第11講 對數(shù)（教師版）

1、第11講對數(shù)編【學(xué)習(xí)目標(biāo)】.理解對數(shù)的概念.,知道自然對數(shù)和常用對數(shù).理解對數(shù)的運算性質(zhì)，能進(jìn)行簡單的對數(shù)運算.知道對數(shù)的換底公式，能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對數(shù)和常用對數(shù)，并能進(jìn)行簡單的化簡、計算.【基礎(chǔ)知識】知識點一對數(shù)的概念對數(shù)的概念一般地，如果優(yōu)=N(0,且存1),那么數(shù)x叫做以。為底N的對數(shù)，記作x=logN,其中。叫做對數(shù)的底 數(shù)，N叫做真數(shù).常用對數(shù)與自然對數(shù)通常，我們將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把logioN記為IgM另外，在科技、經(jīng)濟(jì)以及社會生活中 經(jīng)常使用以無理數(shù)e=2.718 28.為底數(shù)的對數(shù)，以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并把logcN記為InM 知識點二對數(shù)與指數(shù)的

2、關(guān)系易得log“N=N, loga/=b.根據(jù)對數(shù)的定義，可以得到對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系：當(dāng)。0,且時，a=Nox=logaN.知識點三對數(shù)的有關(guān)性質(zhì)對數(shù)的有關(guān)性質(zhì)是解題的重要依據(jù)(1)零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)；(2)1的對數(shù)為零，即logal =030且存1)；(3)底數(shù)的對數(shù)為1,即log4=im0且存1).知識點四對數(shù)運算性質(zhì) 熟記對數(shù)運算性質(zhì)，切忌記混性質(zhì)如果0,且存1, M0, N0,那么：(1 )log(M7V) = log,+logoN；M(2)log(W= logM logaN；72拓展：log產(chǎn)Ar=：logaMR,加川)知識點五換底公式經(jīng)常轉(zhuǎn)化為常用對數(shù)和自然對數(shù)對數(shù)換底公式：lOg

3、ab = Tf?m0,且。，1, /?0, C0,且存1).lOgcu特別地：log/?loga=l(0,且存1,特0,且厚1).【分析】結(jié)合題意，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)過濾的次數(shù)至少為次，那么n1%,從而 1g二4一6館2gpn(lg2-lg5)-61g2所以之-61g 2Ig2-lg5 0), 那么 log” 5 =()3A. 2B. 3C.2【答案】D【解析】【分析】指數(shù)式化為對數(shù)式，得出結(jié)果.【詳解】22因為涼=5(0)，所以log“5 = a.應(yīng)選：D3. log22 =()3A. 3B. 1C一【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)運算性質(zhì)直接計算作答.【詳解】D.D.

4、_5log2 2 = 1應(yīng)選：By x.2 =24 =3,貝I二2一的值為（）孫A. 1B. 0C. -1D. 2【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)與對數(shù)互化的公式表示出x = log23,y = log24 3 ,再利用換底公式和對數(shù)的運算性質(zhì)化簡計算.【詳解】因為2” =24, =3,所以x = log23,y = log24 3 ,由換底公式和對數(shù)的運算性質(zhì)可得3y-x 313131Gle4101181=-=3 log3 2 - log3 24 = log3 8 - log3 24 = log3 = log3 - = -1.xy x y log2 3 log24 3243應(yīng)選：C5.農(nóng)業(yè)

5、農(nóng)村部于2021年2月3日發(fā)布信息：全國按照主動預(yù)防、內(nèi)外結(jié)合、分類施策、有效處置的總體要 求，全面排查蝗災(zāi)隱患.為了做好蝗蟲防控工作，完善應(yīng)急預(yù)案演練，專家假設(shè)蝗蟲的日增長率為6%,最初有N。只，那么大約經(jīng)過()天能到達(dá)最初的1800倍.(參考數(shù)據(jù)：lnL06a0.0583, Ini.6Po.4700,In 1800 比 7.4955, In 8000 % 8.9872 .)A. 129B. 150C. 197D. 199【答案】A【解析】【分析】設(shè)經(jīng)過天后蝗蟲數(shù)量到達(dá)原來的1800倍，列出方程，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可知，蝗蟲最初有N。只且日增長率為6%,設(shè)經(jīng)過天后蝗蟲

6、數(shù)量到達(dá)原來的1800倍，eN0(l + 6%) gee In 1800那么=1800, .L06=1800，a n = log, 061800 = 128.6,N。In 1.061,大約經(jīng)過129天能到達(dá)最初的1800倍.應(yīng)選：A6. log2 8 =()A. 5B. 3C. 2D, 0【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)運算公式進(jìn)行計算.【詳解】log2 8 = log2 23 = 3 log 2 2 = 3.應(yīng)選：B7.log43 = p, log325 ,那么lg5 （用乙q表示）等于（）A.A.pqp+qB.p+qpqc.i + pqp+qD.pq1+pq【答案】d【解析】【分析】ql

7、og325 = =log35 = -qlog325 = =log35 = -利用換底公式和對數(shù)運算法那么得到Sg*：/ 1。&5 =晟,進(jìn)而再用換底公式和對數(shù)運算法那么表示出愴5 【詳解】vlog43 = P, /. log34 = =log32 = - P2P那么愴5=小蛀=呼$1嗎5=a.、 log310 log3（2x5） log32 + log35 J_ + 1 + P 夕2 2應(yīng)選：D二、多項選擇題.以下運算錯誤的選項是（）A. Ig2xlg3 = lg6 B. （lg2）2 =lg4 C. Ig2 + lg3 = lg5D. Ig4-lg2 = lg2【答案】ABC【解析】【分析】

8、h根據(jù)對數(shù)的運算法那么來進(jìn)行判斷，根據(jù)log. + log. c = log.慶可以判斷ABC,通過log,*-log- c = log.-可 c以判斷D選項【詳解】根據(jù)對數(shù)的運算，Ig2 + lg3 = lg6從而判斷A, C都錯誤，Ig2 + lg2 = lg4,從而判斷B錯誤，4Ig4-lg2 = lg- = lg2,從而判斷D正確.應(yīng)選：ABC.（多項選擇）假設(shè) 10 =4, 10 =25,那么（）B. b-a = iA. 。+6=2C. ab = 4【答案】AD【解析】D.J lg2b lg5【分析】根據(jù)對數(shù)和指數(shù)的互化計算出么b,然后逐項驗證即可.【詳解】V 10a = 4, 10

9、=25, A 6z = lg4, Z? = lg25,+ Z? = 1g 4 + 1g 25 = 1g 100 = 2,故 A 選項正確;25Z?-6Z = lg25-lg4 = lg,故 3 選項錯誤；4Qb = lg4xlg25 = 21g2x21g5 = 41g2xlg5,故 C 選項錯誤；?=粵=譬，故。選項正確，b 1g 25 lg5應(yīng)選：AD.（多項選擇）以下指數(shù)式與對數(shù)式的互化中正確是（）A. 10=1 與 lgl=0B. ,7-=!與1g272=-34/33C. log39 = 2 與 32 = 9D. Iog55 = l 與 51=5【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)運算

10、和對數(shù)運算的法那么，相互轉(zhuǎn)化逐項判斷即可.【詳解】B 選項中，？7一； =:=108272 = 一：. 乙/333應(yīng)選：ACD三、填空題H.計算（1g2+ 1g21g5 + 1g5 3一陶2 =【答案】；#0.5【解析】【分析】 利用對數(shù)運算及指數(shù)式與對數(shù)式互化計算作答【詳解】911(lg2)+lg21g5 + lg5 3啕 2=愴2(愴2 + 恒5) + 愴5 (3啕 2)-=ig2 + lg5 不=5.故答案為：;-0.5【答案】21【解析】 【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)換底公式及運算法那么，指數(shù)運算法那么進(jìn)行計算.【詳解】 TOC o 1-5 h z 21嗎1嗚9 + 73、-(o.Ol)-05

11、 = 21og25 lo37 +1-10logs-Iog7 4I 5 J !?_5 37log3531og271( 31og35.1og27321log35-log27 I 2 J 2221故答案為：-二13.log,x = 2, log/,x = 3 , logcx = 5 ,那么壯人工=30 【答案】三【解析】 【分析】 TOC o 1-5 h z 根據(jù)換底公式得到log= 1, logv/7 = 1, 10gxC = 1,進(jìn)而求出logi%、再用換底公式求出log欣 JJ【詳解】由 logx = 2, logx = 3, log,x = 5 得：log v ct = -y logxZ?

12、= -, log c =-, 乙JJ1 1 1 3130logA. abc = logA. + logvb + logv c = - + - + - = ,所以 logaA = vx130故答案為：四、解答題14.(1)(2)根= lg2, 10 =3,計算I。.的值.【答案】(1) 1; (2)【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用指數(shù)運算法那么計算作答.(2)利用指數(shù)式與對數(shù)式互化求出代入并結(jié)合對數(shù)運算法那么求解作答.【詳解】31 Q17-3Q133Q1(1)原式=(士)22_2 + -Lx(4)3 3+ -Lx(-)2=- + = 1.(2)由 10 =3得：=愴3,而m= lg2,J

13、6所以，io4/n-3z, = io4,g2-31g3 = io,gl6-,g27 =10叼=2715. (1)計算：0.064 3+ 164 +0.252(2)假設(shè) 10 =2, 1(F=25,求2 +根的值.【答案】(1) 10； (2) 2.【解析】【分析】(1)利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕運算法那么分別對每一項進(jìn)行化簡，然后合并求解；(2)先利用條件，把機(jī)、表示出來，代入要求解的式子中，利用對數(shù)的運算法那么化簡即可.【詳解】原式=標(biāo)f向+g=1一陋+90(2)因為 10 =2, 10?=25,所以=怛2, w = lg25,所以 2 +根= 21g2 + lg25 = 21g2 + 21g5 = 2

14、(lg2 + lg5)= 21gl0 = 2喉【考點剖析】考點一：對數(shù)的定義及其應(yīng)用例1.使式子log（3-）（3-x）有意義的X的取值范圍是（A. x3B. x0由題意得:123x ,解得：工033應(yīng)選：D考點二：指數(shù)式與對數(shù)式的互化例2.將以下指數(shù)式與對數(shù)式互化:(l)log216 = 4； log 27 = -3；3(3)logx = 3；(4)53=125;【答案】（1）24=16;-3= 27；(3)的！；(4)log5125 = 3；(5)log2； = T；9 = -2. 3【解析】【分析】(1) (2) (3) (4) (5) (6)利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化公式直接求解作答.因

15、為log216 = 4,所以有：24 = 16.因為log27 = -3,所以有：口丫 =27. 3 因為log有工=3,所以有：(G) = x.因為53 =125,所以有：1暇125 = 3.因為2T =，所以有：log2； = -l. 乙乙因為FY=9,所以有：皿9 = -2. 3考點三：對數(shù)的運算性質(zhì)例 3. a = log32,那么 Iog3 8-21og3 6用 a 表示是()A. 5。2B. a 2C. 3a (1 +。)D. 3ci cr 【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)的運算法那么求解即可.【詳解】log3 8 -log3 6 = log3 23- 2(log3 2 + lo

16、g3 3)= log3 2 - 2 = i - 2 , 應(yīng)選：B.考點四：換底公式的應(yīng)用log59-log225-log34 =【答案】8【解析】【分析】直接利用對數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)的換底公式，對式子進(jìn)行化簡即可求解.【詳解】解：Iog59log225log34=log532 xlog252 xlog322=2xlog53x2xlog25x2xlog32=8x log5 3 x log3 2 x log2 5-8x，g3xlg2xlg5-8o xXx- o ,lg5 lg3 lg2故答案為：8.考點五：利用對數(shù)運算法那么化簡與求值例5.計算求值_3(D(V3 xV2)6-flp-(-8)；(2

17、) lg ： + lg2 + log2 24 + log3 V27 -log23 ；(3)6 =2 =3,求,一!的值. a b【答案】(1)44(3)1【解析】【分析】(1)由指數(shù)的運算法那么計算(2)由對數(shù)的運算法那么計算(3)將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式后計算_ 3(近x友2-(-8)= 32 x23 -32x2-1 = 72-27-1 = 44；lg ； + 1g 2 + log2 24 + log3 V27 -log2 33=-lg 2 + 1g 2 + log2(3x8)+ log332 -log2339log23 + 3 + log23 =；6T = log63 , /? = log23

18、,那么 L = 10836, 7 = logs2 ； ab所以=log36-log32 = log 3 3 = 1.a b考點六：兩邊取對數(shù)思想在解題中的應(yīng)用列 6.2 =3、=6, wl,求證：, + =C3【答案】證明見解析.【解析】【分析】令2、=3)=6z=攵，利用指數(shù)對數(shù)的互化和換底公式分別表示出,z,進(jìn)而即可得到L + = Lx y z【詳解】設(shè) 2、=3、=6二=攵01),那么 X = k)g2%=譬，y = log3%=譬，z = 10g6=譬， lg2lg3lg61 1 Jg2 + lg3 _lg6_l故+ -= = 丁7 = 一 x y Igk 1gAz【真題演練】1.模型

19、是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺K炎累計確診病例數(shù)/。的單位：天）的LogiS區(qū)模型：-0.23（-53），其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng) 1 I L/（r）=0.95K時，標(biāo)志著已初步遏制疫情，那么約為（）（lnlg3）A. 60B. 63C. 66D. 69【答案】C【解析】【分析】將代入函數(shù)/=：T3）結(jié)合/年）=095K求得f即可得解. I C【詳解】/） =W 所/（r） =- = 0.95ATIjlll 0.23（/-53）, V/ + eO.23（T3），以、/+ -0.23（/*-53），人6、 19 J所以，0.23r-53）= 11

20、119六3,解得廣。上 + 53。66. 70.23應(yīng)選：C.【點睛】此題考查對數(shù)的運算，考查指數(shù)與對數(shù)的互化，考查計算能力，屬于中等題.2.匕0, log5b =，lgZ? = c, 5 =10,那么以下等式一定成立的是A. d-acB. a = cdC. c-adD. d-a-c【答案】B【解析】【詳解】試題分析：logs人= /g匕=。相除得譬 二 31og51 = 3，又5=10,.logJ0 = d,所以d = B = cd = a,選 lg。 CCCB.【考點定位】指數(shù)運算與對數(shù)運算.3.根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361,而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為I

21、S。那么以下各數(shù)中與最接近的是（參考數(shù)據(jù):lg3ko.數(shù)）A. 1033B. IO53C. IO73D. IO93【答案】D【解析】【詳解】M3361試題分析：設(shè)絲= x = N1O80,兩邊取對數(shù),o361lgx = lg-= lg3361-lglO8=361xlg3-8O = 93.28 ,所以MI嚴(yán)8,即五最接近日應(yīng)選D.【名師點睛】此題考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力,此題以實際問題的形式給出，但本質(zhì)就是對數(shù)的運算關(guān)系，以*61及指數(shù)與對數(shù)運算的關(guān)系，難點是令元=需，并想到兩邊同時取對數(shù)進(jìn)行求解，對數(shù)運算公式包含Mlog。M + log。N = log。MN , log。M 一 log。N = l

22、ogr/ , log” Mn =noga M .4.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足根2 -町=lgg,其Z 乜2中星等為根上的星的亮度為以（61,2） .太陽的星等是-26.7,天狼星的星等是-L45,那么太陽與天狼星的亮度的比值為A. 1O10-1B. 10.1C. IglO.lD. 1O101【答案】A【解析】 由題意得到關(guān)于昂當(dāng)?shù)牡仁?，結(jié)合對數(shù)的運算法那么可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與靈度滿足4-仍=彳愴三,令咫=-1.45,町=-26.7,J79?F1g=（m2 叫）=一（一 1 45 + 26.7） = 10.1,=1255應(yīng)選A.【點睛】此題以天文學(xué)問題為背景，考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、信息處理能力、閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運算.假設(shè)。= log43,那么 2+2-=【答案】6 j *【解析】【詳解】_14 LV a = log4 3，:. 4 = 3 n 2=石,，2 + 2-2 = 3 + -j= = v3 .考點：對數(shù)的計算. IgO.Ol +log216=【答案】2【解析】【詳解】lg0.01+log216=-2+4 = 2考點：此題考查對數(shù)的概念、對數(shù)運算的基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力. k)gx = 2, k)gx =