平面向量的綜合應(yīng)用---高考復(fù)習(xí)

1、5.4平面向量的綜合應(yīng)用1向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)用向量解決常見(jiàn)平面幾何問(wèn)題的技巧：?jiǎn)栴}類型所用知識(shí)公式表示線平行、點(diǎn)共線等問(wèn)題共線向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直問(wèn)題數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)abab0 x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b為非零向量夾角問(wèn)題數(shù)量積的定義cos eq f(ab,|a|b|)(為向量a，b的夾角)，其中a，b為非零向量長(zhǎng)度問(wèn)題數(shù)量積的定義|a|eq r(a2)eq r(x2y2)，其中a(x，y)，a為非零向量(2)用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟平面幾何問(wèn)題eq o(,sup7(設(shè)向

2、量)向量問(wèn)題eq o(,sup7(運(yùn)算)解決向量問(wèn)題eq o(,sup7(還原)解決幾何問(wèn)題2向量在解析幾何中的應(yīng)用向量在解析幾何中的應(yīng)用，是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)問(wèn)題，進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)來(lái)解答，坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體3向量與相關(guān)知識(shí)的交匯平面向量作為一種工具，常與函數(shù)(三角函數(shù))、解析幾何結(jié)合，常通過(guò)向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積，向量的共線與垂直求解相關(guān)問(wèn)題概念方法微思考1根據(jù)你對(duì)向量知識(shí)的理解，你認(rèn)為可以利用向量方法解決哪些幾何問(wèn)題？提示(1)線段的長(zhǎng)度問(wèn)題(2)直線或線段平行問(wèn)題(3)直線或線段垂直問(wèn)題(4)角的問(wèn)題等2如何用向量解決

3、平面幾何問(wèn)題？提示用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題然后通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題，最后把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)若eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，則A，B，C三點(diǎn)共線()(2)在ABC中，若eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()0，n0，則由eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()2eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，得(n,0)(m2，m)2(n,0)(m，m)，所以n(m2)2nm，

4、化簡(jiǎn)得m2.故eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()(m，m)(m2，m)2m22m12.(2)(2018廣元統(tǒng)考)在ABC中，AB2AC6，eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(BA,sup6()2，點(diǎn)P是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則當(dāng)eq o(PA,sup6()2eq o(PB,sup6()2eq o(PC,sup6()2取得最小值時(shí)，eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()_.答案9解析eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(BA,sup6()2，eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()e

5、q o(BA,sup6()2eq o(BA,sup6()(eq o(BC,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(AC,sup6()0，eq o(BA,sup6()eq o(AC,sup6()，即BAAC.以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(6,0)，C(0,3)，設(shè)P(x，y)，eq o(PA,sup6()2eq o(PB,sup6()2eq o(PC,sup6()2x2y2(x6)2y2x2(y3)23x212x3y26y453(x2)2(y1)210當(dāng)x2，y1時(shí)，eq o(PA,sup6()2eq o(PB,sup6()2eq o(PC

6、,sup6()2有最小值，此時(shí)eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()(2,1)(6,3)9.思維升華 向量與平面幾何綜合問(wèn)題的解法(1)坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示(2)基向量法適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進(jìn)行求解跟蹤訓(xùn)練1 (1)(2019松原三校聯(lián)考)已知ABC外接圓的圓心為O，AB2eq r(3)，AC2eq r(2)，A為鈍角，M是BC邊的中點(diǎn)，則eq o(AM,sup6()eq o(AO,sup6()等于()A3 B4C5 D6答案C解析M 是BC邊的中點(diǎn)，eq o(AM,sup6(

7、)eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，O 是ABC 的外接圓的圓心，eq o(AO,sup6()eq o(AB,sup6()|eq o(AO,sup6()|eq o(AB,sup6()|cosBAOeq f(1,2)|eq o(AB,sup6()|2eq f(1,2)(2eq r(3)26.同理可得eq o(AO,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)|eq o(AC,sup6()|2eq f(1,2)(2eq r(2)24.eq o(AM,sup6()eq o(AO,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq

8、 o(AC,sup6()eq o(AO,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq o(AO,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()eq o(AO,sup6()eq f(1,2)(64)5.(2)(2018聊城模擬)在ABC中，BC邊上的中線AD的長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是ABC所在平面上的任意一點(diǎn)，則eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PA,sup6()eq o(PC,sup6()的最小值為()A1 B2 C2 D1答案C解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，使得點(diǎn)D在原點(diǎn)處，點(diǎn)A在y軸上，則A(0,2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則eq

9、o(PA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(x，2y)，eq o(PO,sup6()(x，y)，故eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PA,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(PA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(o(PB,sup6()o(PC,sup6()2eq o(PA,sup6()eq o(PO,sup6()2eq blc(rc)(avs4alco1(x2y22y)2eq blcrc(avs4alco1(x2blc(rc)(avs4alco1(y1)2)22，當(dāng)且僅當(dāng)x0，y1時(shí)等號(hào)成立所以eq o(P

10、A,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PA,sup6()eq o(PC,sup6()的最小值為2.題型二向量在解析幾何中的應(yīng)用例2 (1)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2eq r(3)，平面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P，M滿足|eq o(AP,sup6()|1，eq o(PM,sup6()eq o(MC,sup6()，則|eq o(BM,sup6()|2的最大值是()A.eq f(43,4) B.eq f(49,4)C.eq f(376r(3),4) D.eq f(372r(33),4)答案B解析如圖，由|eq o(AP,sup6()|1知點(diǎn)P的軌跡是以A為圓心，以1為半徑的圓由eq o(PM

11、,sup6()eq o(MC,sup6()知，點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，取AC的中點(diǎn)N，連接MN，則|MN|eq f(1,2)|AP|eq f(1,2)，所以點(diǎn)M的軌跡是以N為圓心，以eq f(1,2)為半徑的圓因?yàn)閨eq o(BN,sup6()|3，所以|eq o(BM,sup6()|的最大值為3eq f(1,2)eq f(7,2)，|eq o(BM,sup6()|2的最大值為eq f(49,4).故選B.(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(12,0)，B(0，6)，點(diǎn)P在圓O：x2y250上，若eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()20，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是_答案5eq r

12、(2)，1解析方法一因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O：x2y250上，所以設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，eq r(50 x2)(5eq r(2)x5eq r(2)因?yàn)锳(12,0)，B(0,6)，所以eq o(PA,sup6()(12x，eq r(50 x2)或eq o(PA,sup6()(12x，eq r(50 x2)，eq o(PB,sup6()(x,6eq r(50 x2)或eq o(PB,sup6()(x,6eq r(50 x2)因?yàn)閑q o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()20，先取P(x，eq r(50 x2)進(jìn)行計(jì)算，所以(12x)(x)(eq r(50 x2)(6eq r(50 x2)20，即

13、2x5eq r(50 x2).當(dāng)2x50，即x0)，A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱若圓C上存在點(diǎn)M，使得eq o(AM,sup6()eq o(BM,sup6()0，則當(dāng)m取得最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(3r(2),2) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(3r(2),2)，f(3,2)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(3r(3),2) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(3r(3),2)，f(3,2)答案C解析由題意得圓的方程為(x1)2(yeq r(3)21，B(0，m)，設(shè)M(x

14、，y)，由于eq o(AM,sup6()eq o(BM,sup6()0，所以(x，ym)(x，ym)0，所以x2y2m20，所以m2x2y2，由于x2y2表示圓C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，所以連接OC，并延長(zhǎng)和圓C相交，交點(diǎn)即為M，此時(shí)m2最大，m也最大|OM|123，MOx60，所以xM3sin 30eq f(3,2)，yM3sin 60eq f(3,2)eq r(3).故選C.題型三向量的其他應(yīng)用命題點(diǎn)1向量在不等式中的應(yīng)用例3 已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1,2)，若點(diǎn)M(x，y)為平面區(qū)域eq blcrc (avs4alco1(xy2，,x1，,y2)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則eq o(OA,sup6

15、()eq o(OM,sup6()的取值范圍是()A1,0 B0,1C1,3 D1,4答案D解析作出點(diǎn)M(x，y)滿足的平面區(qū)域如圖陰影部分所示(含邊界)，設(shè)zeq o(OA,sup6()eq o(OM,sup6()，因?yàn)锳(1,2)，M(x，y)，所以zeq o(OA,sup6()eq o(OM,sup6()x2y，即yeq f(1,2)xeq f(1,2)z.平移直線yeq f(1,2)x，由圖象可知，當(dāng)直線yeq f(1,2)xeq f(1,2)z經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,2)時(shí)，截距最大，此時(shí)z最大，最大值為4，當(dāng)直線yeq f(1,2)xeq f(1,2)z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，截距最小，此時(shí)z最小，最小值

16、為1，故1z4，即1eq o(OA,sup6()eq o(OM,sup6()4.命題點(diǎn)2向量在解三角形中的應(yīng)用例4 (2019衡陽(yáng)模擬)在ABC中，若|eq o(AC,sup6()|2eq r(3)，且eq o(AB,sup6()cos Ceq o(BC,sup6()cos Aeq o(AC,sup6()sin B.(1)求角B的大小；(2)求ABC的面積解(1)因?yàn)閑q o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()，所以eq o(AB,sup6()cos Ceq o(BC,sup6()cos Aeq o(AC,sup6()sin B(eq o(AB,sup6

17、()eq o(BC,sup6()sin B，即(cos Csin B)eq o(AB,sup6()(cos Asin B)eq o(BC,sup6()0.而向量eq o(AB,sup6()，eq o(BC,sup6()是兩個(gè)不共線的向量，所以eq blcrc (avs4alco1(cos Csin B，,cos Asin B，)所以cos Ccos A，因?yàn)锳，C(0，)，所以AC.在等腰ABC中，ABC，所以2AB，Aeq f(,2)eq f(B,2).所以cos Acoseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)f(B,2)sin eq f(B,2)sin B，所以sin eq

18、f(B,2)2sin eq f(B,2)cos eq f(B,2)，因?yàn)閟in eq f(B,2)0，所以cos eq f(B,2)eq f(1,2).綜合0eq f(B,2)0，即|a|24|a|b|cos 0，即cos 0)的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為A，與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為B，點(diǎn)A在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為C，若eq o(AF,sup6()eq o(FB,sup6()，eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()48，則拋物線的方程為()Ay28x By24xCy216x Dy24eq r(2)x答案B解析如圖所示，由eq o(AF,sup6()eq o(FB,

19、sup6()，得F為線段AB的中點(diǎn)，|AF|AC|，ABC30，由eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()48，得|BC|4eq r(3).則|AC|4，由中位線的性質(zhì)，有peq f(1,2)|AC|2，故拋物線的方程為y24x.故選B.6(2019南昌測(cè)試)在梯形ABCD中，ABCD，CD1，ABBC2，BCD120，動(dòng)點(diǎn)P和Q分別在線段BC和CD上，且eq o(BP,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(DQ,sup6()eq f(1,8)eq o(DC,sup6()，則eq o(AP,sup6()eq o(BQ,sup6()的最大值為()A2 Beq f(3

20、,2)C.eq f(3,4) D.eq f(9,8)答案D解析因?yàn)锳BCD，CD1，ABBC2，BCD120，所以ABCD是直角梯形，且CMeq r(3)，BCM30，以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)閑q o(BP,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(DQ,sup6()eq f(1,8)eq o(DC,sup6()，動(dòng)點(diǎn)P和Q分別在線段BC和CD上，則eq blcrc(avs4alco1(f(1,8)，1)，B(2,0)，P(2，eq r(3)，Qeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,8)，r(3)，所以eq o(AP,

21、sup6()eq o(BQ,sup6() (2，eq r(3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,8)2，r(3)5eq f(1,4)4eq f(1,8).令f()5eq f(1,4)4eq f(1,8)且eq blcrc(avs4alco1(f(1,8)，1)，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)1時(shí)可取得最大值，則f()maxf(1)5eq f(1,4)4eq f(1,8)eq f(9,8).7在菱形ABCD中，若AC4，則eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()_.答案8解析設(shè)CAB，ABBCa，由余弦定理得a216a28acos ，acos 2，eq o(CA,sup6

22、()eq o(AB,sup6()4acos()4acos 8.8已知|a|2|b|，|b|0，且關(guān)于x的方程x2|a|xab0有兩相等實(shí)根，則向量a與b的夾角是_答案eq f(2,3)解析由已知可得|a|24ab0，即4|b|242|b|2cos 0，cos eq f(1,2).又0，eq f(2,3).9.如圖，A是半徑為5的圓C上的一個(gè)定點(diǎn)，單位向量eq o(AB,sup6()在A點(diǎn)處與圓C相切，點(diǎn)P是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合，則eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()的取值范圍是_答案5,5解析如圖所示，以AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立平面直角坐

23、標(biāo)系設(shè)點(diǎn)P(x，y)，B(1,0)，A(0,0)，則eq o(AB,sup6()(1,0)，eq o(AP,sup6()(x，y)，所以eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()(x，y)(1,0)x.因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2(y5)225上，所以5x5，即5eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()5.10已知拋物線C：x24y的焦點(diǎn)為F，M是拋物線C上一點(diǎn)，若FM的延長(zhǎng)線交x軸的正半軸于點(diǎn)N，交拋物線C的準(zhǔn)線l于點(diǎn)T，且eq o(FM,sup6()eq o(MN,sup6()，則|NT|_.答案3解析畫(huà)出圖形如圖所示由題意得拋物線的焦點(diǎn)F(0,1)，準(zhǔn)線為y1.設(shè)拋物線

24、的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為E，過(guò)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，交x軸于點(diǎn)P.由題意得NPMNOF，又eq o(FM,sup6()eq o(MN,sup6()，即M為FN的中點(diǎn)，|eq o(MP,sup6()|eq f(1,2)|OF|eq f(1,2)，|OP| eq r(4f(1,2)eq r(2)，|eq o(MQ,sup6()|eq f(1,2)1eq f(3,2)，|ON|2|OP|2eq r(2)，|eq o(MF,sup6()|eq o(MN,sup6()|eq f(3,2).又eq f(|o(TM,sup6()|,|o(TF,sup6()|)eq f(|o(TN,sup6()|o(FM,s

25、up6()|,|o(TN,sup6()|2|o(FM,sup6()|)eq f(|o(MQ,sup6()|,|o(FE,sup6()|)，即eq f(|o(TN,sup6()|f(3,2),|o(TN,sup6()|3)eq f(f(3,2),2)eq f(3,4)，解得|eq o(TN,sup6()|3.11已知四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2)，點(diǎn)C在第二象限，eq o(AB,sup6()(2,2)，且eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()的夾角為eq f(,4)，eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()2.(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)當(dāng)m

26、為何值時(shí)，eq o(AC,sup6()meq o(AB,sup6()與eq o(BC,sup6()垂直解(1)設(shè)C(x，y)，D(a，b)，則eq o(AC,sup6()(x1，y2)eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()的夾角為eq f(,4)，eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()2，eq f(o(AB,sup6()o(AC,sup6(),|o(AB,sup6()|o(AC,sup6()|)eq f(2,r(2222)r(x12y22)eq f(r(2),2)，化為(x1)2(y2)21.又eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()2(x

27、1)2(y2)2，化為xy2.聯(lián)立解得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y3)或eq blcrc (avs4alco1(x0，,y2.)又點(diǎn)C在第二象限，C(1,3)又eq o(CD,sup6()eq o(BA,sup6()，(a1，b3)(2，2)，解得a3，b1.D(3,1)(2)由(1)可知eq o(AC,sup6()(0,1)，eq o(AC,sup6()meq o(AB,sup6()(2m,2m1)，eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()(2，1)eq o(AC,sup6()meq o(AB,sup6()與eq o(BC,s

28、up6()垂直，(eq o(AC,sup6()meq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()4m(2m1)0，解得meq f(1,6).12已知A，B，C是ABC的內(nèi)角，a，b，c分別是其對(duì)邊長(zhǎng)，向量m(eq r(3)，cos A1)，n(sin A，1)，mn.(1)求角A的大?。?2)若a2，cos Beq f(r(3),3)，求b的值解(1)mn，mneq r(3)sin A(cos A1)(1)0，eq r(3)sin Acos A1，sineq blc(rc)(avs4alco1(Af(,6)eq f(1,2).0A，eq f(,6)Aeq f(,6)eq f(5,6)，

29、Aeq f(,6)eq f(,6)，Aeq f(,3).(2)在ABC中，Aeq f(,3)，a2，cos Beq f(r(3),3)，sin Beq r(1cos2B)eq r(1f(1,3)eq f(r(6),3).由正弦定理知eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，beq f(asin B,sin A)eq f(2f(r(6),3),f(r(3),2)eq f(4r(2),3)，beq f(4r(2),3).13(2018包頭模擬)已知BC是圓O的直徑，H是圓O的弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，BC10，AB8，則eq o(HB,sup6()eq o(HC,sup6()的最小值為()A4

30、B25C9 D16答案D解析以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)H(x，y)，則B(5,0)，C(5,0)，所以eq o(HB,sup6()(5x，y)，eq o(HC,sup6()(5x，y)，則eq o(HB,sup6()eq o(HC,sup6()(5x，y)(5x，y)x2y225，又因?yàn)锳B8，且H為弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，所以9x2y225，其中當(dāng)取AB的中點(diǎn)時(shí)取得最小值，所以eq o(HB,sup6()eq o(HC,sup6()92516，故選D.14如圖所示，半圓的直徑AB6，O為圓心，C為半圓上不同于A，B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，

31、則(eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6() 的最小值為_(kāi)答案eq f(9,2)解析圓心O是直徑AB的中點(diǎn)，eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()2eq o(PO,sup6()，(eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()2eq o(PO,sup6()eq o(PC,sup6()，|eq o(PO,sup6()|eq o(PC,sup6()|32eq r(|o(PO,sup6()|o(PC,sup6()|)，|eq o(PO,sup6()|eq o(PC,sup6()|eq f(9,4)，即(eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()2eq o(PO,sup6()eq o(PC,sup6()2|eq o(PO,sup6()|eq o(PC,sup6()|e