信號與系統(tǒng)教案第4章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析

1、第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析4.1 信號分解為正交函數(shù)4.2 傅里葉級數(shù)4.3 周期信號的頻譜4.4 非周期信號的頻譜傅里葉變換4.5 傅里葉變換的性質(zhì)4.6 周期信號的傅里葉變換4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析4.8 取樣定理點擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析4.1 信號分解為正交函數(shù)一、矢量正交與正交分解 時域分析，以沖激函數(shù)為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數(shù)；而yf(t) = h(t)*f(t)。 本章將以正弦信號和虛指數(shù)信號ejt為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數(shù)信號之和。 這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是頻率。故稱為頻域分析。 矢量Vx

2、 = ( vx1, vx2, vx3)與Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定義：其內(nèi)積為0。即4.1 信號分解為正交函數(shù)由兩兩正交的矢量組成的矢量集合-稱為正交矢量集如三維空間中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所組成的集合就是一個正交矢量集。 例如對于一個三維空間的矢量A =(2，5，8)，可以用一個三維正交矢量集 vx，vy，vz分量的線性組合表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空間正交分解的概念可推廣到信號空間，在信號空間找到若干個相互正交的信號作為基本信號，使得信號空間中任意信號均可表示成它們的線性組合。 4.1 信

3、號分解為正交函數(shù)二、信號正交與正交函數(shù)集1. 定義： 定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個函數(shù) 1(t)和 2(t),若滿足 (兩函數(shù)的內(nèi)積為0)則稱 1(t)和 2(t) 在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交。 2. 正交函數(shù)集： 若n個函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)構(gòu)成一個函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足 則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的正交函數(shù)集。 4.1 信號分解為正交函數(shù)3. 完備正交函數(shù)集： 如果在正交函數(shù)集1(t)， 2(t)， n(t)之外，不存在函數(shù)(t)(0）滿足 則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。例如：三角函數(shù)集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和虛指

4、數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2/)上的完備正交函數(shù)集。( i =1，2，n)4.1 信號分解為正交函數(shù)三、信號的正交分解設(shè)有n個函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這n個正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為 f(t)C11+ C22+ Cnn 如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。通常使誤差的方均值(稱為均方誤差)最小。均方誤差為 4.1 信號分解為正交函數(shù)為使上式最小展開上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項不為0，寫為 即 所以系數(shù)4.1 信

5、號分解為正交函數(shù)代入，得最小均方誤差（推導(dǎo)過程見教材）在用正交函數(shù)去近似f(t)時，所取得項數(shù)越多，即n越大，則均方誤差越小。當(dāng)n時（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時有 上式稱為(Parseval)巴塞瓦爾公式，表明：在區(qū)間(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。 函數(shù)f(t)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和4.2 傅里葉級數(shù)4.2 傅里葉級數(shù)一、傅里葉級數(shù)的三角形式設(shè)周期信號f(t)，其周期為T，角頻率=2/T，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時，它可分解為如下三角級數(shù) 稱為f(t)的傅里葉級數(shù) 系數(shù)an , bn稱為傅里葉系數(shù)

6、可見， an 是n的偶函數(shù)， bn是n的奇函數(shù)。4.2 傅里葉級數(shù)式中，A0 = a0上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。 其中， A0/2為直流分量； A1cos(t+1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號相同； A2cos(2t+2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；一般而言，Ancos(nt+n)稱為n次諧波。 可見An是n的偶函數(shù)， n是n的奇函數(shù)。an = Ancosn， bn = Ansin n，n=1,2,將上式同頻率項合并，可寫為4.2 傅里葉級數(shù)二、波形的對稱性與諧波特性1 .f(t)為偶函數(shù)對稱縱坐標(biāo)bn =0，展開為余弦級數(shù)。2 .f(t)為奇函數(shù)對稱

7、于原點an =0，展開為正弦級數(shù)。實際上，任意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以 4.2 傅里葉級數(shù)3 .f(t)為奇諧函數(shù)f(t) = f(tT/2)此時 其傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即 a0=a2=b2=b4=0 三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)?？蓮娜切问酵瞥觯豪?cosx=(ejx + ejx)/2 4.2 傅里葉級數(shù)上式中第三項

8、的n用n代換，A n=An， n= n，則上式寫為 令A(yù)0=A0ej0ej0t ，0=0 所以4.2 傅里葉級數(shù)令復(fù)數(shù)稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。 n = 0, 1, 2， 表明：任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和。 F0 = A0/2為直流分量。4.2 傅里葉級數(shù)四、周期信號的功率Parseval等式直流和n次諧波分量在1電阻上消耗的平均功率之和。 n0時， |Fn| = An/2。周期信號一般是功率信號，其平均功率為4.3 周期信號的頻譜4.3 周期信號的頻譜及特點一、信號頻譜的概念 從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關(guān)系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖

9、形稱為信號的頻譜圖。 周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即 將An和n的關(guān)系分別畫在以為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因為n0，所以稱這種頻譜為單邊譜。 也可畫|Fn|和n的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Fn為實數(shù)，也可直接畫Fn 。4.3 周期信號的頻譜例：周期信號 f(t) =試求該周期信號的基波周期T，基波角頻率，畫出它的單邊頻譜圖，并求f(t) 的平均功率。解 首先應(yīng)用三角公式改寫f(t)的表達(dá)式，即顯然1是該信號的直流分量。的周期T1 = 8的周期T2 = 6所以f(t)的周期T = 24，基波角頻率=2/T = /12根據(jù)帕斯瓦爾等式

10、，其功率為 P= 4.3 周期信號的頻譜是f(t)的/4/12 =3次諧波分量； 是f(t)的/3/12 =4次諧波分量；畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖4.3 周期信號的頻譜二、周期信號頻譜的特點舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周期為T，如圖所示。求頻譜。 令Sa(x)=sin(x)/x (取樣函數(shù)） 4.3 周期信號的頻譜, n = 0 ,1，2， Fn為實數(shù)，可直接畫成一個頻譜圖。設(shè)T = 4畫圖。零點為所以，m為整數(shù)。特點： (1)周期信號的頻譜具有諧波(離散)性。譜線位置是基頻的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔轀p小。4.3 周期信號的頻譜譜線的結(jié)構(gòu)與波

11、形參數(shù)的關(guān)系：(a) T一定，變小，此時（譜線間隔）不變。兩零點之間的譜線數(shù)目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。(b) 一定，T增大，間隔減小，頻譜變密。幅度減小。 如果周期T無限增長（這時就成為非周期信號），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。 4.4 傅里葉變換4.4 非周期信號的頻譜傅里葉變換一、傅里葉變換 非周期信號f(t)可看成是周期T時的周期信號。 前已指出當(dāng)周期T趨近于無窮大時，譜線間隔趨近于無窮小，從而信號的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之間仍有差別。 為了描述非

12、周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令 (單位頻率上的頻譜） 稱F(j)為頻譜密度函數(shù)。4.4 傅里葉變換考慮到：T，無窮小，記為d； n （由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而同時， 于是，傅里葉變換式“-”傅里葉反變換式F(j)稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。f(t)稱為F(j)的傅里葉反變換或原函數(shù)。根據(jù)傅里葉級數(shù)4.4 傅里葉變換也可簡記為 F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j)或 f(t) F(j)F(j)一般是復(fù)函數(shù)，寫為 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX() 說明 (1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù)f(t)

13、的傅里葉變換存在的充分條件:(2)用下列關(guān)系還可方便計算一些積分4.4 傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換單邊指數(shù)函數(shù)f(t) = et(t)， 0實數(shù)2. 雙邊指數(shù)函數(shù)f(t) = et , 0 4.4 傅里葉變換3. 門函數(shù)(矩形脈沖)4. 沖激函數(shù)(t)、(t)4.4 傅里葉變換5. 常數(shù)1有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如1，(t) 等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。 可構(gòu)造一函數(shù)序列fn(t)逼近f (t) ，即而fn(t)滿足絕對可積條件，并且fn(t)的傅里葉變換所形成的序列Fn(j)是極限收斂的。則可定義f(t)的傅里葉變換F (j)為這樣定義的傅里葉變換也稱

14、為廣義傅里葉變換。 4.4 傅里葉變換構(gòu)造 f(t)=e-t ， 0 所以又因此， 12() 另一種求法： (t)1代入反變換定義式，有將t，t-再根據(jù)傅里葉變換定義式，得6. 符號函數(shù)4.4 傅里葉變換7. 階躍函數(shù)(t)4.4 傅里葉變換歸納記憶：1. F 變換對2. 常用函數(shù) F 變換對：(t)(t) e -t (t) g(t) sgn (t) e |t| 1 12()4.5 傅里葉變換的性質(zhì)4.5 傅里葉變換的性質(zhì)一、線性(Linear Property)If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)thenProof: F a f1(t) + b f2(t)= a F1(j)

15、 + b F2(j) a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)For example F(j) = ?Ans: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F(j) = 2() - 2Sa()-4.5 傅里葉變換的性質(zhì)二、時移性質(zhì)(Timeshifting Property)If f (t) F(j) thenwhere “t0” is real constant.Proof: F f (t t0 ) 時間右移t0，相位落后4.5 傅里葉變換的性質(zhì)For example F(j) = ?Ans:

16、 f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t - 5) F(j) =+4.5 傅里葉變換的性質(zhì)三、對稱性質(zhì)(Symmetrical Property)If f (t) F(j) thenProof:（1）in (1) t ，t then （2）in (2) - then F(j t) 2f () endF( jt ) 2f ()4.5 傅里葉變換的性質(zhì)For example F(j) = ?Ans:if =1,* ifF(j) = ?4.5 傅里葉變換的性質(zhì)四、頻移性質(zhì)(Frequency Shifting Property)If

17、f (t) F(j) thenProof:where “0” is real constant.F e j0t f(t)= F j(-0) endFor example 1f(t) = ej3t F(j) = ?Ans: 1 2() ej3t 1 2(-3)調(diào)制性質(zhì)4.5 傅里葉變換的性質(zhì)For example 2f(t) = cos0t F(j) = ?Ans:F(j) = (+0)+ (-0)For example 3Given that f(t) F(j) The modulated signal f(t) cos0t ? 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)五、尺度變換性質(zhì)(Scaling Tra

18、nsform Property)If f (t) F(j) then where “a” is a nonzero real constant.Proof:F f (a t ) =For a 0 ,F f (a t ) for a 0 ,F f (a t ) That is ,f (a t ) Also,letting a = -1,f (- t ) F( -j) 演示4.5 傅里葉變換的性質(zhì)For example 1Given that f (t)F( j), find f (at b) ?Ans: f (t b)e -jb F( j)f (at b) orf (at) f (at b) =

19、4.5 傅里葉變換的性質(zhì)For example 2f(t) = F(j) = ?Ans:Using symmetry,using scaling property with a = -1,so that,4.5 傅里葉變換的性質(zhì)六、卷積性質(zhì)(Convolution Property)Convolution in time domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j)Convolution in frequency domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t) f2(t) F

20、1(j)*F2(j)4.5 傅里葉變換的性質(zhì)Proof: F f1(t)*f2(t) =Using timeshiftingSo that, F f1(t)*f2(t) = F1(j)F2(j)4.5 傅里葉變換的性質(zhì)For exampleAns:Using symmetry,4.5 傅里葉變換的性質(zhì)七、時域的微分和積分(Differentiation and Integration in time domain)If f (t) F(j) then Proof:f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n F(j) f(-1)(t)= (t)*f(t) 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)f(

21、t)= 1/t2 ?For example 1Ans:4.5 傅里葉變換的性質(zhì)For example 2Given that f (t) F1(j)Prooff (t) F1(j) + f(-)+ f()()ProofSoSummary: if f (n)(t) Fn(j)，and f(-)+ f() = 0 Then f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n4.5 傅里葉變換的性質(zhì)For example 3Determine f (t) F (j)Ans:f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)F2(j)= F f ”(t) = e j2 2 + e j2= 2co

22、s(2) 2 F (j) =Notice:d(t)/dt = (t) 1(t) 1/(j)4.5 傅里葉變換的性質(zhì)八、頻域的微分和積分(Differentiation and Integration in frequency domain)If f (t) F(j) then (jt)n f (t) F(n)(j) whereFor example 1Determine f (t) = t(t) F (j)=?Ans:4.5 傅里葉變換的性質(zhì)Notice: t(t) =(t) * (t) Its wrong. Because ()() and (1/j)() is not defined.Fo

23、r example 2DetermineAns:九、帕斯瓦爾關(guān)系(Parsevals Relation for Aperiodic Signals)Proof|F(j)|2 is referred to as the energy-density spectrum of f(t). 單位頻率上的頻譜 (能量密度譜）Js4.5 傅里葉變換的性質(zhì)For exampleDetermine the energy of Ans:4.5 傅里葉變換的性質(zhì)4.5 傅里葉變換的性質(zhì)十、奇偶性(Parity)If f(t) is real, then= R() + jX()So thatR()= R() , X

24、() = X () |F(j)| = |F( j)| , () = ()(2) If f(t) = f(-t) ,then X() = 0, F(j) = R() If f(t) = -f(-t) ,then R() = 0, F(j) = jX()4.6 周期信號的傅里葉變換4.6 周期信號傅里葉變換一、正、余弦的傅里葉變換 12()由頻移特性得 e j 0 t 2(0 ) e j 0 t 2(+0 ) cos(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) (0 ) +(+0 )sin(0t)= (e j 0 t - e j 0 t)/(2j) j(+0 ) ( 0 )4.6 周期信號傅里

25、葉變換二、一般周期信號的傅里葉變換例1：周期為T的單位沖激周期函數(shù)T(t)= 解：(1)4.6 周期信號傅里葉變換例2：周期信號如圖，求其傅里葉變換。解：周期信號f(t)也可看作一時限非周期信號f0(t)的周期拓展。即f(t) = T(t)* f0(t) F(j) = () F0(j) F(j) =本題 f0(t) = g2(t)(2)(2)式與上頁(1)式比較，得這也給出求周期信號傅里葉級數(shù)的另一種方法。4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析 傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。對周期信號：對非周期信號：其基本信號為 ej t一、基本信號ej t作

26、用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)說明：頻域分析中，信號的定義域為(，)，而t= 總可認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫為y(t)。 4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵是角頻率的基本信號ej t時，其響應(yīng) 而上式積分 正好是h(t)的傅里葉變換，記為H(j )，常稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。y(t) = H(j ) ej tH(j )反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位。y(t) = h(t)* ej t4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析二、一般信號f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)ej tH(j ) ej tF(j ) ej t d F(j )H(j ) ej t d 齊次

27、性可加性f(t)y(t) =F 1F(j )H(j ) Y(j ) = F(j )H(j )4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)H(j)可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換Y(j)與激勵f(t)的傅里葉變換F(j)之比，即 H(j)稱為幅頻特性（或幅頻響應(yīng)）；()稱為相頻特性（或相頻響應(yīng)）。H(j)是的偶函數(shù)，()是的奇函數(shù)。 頻域分析法步驟：傅里葉變換法4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析對周期信號還可用傅里葉級數(shù)法。周期信號若則可推導(dǎo)出4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析例：某LTI系統(tǒng)的H(j)和()如圖，若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。解法一：用傅里葉變換F

28、(j) = 4() + 4(5) + (+5)+ 4(10) + (+10)Y(j) = F(j)H(j) = 4() H(0) + 4(5) H(j5) + (+5) H(-j5)+ 4(10) H(j10) + (+10) H(-j10) H(j)=H(j)ej()= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) y(t) = F-1Y(j) = 2 + 2sin(5t)4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析解法二：用三角傅里葉級數(shù)f(t)的基波角頻率=5rad/sf(t)= 2 + 4cos(t) + 4cos(2t)H(0) =1， H(j) = 0.5e-j0.5， H(j2) =

29、0y(t) = 2 + 40.5cos(t 0.5) = 2 + 2sin(5t)4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析三、頻率響應(yīng)H(j)的求法1. H(j) = F h(t) 2. H(j) = Y(j)/F(j)由微分方程求，對微分方程兩邊取傅里葉變換。由電路直接求出。 例1：某系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 2y(t) = f(t)求f(t) = e-t(t)時的響應(yīng)y(t)。解：微分方程兩邊取傅里葉變換jY(j) + 2Y(j) = F(j) 4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析f(t) = e-t(t)Y(j) = H(j)F(j)y(t) = (e-t e-2t )(t) 例2：如圖電路，R=1，

30、C=1F，以uC(t)為輸出，求其h(t)。解：畫電路頻域模型h(t)= e-t (t) 4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析四、無失真?zhèn)鬏斉c濾波系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類：一類是信號的傳輸，一類是濾波。傳輸要求信號盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。 1、無失真?zhèn)鬏?（1）定義：信號無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與輸入信號相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時間的先后不同，而沒有波形上的變化。即 輸入信號為f(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽?，輸出信號?yīng)為 y(t) = K f(ttd) 其頻譜關(guān)系為 Y(j)=Ke jtdF(j) 4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，對系統(tǒng)

31、h(t)，H(j)的要求是： (a)對h(t)的要求： h(t)=K(t td) (b)對H(j)的要求： H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd即 H(j)=K ,()= td 上述是信號無失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號是，只要在信號占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。 (2)無失真?zhèn)鬏敆l件：4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析例：系統(tǒng)的幅頻特性|H(j)|和相頻特性如圖(a)(b)所示，則下列信號通過該系統(tǒng)時，不產(chǎn)生失真的是(A) f(t) = cos(t) + cos(8t)(B) f(t) = sin(2t) + sin(4t)(C) f(t) = sin(2t

32、) sin(4t)(D) f(t) = cos2(4t)4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析2、理想低通濾波器 具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。c稱為截止角頻率。 理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫為： (1)沖激響應(yīng) h(t)= -1g 2 c()e-jtd =可見，它實際上是不可實現(xiàn)的非因果系統(tǒng)。4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析(2)階躍響應(yīng) g(t)=h(t)*(t)= 經(jīng)推導(dǎo)，可得稱為正弦積分特點：有明顯失真，只要c，則必有振蕩，其過沖比穩(wěn)態(tài)值高約9%。這一由頻率截斷效應(yīng)引起的振蕩現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。gmax=0.5+Si()/=1.08954.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析3、物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的條件 就時域特性而言，一個物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)在t0時必須為0，即 h(t)=0 ,t0 即 響應(yīng)不應(yīng)在激勵作用之前出現(xiàn)。 就頻域特性來說，佩利（Paley)和維納（Wiener)證明了物理可實現(xiàn)的幅頻特性必須滿足 并且稱為佩利-維納準(zhǔn)則。（必要條件）從該準(zhǔn)則可看出，對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，其幅頻特性可在某些孤立