高三總復(fù)習(xí)直線及圓的方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題

1、-PAGE . z.直線與圓的方程一、直線的方程1、傾斜角： L，*圍0， 假設(shè)軸或與軸重合時(shí)，=00。2、斜率： k=tan與的關(guān)系：=0=0L上兩點(diǎn)P1*1,y1 0P2*2,y2 =不存在 k=當(dāng)=時(shí)，=900，不存在。當(dāng)時(shí)，=arctank，0時(shí)，=+arctank3、截距略曲線過原點(diǎn)橫縱截距都為0。4、直線方程的幾種形式方程說明幾種特殊位置的直線斜截式K、bY=k*+b不含y軸和行平于y軸的直線*軸：y=0點(diǎn)斜式P1=(*1,y1) ky-y1=k(*-*1)不含y軸和平行于y軸的直線y軸：*=0兩點(diǎn)式P1(*1,y1)P2(*2,y2)不含坐標(biāo)輛和平行于坐標(biāo)軸的直線平行于*軸：y=

2、b截距式a、b不含坐標(biāo)軸、平行于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線平行于y軸：*=a過原點(diǎn)：y=k*一般式A*+by+c=0A、B不同時(shí)為0兩個(gè)重要結(jié)論：平面內(nèi)任何一條直線的方程都是關(guān)于*、y的二元一次方程。任何一個(gè)關(guān)于*、y的二元一次方程都表示一條直線。5、直線系：1共點(diǎn)直線系方程：p0*0,y0為定值，k為參數(shù)y-y0=k*-*0 特別：y=k*+b，表示過0、b的直線系不含y軸2平行直線系：y=k*+b，k為定值，b為參數(shù)。A*+BY+入=0表示與A*+By+C=0 平行的直線系B*-AY+入=0表示與A*+BY+C垂直的直線系3過L1,L2交點(diǎn)的直線系A(chǔ)1*+B1y+C1+入A2*+B2Y+C2=0

3、不含L26、三點(diǎn)共線的判定：，KAB=KBC，寫出過其中兩點(diǎn)的方程，再驗(yàn)證第三點(diǎn)在直線上。二、兩直線的位置關(guān)系1、L1：y=k1*+b1L2：y=k2*+b2L1：A1*+B1Y+C1=0L2：A2*+B2Y+C2=0L1與L2組成的方程組平行K1=k2且b1b2無解重合K1=k2且b1=b2有無數(shù)多解相交K1k2有唯一解垂直K1k2=-1A1A2+B1B2=0說明：當(dāng)直線平行于坐標(biāo)軸時(shí)，要單獨(dú)考慮2、L1到L2的角為0，則3、夾角：4、點(diǎn)到直線距離：點(diǎn)p0(*0,y0)，L：A*+BY+C=0兩行平線間距離：L1=A*+BY+C1=0 L2：A*+BY+C2=0與A*+BY+C=0平行且距離

4、為d的直線方程為A*+By+C與A*+BY+C1=0和A*+BY+C2=0平行且距離相等的直線方程是5、對(duì)稱：1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：p(*1,y1)關(guān)于M*0,y0的對(duì)稱2點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱：設(shè)p(a、b)對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)*軸Y=-*Y軸*=m(m0)y=*y=n(n0)一般方法：如圖：(思路1)設(shè)P點(diǎn)關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)為P0(*0,y0) 則 Kpp0KL=1P, P0中點(diǎn)滿足L方程 解出P0(*0,y0)思路2寫出過PL的垂線方程，先求垂足，然后用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出P0(*0,y0)的坐標(biāo)。PyLP0*3直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱L：A*+BY+C=0關(guān)于點(diǎn)P*0、Y0的對(duì)稱直線：A2*0-*+B2Y0-Y+

5、C=04直線關(guān)于直線對(duì)稱幾種特殊位置的對(duì)稱：曲線f(*、y)=0關(guān)于*軸對(duì)稱曲線是f(*、-y)=0 關(guān)于y=*對(duì)稱曲線是f(y、*)=0關(guān)于y軸對(duì)稱曲線是f(-*、y)=0 關(guān)于y= -*對(duì)稱曲線是f(-y、-*)=0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱曲線是f(-*、-y)=0 關(guān)于*=a對(duì)稱曲線是f(2a-*、y)=0關(guān)于y=b對(duì)稱曲線是f(*、2b-y)=0一般位置的對(duì)稱、結(jié)合平幾知識(shí)找出相關(guān)特征，逐步求解。三、簡單的線性規(guī)劃 L Y 不等式表示的區(qū)域 O * A*+BY+C=0約束條件、線性約束條件、目標(biāo)函數(shù)、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)劃，可行解，最優(yōu)解。要點(diǎn)：作圖必須準(zhǔn)確建議稍畫大一點(diǎn)。線性約束條件必須考慮完整

6、。先找可行域再找最優(yōu)解。四、圓的方程1、圓的方程：標(biāo)準(zhǔn)方程 ，ca、b為圓心，r為半徑。一般方程：，當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，不表示任何圖形。參數(shù)方程： 為參數(shù)以A*1，Y1，B*2，Y2為直徑的兩端點(diǎn)的圓的方程是*-*1*-*2+Y-Y1Y-Y2=02、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：考察點(diǎn)到圓心距離d，然后與r比擬大小。3、直線和圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離判定：聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知量，得到一個(gè)一元二次方程：0相交、0相切、0相離利用圓心c(a、b)到直線A*+BY+C=0的距離d來確定：dr相交、dr相切dr相離直線與圓相交，注意半徑、弦心距、半弦長所組成的kt4、圓的切線：1過圓上一點(diǎn)的切線方程

7、與圓相切于點(diǎn)*1、y1的切線方程是與圓相切于點(diǎn)*1、y1的切成方程為：與圓相切于點(diǎn)*1、y1的切線是2過圓外一點(diǎn)切線方程的求法：p0(*0，y0)是圓 外一點(diǎn)設(shè)切點(diǎn)是p1(*1、y1)解方程組先求出p1的坐標(biāo)，再寫切線的方程設(shè)切線是即再由，求出k，再寫出方程。當(dāng)k值唯一時(shí)，應(yīng)結(jié)合圖形、考察是否有垂直于*軸的切線斜率的切線方程：設(shè)b待定，利用圓心到L距離為r，確定b。5、圓與圓的位置關(guān)系由圓心距進(jìn)展判斷、相交、相離外離、內(nèi)含、相切外切、內(nèi)切6、圓系同心圓系：，a、b為常數(shù)，r為參數(shù)或：D、E為常數(shù)，F(xiàn)為參數(shù)圓心在*軸：圓心在y軸：過原點(diǎn)的圓系方程過兩圓和的交點(diǎn)的圓系方程為不含C2，其中入為參數(shù)假

8、設(shè)C1與C2相交，則兩方程相減所得一次方程就是公共弦所在直線方程。類型一：圓的方程例1 求過兩點(diǎn)、且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)與圓的關(guān)系分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，只須看點(diǎn)與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，假設(shè)距離大于半徑，則點(diǎn)在圓外；假設(shè)距離等于半徑，則點(diǎn)在圓上；假設(shè)距離小于半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi)解法一：待定系數(shù)法設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為圓心在上，故圓的方程為又該圓過、兩點(diǎn)解之得：，所以所求圓的方程為解法二：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑因?yàn)閳A過、兩點(diǎn)，所以圓心必在線段的垂直平分線上，又因?yàn)?，故的斜率?，又的中點(diǎn)為，故的垂直平分線的方程為：即又知圓心

9、在直線上，故圓心坐標(biāo)為半徑故所求圓的方程為又點(diǎn)到圓心的距離為點(diǎn)在圓外說明：此題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個(gè)關(guān)鍵的量，然后根據(jù)圓心與定點(diǎn)之間的距離和半徑的大小關(guān)系來判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，假設(shè)將點(diǎn)換成直線又該如何來判定直線與圓的位置關(guān)系呢？例2 求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程分析：根據(jù)問題的特征，宜用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解解：則題意，設(shè)所求圓的方程為圓圓與直線相切，且半徑為4，則圓心的坐標(biāo)為或又圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為3假設(shè)兩圓相切，則或(1)當(dāng)時(shí)，或(無解)，故可得所求圓方程為，或(2)當(dāng)時(shí)，或(無解)，故所求圓的方程為，或說明：對(duì)此題，易發(fā)生以下誤解：由題

10、意，所求圓與直線相切且半徑為4，則圓心坐標(biāo)為，且方程形如又圓，即，其圓心為，半徑為3假設(shè)兩圓相切，則故，解之得所以欲求圓的方程為，或上述誤解只考慮了圓心在直線上方的情形，而疏漏了圓心在直線下方的情形另外，誤解中沒有考慮兩圓內(nèi)切的情況也是不全面的例3 求經(jīng)過點(diǎn)，且與直線和都相切的圓的方程分析：欲確定圓的方程需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過定點(diǎn)，故只需確定圓心坐標(biāo)又圓與兩直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上解：圓和直線與相切，圓心在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線和的距離相等兩直線交角的平分線方程是或又圓過點(diǎn)，圓心只能在直線上設(shè)圓心到直線的距離等于，化簡整理得解得：或圓心是，半徑為或

11、圓心是，半徑為所求圓的方程為或說明：此題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是過定點(diǎn)且與兩直線相切的圓的方程的常規(guī)求法例4、 設(shè)圓滿足：(1)截軸所得弦長為2；(2)被軸分成兩段弧，其弧長的比為，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線的距離最小的圓的方程分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程滿足兩個(gè)條件的圓有無數(shù)個(gè)，其圓心的集合可看作動(dòng)點(diǎn)的軌跡，假設(shè)能求出這軌跡的方程，便可利用點(diǎn)到直線的距離公式，通過求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定圓的半徑，求出圓的方程解法一：設(shè)圓心為，半徑為則到軸、軸的距

12、離分別為和由題設(shè)知：圓截軸所得劣弧所對(duì)的圓心角為，故圓截軸所得弦長為又圓截軸所得弦長為2又到直線的距離為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=號(hào)，此時(shí)這時(shí)有或又故所求圓的方程為或解法二：同解法一，得將代入上式得：上述方程有實(shí)根，故，將代入方程得又由知、同號(hào)故所求圓的方程為或說明：此題是求點(diǎn)到直線距離最小時(shí)的圓的方程，假設(shè)變換為求面積最小呢？類型二：切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程例5圓，求過點(diǎn)與圓相切的切線解：點(diǎn)不在圓上， 切線的直線方程可設(shè)為根據(jù)解得 所以 即 因?yàn)檫^圓外一點(diǎn)作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在易求另一條切線為說明：上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補(bǔ)回漏掉的解此題還有其他解

13、法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0解決也要注意漏解還可以運(yùn)用，求出切點(diǎn)坐標(biāo)、的值來解決，此時(shí)沒有漏解例6 兩圓與相交于、兩點(diǎn)，求它們的公共弦所在直線的方程分析：首先求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線的方程，但是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過程太繁為了防止求交點(diǎn)，可以采用“設(shè)而不求的技巧解：設(shè)兩圓、的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為，則有：得：、的坐標(biāo)滿足方程方程是過、兩點(diǎn)的直線方程又過、兩點(diǎn)的直線是唯一的兩圓、的公共弦所在直線的方程為說明：上述解法中，巧妙地避開了求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒有去求它，而是利用曲線與方程的概念到達(dá)了目標(biāo)從解題的角度上說，這是一種“設(shè)而不求的技巧，從知識(shí)內(nèi)容的角度

14、上說，還表達(dá)了對(duì)曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對(duì)直線方程是一次方程的本質(zhì)認(rèn)識(shí)它的應(yīng)用很廣泛例7、過圓外一點(diǎn)，作這個(gè)圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別是、，求直線的方程。練習(xí)：1求過點(diǎn)，且與圓相切的直線的方程解：設(shè)切線方程為，即，圓心到切線的距離等于半徑，解得， 切線方程為，即，當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，圓心到此直線的距離等于半徑，故直線也適合題意。所以，所求的直線的方程是或2、過坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為解：設(shè)直線方程為，即.圓方程可化為，圓心為2，-1，半徑為.依題意有，解得或，直線方程為或.3、直線與圓相切，則的值為.解：圓的圓心為1，0，半徑為1，解得或.類型三：弦長、弧問題例8

15、、求直線被圓截得的弦的長.例9、直線截圓得的劣弧所對(duì)的圓心角為解：依題意得，弦心距，故弦長，從而OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對(duì)的圓心角為.例10、求兩圓和的公共弦長類型四：直線與圓的位置關(guān)系例11、直線和圓，判斷此直線與圓的位置關(guān)系.例12、假設(shè)直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，*數(shù)的取值*圍.解：曲線表示半圓，利用數(shù)形結(jié)合法，可得實(shí)數(shù)的取值*圍是或.例13 圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有幾個(gè)？分析：借助圖形直觀求解或先求出直線、的方程，從代數(shù)計(jì)算中尋找解答解法一：圓的圓心為，半徑設(shè)圓心到直線的距離為，則如圖，在圓心同側(cè)，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)符合題意又與直線平行的

16、圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意符合題意的點(diǎn)共有3個(gè)解法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線，且與之距離為1的直線和圓的交點(diǎn)設(shè)所求直線為，則，即，或，也即，或設(shè)圓的圓心到直線、的距離為、，則，與相切，與圓有一個(gè)公共點(diǎn)；與圓相交，與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)即符合題意的點(diǎn)共3個(gè)說明：對(duì)于此題，假設(shè)不留心，則易發(fā)生以下誤解：設(shè)圓心到直線的距離為，則圓到距離為1的點(diǎn)有兩個(gè)顯然，上述誤解中的是圓心到直線的距離，只能說明此直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，而不能說明圓上有兩點(diǎn)到此直線的距離為1到一條直線的距離等于定值的點(diǎn)，在與此直線距離為這個(gè)定值的兩條平行直線上，因此題中所求的點(diǎn)就是這兩條平行直線與圓的公共點(diǎn)求直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)

17、數(shù)，一般根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系來判斷，即根據(jù)圓心與直線的距離和半徑的大小比擬來判斷練習(xí)1：直線與圓沒有公共點(diǎn)，則的取值*圍是解：依題意有，解得.，.練習(xí)2：假設(shè)直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值*圍是.解：依題意有，解得，的取值*圍是.練習(xí)3、圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有 A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)分析：把化為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以在圓上共有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，所以選C練習(xí)4、過點(diǎn)作直線，當(dāng)斜率為何值時(shí)，直線與圓有公共點(diǎn)，如下圖分析：觀察動(dòng)畫演示，分析思路PEOy*解：設(shè)直線的方程為即根據(jù)有整理得解得類型五：圓與圓的位置關(guān)系問題導(dǎo)學(xué)四：圓與圓位置關(guān)系如何確定？例14、

18、判斷圓與圓的位置關(guān)系，例15：圓和圓的公切線共有條。解：圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，.，兩圓相交.共有2條公切線。練習(xí)1：假設(shè)圓與圓相切，則實(shí)數(shù)的取值集合是.解：圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，且兩圓相切，或，或，解得或，或或，實(shí)數(shù)的取值集合是.2：求與圓外切于點(diǎn)，且半徑為的圓的方程.解：設(shè)所求圓的圓心為，則所求圓的方程為.兩圓外切于點(diǎn)，所求圓的方程為.類型六：圓中的對(duì)稱問題例16、圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是GOBNMyA*圖3CA例17自點(diǎn)發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射，反射光線所在的直線與圓相切1求光線和反射光線所在的直線方程2光線自到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程分析、略解：觀察動(dòng)畫演示，分

19、析思路根據(jù)對(duì)稱關(guān)系，首先求出點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，其次設(shè)過的圓的切線方程為根據(jù)，即求出圓的切線的斜率為或進(jìn)一步求出反射光線所在的直線的方程為或最后根據(jù)入射光與反射光關(guān)于軸對(duì)稱，求出入射光所在直線方程為或光路的距離為，可由勾股定理求得說明：此題亦可把圓對(duì)稱到軸下方，再求解類型七：圓中的最值問題例18：圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是解：圓的圓心為2，2，半徑，圓心到直線的距離，直線與圓相離，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是.例19(1)圓，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大、最小值(2)圓，為圓上任一點(diǎn)求的最大、最小值，求的最大、最小值分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓

20、的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決解：(1)(法1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)圓的參數(shù)方程為是參數(shù)則其中所以，(法2)圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值等于圓心到原點(diǎn)的距離加上半徑1，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值等于圓心到原點(diǎn)的距離減去半徑1所以所以(2) (法1)由得圓的參數(shù)方程：是參數(shù)則令，得，所以，即的最大值為，最小值為此時(shí)所以的最大值為，最小值為(法2)設(shè)，則由于是圓上點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有交點(diǎn)時(shí)，如下圖，兩條切線的斜率分別是最大、最小值由，得所以的最大值為，最小值為令，同理兩條切線在軸上的截距分別是最大、最小值由，得所以的最大值為，最小值為例20：，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是.解：設(shè)，則.設(shè)圓心為，則，的最小值為.練習(xí)：

21、1：點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).1求的最大值與最小值；2求的最大值與最小值.解：1設(shè)，則表示點(diǎn)與點(diǎn)2，1連線的斜率.當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，取得最大值與最小值.由，解得，的最大值為，最小值為.2設(shè)，則表示直線在軸上的截距. 當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，取得最大值與最小值.由，解得，的最大值為，最小值為.2 設(shè)點(diǎn)是圓是任一點(diǎn)，求的取值*圍分析一：利用圓上任一點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)代替、，轉(zhuǎn)化為三角問題來解決解法一：設(shè)圓上任一點(diǎn)則有，即又解之得：分析二：的幾何意義是過圓上一動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)的連線的斜率，利用此直線與圓有公共點(diǎn)，可確定出的取值*圍解法二：由得：，此直線與圓有公共點(diǎn)，故點(diǎn)到直線的距離解得：另外，直線與圓的公共點(diǎn)還可以這樣來處理

22、：由消去后得：，此方程有實(shí)根，故，解之得：說明：這里將圓上的點(diǎn)用它的參數(shù)式表示出來，從而將求變量的*圍問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)來求解或者是利用其幾何意義轉(zhuǎn)化成斜率來求解，使問題變得簡捷方便3、點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求的最大值和最小值.類型八：軌跡問題例21、根底訓(xùn)練：點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，求點(diǎn)的軌跡方程.例22、線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是4，3，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.例23 如下圖，圓與軸的正方向交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過做圓的切線，切點(diǎn)為，求垂心的軌跡分析：按常規(guī)求軌跡的方法，設(shè)，找的關(guān)系非常難由于點(diǎn)隨，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，可考慮，三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系解：設(shè)，連結(jié)，則，是切線，所以，

23、所以四邊形是菱形所以，得又滿足，所以即是所求軌跡方程說明：題目巧妙運(yùn)用了三角形垂心的性質(zhì)及菱形的相關(guān)知識(shí)采取代入法求軌跡方程做題時(shí)應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì)，求軌跡時(shí)應(yīng)注意分析與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)，如相關(guān)聯(lián)點(diǎn)軌跡方程，可考慮代入法類型九：圓的綜合應(yīng)用例24、 圓與直線相交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，且，*數(shù)的值分析：利用幾何法求解，或利用轉(zhuǎn)移法求解，或利用參數(shù)法求解解法一：如圖，在矩形中，連結(jié)，交于，顯然，在直角三角形中，假設(shè)設(shè)，則由，即，也即，這便是的軌跡方程解法二：設(shè)、，則，又，即又與的中點(diǎn)重合，故，即，有這就是所求的軌跡方程解法三：設(shè)、，由于為矩形，故與的中點(diǎn)重合，即有，又由有聯(lián)立、消去、，即可得點(diǎn)的軌

24、跡方程為說明：此題的條件較多且較隱含，解題時(shí)，思路應(yīng)清晰，且應(yīng)充分利用圖形的幾何性質(zhì)，否則，將使解題陷入困境之中此題給出三種解法其中的解法一是幾何方法，它充分利用了圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系而解法二與解法三，從本質(zhì)上是一樣的，都可以稱為參數(shù)方法解法二涉及到了、四個(gè)參數(shù)，故需列出五個(gè)方程；而解法三中，由于借助了圓的參數(shù)方程，只涉及到兩個(gè)參數(shù)、，故只需列出三個(gè)方程便可上述三種解法的共同之處是，利用了圖形的幾何特征，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法求解練習(xí)：1、由動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，=600，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.解：設(shè).=600，=300.，化簡得，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.練習(xí)穩(wěn)固：設(shè)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的

25、距離與到點(diǎn)的距離的比為定值，求點(diǎn)的軌跡.解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.由，得，化簡得.當(dāng)時(shí)，化簡得，整理得；當(dāng)時(shí)，化簡得.所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是軸.2、兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所包圍的面積等于解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是.由，得，化簡得，點(diǎn)的軌跡是以2，0為圓心，2為半徑的圓，所求面積為.4、定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，是線段上的一點(diǎn)，且，問點(diǎn)的軌跡是什么？解：設(shè).，.點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，即，點(diǎn)的軌跡方程是.例5、定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是.解：設(shè).是的平分線，.由變式1可得點(diǎn)的軌跡方程是.練習(xí)穩(wěn)固：直線與圓相交于、兩點(diǎn)，以、為鄰邊作平行四邊形，求點(diǎn)的軌跡方程

26、.解：設(shè)，的中點(diǎn)為.是平行四邊形，是的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且.直線經(jīng)過定點(diǎn)，化簡得.點(diǎn)的軌跡方程是.類型九：圓的綜合應(yīng)用例25、 圓與直線相交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，且，*數(shù)的值分析：設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)為、，則由，可得，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解或因?yàn)橥ㄟ^原點(diǎn)的直線的斜率為，由直線與圓的方程構(gòu)造以為未知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出的值，從而使問題得以解決解法一：設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)為、一方面，由，得，即，也即：另一方面，、是方程組的實(shí)數(shù)解，即、是方程的兩個(gè)根，又、在直線上，將代入，得將、代入，解得，代入方程，檢驗(yàn)成立，解法二：由直線方程可得，代入圓的方程，有，整理，得由于，故可得，是上述方程兩根故得，解