中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)圖形的相似

1、 通州區(qū)東社中學(xué) 中考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：圖形的相似 導(dǎo)學(xué)案考點聚焦 1了解線段的比、成比例線段、黃金分割、相似圖形有關(guān)概念及性質(zhì) 2探索并掌握三角形相似的性質(zhì)及條件，并能利用相似三角形的性質(zhì)解決簡單的實際問題 3掌握圖形位似的概念，能用位似的性質(zhì)將一個圖形放大或縮小 4掌握用坐標(biāo)表示圖形的位置與變換，在給定的坐標(biāo)系中，會根據(jù)坐標(biāo)描出點的位置或由點的位置寫出它的坐標(biāo)，靈活運用不同方式確定物體的位置識記鞏固 1相似形：形狀相同，大小不一定相等的圖形稱為_ 2相似多邊形的特征：對應(yīng)邊_，對應(yīng)角_ 3成比例線段：如果四條線段a，b，c，d中，某兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等

2、，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段如a：b=c：d或a：d=b：c，則a，b，c，d叫_；若a，b，b，c成比例，即a：b=b：c，則稱b是a和c的_ 4相似三角形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形對應(yīng)邊之比叫做_當(dāng)相似比為1時，兩個三角形就稱為_ 5相似三角形的識別： （1）兩組對應(yīng)角分別_的兩個三角形相似； （2）兩組對應(yīng)邊成比例，且_相等的兩個三角形相似； （3）三組對應(yīng)邊_的兩個三角形相似； （4）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長線）相交，所得的三角形與原三角形_ 6相似三角形的性質(zhì)： （1）相似三角形對應(yīng)邊成_，對應(yīng)角_ （2）相似三角形對應(yīng)線段（對

3、應(yīng)角，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線，外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑）之比和周長之比都等于_； （3）相似三角形的面積比等于_ 7黃金分割：若線段AB上一點P分線段成AP與PB兩條線段，且（可求出比值為0.618），這種分割叫黃金分割P點叫線段AB的黃金分割點，一條線段有_個黃金分割點 8位似：對應(yīng)頂點的連線_的相似叫位似作位似圖形的方法是先確定位似中心和每個頂點之間的直線，在直線的另一側(cè)取原多邊形的對應(yīng)頂點，連結(jié)各點即得放大或縮小的位似圖形（注意“放大”和“放大到”的區(qū)別）9相似三角形中常見的基本圖形：條件：DEBC 1=B 1=B 條件：ABDE A=D CD是斜邊AB上的高典例解析 例1 （2008，浙

4、江麗水）如圖，在已建立直角坐標(biāo)系的44正方形方格紙中，劃格點三角形（三角形的三個頂點都是小正方形的頂點），若以格點P，A，B為頂點的三角形與ABC相似（全等除外），則格點P的坐標(biāo)是_ 答案 P1（1，4），P2（3，4） 點撥 這種題常見的錯誤是容易漏解，平時要多加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性 拓展變式 在RtABC中，斜邊AC上有一動點D（不與點A，C重合），過D點作直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，則滿足這樣條件的直線共有_條 答案 3 例2 如圖，已知平行四邊形ABCD中，E是AB邊的中點，DE交AC于點F，AC，DE把平行四邊形ABCD分成的四部分的面積分別為S1，S2，

5、S3，S4下面結(jié)論：只有一對相似三角形；EF：ED=1：2；S1：S2：S3：S4=1：2：4：5其中正確的結(jié)論是（ ）A B C D 解析 ABDC，AEFCDF，但本題還有一對相似三角形是ABCCDA（全等是相似的特例） 是錯的 ，EF：ED=1：2是錯的 SAEF：SCDF =1：4，SAEF：SADF =1：2 S1：S2：S3：S4=1：2：4：5，正確 (S2+ S3- S1) 答案 B 點撥 利用相似三角形的特征和等高三角形的面積比等于底邊之比；（共底三角形的面積之比等于高之比） 和全等三角形一樣，中考試題往往把需要證明的兩個相似三角形置于其他圖形（如等邊三角形、等腰直角三角形、

6、平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解題時要充分挖掘其中隱含的相等角、成比例的線段和平行線，注意從復(fù)雜的圖形中分離出基本的相似三角形 拓展變式 點E是ABCD的邊BC延長線上的一點，AE與CD相交于點G，則圖中相似三角形共有（ ） A2對 B3對 C4對 D5對答案 C 例3 （2008，湖北常德）如圖，在梯形ABCD中，若ABDC，AD=BC，對角線BD，AC把梯形分成了四個小三角形 （1）列出從這四個小三角形中任選兩個三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個三角形是相似三角形的概率是多少？（注意：全等看成相似的特例）（2）請你任選一組相似三角形，并給出證明 解析 （1）任選兩個三角

7、形的所有可能情況如下六種情況：， 其中有兩組（，）是相似的 選取到的兩個三角形是相似三角形的概率P= （2）證明：選擇證明 在AOB與COD中，ABCD， CDB=DBA，DCA=CAB， AOBCOD 選擇證明 四邊形ABCD是等腰梯形，DAB=CAB 在DABC與CBA中， AD=BC，DAB=CAB，AB=AB， DABCBA， ADO=BCO 又DOA=COB，DOACOB 例4 如圖，是某城市一個主題雕塑的平面示意圖，它由置放于地面L上兩個半徑為2米的半圓與半徑為4米的A構(gòu)成點B，C分別是兩個半圓的圓心，A分別與兩個半圓相切于點E，F(xiàn)，BC長為8米，求EF的長 解析 A分別與兩個半圓

8、相切于點E，F(xiàn)，點A，B，C分別是三個圓的圓心 AE=AF=4，BE=CF=2，AB=AC=6 在AEF和ABC中， EAF=BAC，=， AEFABC，故= 則EF=BC=8=（米） 點撥 解決實際問題時，一定要先轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，畫出圖形，再運用相應(yīng)的知識解決拓展變式 （2008，山東聊城）如圖，路燈（P點）距地面8米，身高16米的小明從距路燈的底部（O點）20米的A點，沿OA所在的直線行走14米到B點時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？ 解析 MAC=MOP=90， AMC=OMP， MACMOP， 即， 解得MA=5 同理，由NBDNOP可求得NB=1.5，所以小明的身

9、影變短了3.5米 例5 如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺的直角頂點P在AD上滑動時（點P與A，D不重合），一直角邊經(jīng)過點C，另一直角邊交AB于點E我們知道，結(jié)論“RtAEPRtDPC”成立 （1）當(dāng)CPD=30時，求AE的長；（2）是否存在這樣的點P，使DPC的周長等于AEP周長的2倍？若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由 解析 （1）在RtPCD中，由tanCPD=， 得PD=4， AP=AD-PD=10-4 由AEPDPC知，, AE=10-12 （2）假設(shè)存在滿足條件的點P，設(shè)DP=x，則AP=10-x 由AEPDPC，知=2 =2，解得x=8 此時AP=4，A

10、E=4符合題意 故存在點P，使DPC的周長等于AEP周長的2倍，DP=8 點撥 本題考查用相似三角形的性質(zhì)得到等量關(guān)系（比例式），建立方程解決實際問題除了掌握相似三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角的性質(zhì)以外，還要注意相似三角形對應(yīng)線段（對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線）之比和周長之比都等于相似比； 解決存在性問題時，一般先假設(shè)存在，建立方程，若方程有解，并且經(jīng)過檢驗解符合題意，則存在；若方程無解或解不符合題意，則不存在中考熱身1（2008，江蘇南京）如圖，已知O的半徑為1，AB與O相切于點A，OB與O交于n 點C，CDOA，垂足為D，則cosAOB的值等于（ ）AOD BOA CCD DAB 2（2008，江

11、蘇鹽城）如圖，D，E兩點分別在ABC的邊AB，AC上，DE與BC不平行，當(dāng)滿足_條件（寫出一個即可）時，ADEACB3（2008，安徽）如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交AC，CD于點P，Q （1）請寫出圖中各對相似三角形（相似比為1除外）；（2）求BP：PQ：QR4（2008，江蘇鹽城）如圖，在1212的正方形網(wǎng)格中，TAB的頂點坐標(biāo)分別為T（1，1），A（2，3），B（4，2） （1）以點T（1，1）為位似中心，按比例尺（TA：TA）3：1在位似中心的同側(cè)將TAB放大為TAB，放大后點A，B的對應(yīng)點分別為A，B，畫出TAB，并寫出點A，B的坐標(biāo)

12、（2）在（1）中，若點C（a，b）為線段AB上任一點，寫出變化后點C的對應(yīng)點C的坐標(biāo)迎考精練一、基礎(chǔ)過關(guān)訓(xùn)練1下列四個三角形，與左圖中的三角形相似的是（ ）2如圖，在ABCD中，E是BC的中點，且AEC=DCE，下列結(jié)論不正確的是（ ）ABF=DF BSFAD=2SFBE C四邊形AECD是等腰梯形 DAEB=ADC 3如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦AD，BC相交于點P，若DPB=，那么等于（ ） Asin Bcos Ctan D4如圖，直角梯形ABCD中，BCD=90，ADBC，BC=CD，E為梯形內(nèi)一點，且BEC=90，將BEC繞點C旋轉(zhuǎn)90使BC與DC重合，得到DCF，連結(jié)EF交CD于

13、點M已知BC=5，CF=3，則DM：MC的值為（ ） DMFECMA5：3 B3：5 C4：3 D3：4 (第4題) (第5題) (第6題)5如圖，若CD是RtABC斜邊上的高，AD=3，CD=4，則BC=_6如圖，ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（2，2），B（4，2），C（6，4），在第一象限內(nèi)，以原點O為位似中心，將ABC縮小，使變換后得到的DEF與ABC對應(yīng)邊的比為1：2，則線段AC的中點P變換后對應(yīng)的點的坐標(biāo)為_7如圖，ABCD中，E是CD的延長線上一點，BE與AD交于點F，DE=CD （1）求證：ABFCEB；（2）若DEF的面積為2，求ABCD的面積8如圖，已知O的弦CD垂直于直徑A

14、B，點E在CD上，且EC=EB （1）求證：CEBCBD；（2）若CE=3，CB=5，求DE的長二、能力提升訓(xùn)練9在等邊ABC中，點D為AC上一點，連結(jié)BD，直線L與AB，BD，BC分別相交于點E，P，F(xiàn)，且BPF=60 （1）如圖1，寫出圖中所有與BPF相似的三角形，并選擇其中一對給予證明； （2）若直線L向右平移到圖2，圖3的位置時（其他條件不變），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出來（不證明）；若不成立，請說明理由；（3）探究：如圖1，當(dāng)BD滿足什么條件時（其他條件不變），PF=PE？請寫出探究結(jié)果，并說明理由（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識的字母）10如圖，O的半徑為1，正方形AB

15、CD的頂點B的坐標(biāo)為（5，0），頂點D在O上運動 （1）當(dāng)點D運動到與點A，O在同一條直線上時，試證明直線CD與O相切； （2）當(dāng)直線CD與O相切時，求OD所在直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式； （3）設(shè)點D的橫坐標(biāo)為x，正方形ABCD的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值與最小值參考答案中考熱身 1A 2AED=B或ADE=C或 3（1）BCPBER，PCQPAB，PCQRDQ，PABRDQ （2）四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形， BC=AD=CE，ACDE，PB=PR，= 又PCDR，PCQRDQ 又點R是DE中點，DR=RE =，QR=2PQ 又BP=PR=PQ+RQ=

16、3PQ， BP：PQ：QR=3：1：2 4（1）點A，B的坐標(biāo)分別為（4，7），（10，4） （2）變化后點C的對應(yīng)點C的坐標(biāo)為（1+3a，1+3b）迎考精練基礎(chǔ)過關(guān)訓(xùn)練 1B 2B 3B 4C 5 6（2，）或（-2，-） 7（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形， A=C，ABCD， ABF=CEB， ABFCEB （2）解：四邊形ABCD是平行四邊形， ADBC，AB CD， DEFCEB，DEFABF DE=CD， ， SDEF=2 SCEB =18，SABF =8， S四邊形BCDF=SBCE -SDEF =16， S四邊形ABCD=S四邊形BCDF+SABF =16+8=24 8（

17、1）證明：弦CD垂直于直徑AB BC=BD，C=D 又EC=EB C=CBE，D=CBE 又C=C，CEBCBD （2）解：CEBCBD， ，CD=， DE=CD-CE=-3=能力提升訓(xùn)練 9解：（1）BPFEBF，BPFBCD 以BPFEBF為例，證明如下： BPF=EBF=60，BFP=EFB， BPFEBF （2）均成立，均為BPFEBF，BPFBCD （3）BD平分ABC時，PF=PE 證明：BD平分ABC，ABP=PBF=30 BPF=60，BFP=90，PF=PB 又BEF=60-30=30=ABP， BP=EP，PF=PE 10解：（1）四邊形ABCD為正方形，ADCD 點A，O，D在同一條直線上，ODC=90， 直線CD與O相切 （2）直線CD與O相切分兩種情況： 如圖1，設(shè)D1在第二象限時，過點D1作D1E1x軸于點E1，設(shè)此時的正方形的邊長為a，則（a-1）2+a2=5