旋：電子的內(nèi)稟特性之一：在非相對(duì)論量子力學(xué)中。電子自旋是作為假定由Uhlenbeck和Goudsmit提出的：每個(gè)電子具有自旋角動(dòng)量S，它在空間任何方向上的投影只能取兩 個(gè) 數(shù) 值 ：s zMsz2； 每 個(gè) 電 子 具 有 自 旋 磁 矩 Ms ， 它 和 自 旋 角 動(dòng) 量 的 關(guān) 系 式 ：MseSe2。在相對(duì)論量子力學(xué)中，自旋象粒子的其他性質(zhì)樣包含在波動(dòng)方程中，不需另作假定。5.全

37、同性原理：在全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子相互調(diào)換不改變體系的狀態(tài)。二計(jì)算題（ 20 分 4 題）U(x )U0,x00入射，求透射系數(shù)。討論如下三種情1.粒子以能量E由左向右對(duì)階梯勢0 ,x況：（1） U0E0；（3）E0,但由右向左入射。解：U0E0 寫出分區(qū)薛定諤方程為：22d21U01,xE01,x0dx222d22E2dx2但在 x0，但仍有粒子被反射。 E0,粒子從右向左入射仿，有1Aeik1xAeik1x,x0為透射波系數(shù)， A0. 2Beik2xBeik2x,x0但 B為入射波系數(shù)， B 為反射波系數(shù)， A由波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件，有1( 0 )2(0 )ABB(BB)( 0 )

38、(0 )k 1Ak222解得：A2 k2Bk 1k 1k 2k 2BBk 1k2據(jù)此，可分別計(jì)算出入射波、反射波和透射波的幾率流密度及反射系數(shù)和透射系數(shù)Jk2|B2 |ex,JRk 1k2|B2 |ex,JD0k 1|A2 |exU2E)4R|JR|B|(k1k2)2(EUE E)20|J|k1k2EU0(EU0|B|D|JDk1|A|(2k22)4E(EU0)2(|J|k2|B|k2k 1kEU0E)2滿足 R+D 1 可見，仍有粒子被反射。名師整理精華知識(shí)點(diǎn)10(x)12(x )C4(x )(x,0)2.一維諧振子在t0時(shí)處于歸一化波函數(shù)25所描述的態(tài)中，式中 0 ( x ), 2 ( x

39、 ), 4 ( x ) 均為一維諧振子的歸一化定態(tài)波函數(shù)，求：（ 1）待定系數(shù) C；（ 2）t0時(shí)，體系能量的可能取值及相應(yīng)的幾率；（ 3）t0時(shí)，體系的狀態(tài)波函數(shù) ( x , t )。（ 4）t0與t0時(shí)體系的 x ( 0 ,) x ( t )。解：用 Dirac 算符 由|(x ,0 )0 )1|01|2C|425(x ,0)|(x ,11，可求得C31059能量可能取值2， 2， 2相應(yīng)的幾率1/2，1/5，3/10 因?yàn)?n0,2,4 都為偶數(shù)，故宇稱為偶x(0)1(x ,0 )|x|(x,t)2(21|0ei1 2t1|2)|ei5 2t0 )|3|4e|i9t2(2510)12a ?x ?(a ?)利用，有x ,2)1(x,0)|(x ,0 )(a ?a ?(22(0|12|14|3)(a ?a ?)(1|01234251025100 x( t)(x ,t)