信號(hào)與系統(tǒng)講義：第八章（第14-15講）

1、PAGE 第八章 離散時(shí)間系統(tǒng)的變換域分析8-1 引 言變換域分析的目的：類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的L.T.，離散時(shí)間系統(tǒng)通過(guò)Z變換（Z.T.），可以將原來(lái)求解差分方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼獯鷶?shù)方程的問(wèn)題，其目的是通過(guò)變換域分析將原來(lái)的求解問(wèn)題簡(jiǎn)化。 Z變換的發(fā)展史 十八世紀(jì)，英國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（De Moivre）提出生成函數(shù)，并應(yīng)用于概率論。實(shí)質(zhì)上，生成函數(shù)與Z變換的形式相同。從十九世紀(jì)拉普拉斯（P.S.Laplace）到二十世紀(jì)沙爾(H.L.Seal)等人都對(duì)其進(jìn)行了進(jìn)一步深入研究。二十世紀(jì)六十年代起，由于計(jì)算機(jī)技術(shù)和控制技術(shù)的飛速發(fā)展，抽樣控制理論的應(yīng)用，離散信號(hào)處理和數(shù)字信號(hào)處理得到了廣泛應(yīng)用。作

2、為離散時(shí)間系統(tǒng)分析的重要工具，Z.T.得到了很大的發(fā)展，其用途甚至超過(guò)了L.T.離散時(shí)間系統(tǒng)的分析方法離散時(shí)間系統(tǒng)的Z域分析法，這在本課程進(jìn)行研究。離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析法，即利用離散傅里葉變換（DFT）在離散時(shí)間系統(tǒng)分析中同樣占用很重要的地位，而DFT的快速算法FFT的提出使得DFT在各種信號(hào)處理場(chǎng)合得到的廣泛的應(yīng)用。這在數(shù)字信號(hào)處理課程中進(jìn)行。除了DFT以外，還有如沃爾什變換等分析方法，在離散信號(hào)處理中同樣得到的很廣泛的應(yīng)用。這在數(shù)字信號(hào)處理課程中進(jìn)行。8-2 Z變換定義及其收斂區(qū)域Z變換的定義Z變換的定義可以從純數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行，也可以通過(guò)信號(hào)分解的角度提出，后者更加容易理解。本課程中，通

3、過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的F.T.導(dǎo)出Z.T.。離散時(shí)間信號(hào)f(k)可以看成是連續(xù)時(shí)間信號(hào)通過(guò)抽樣而得到的沖激序列：對(duì)其進(jìn)行F.T.：根據(jù)Dirichlet條件，只有在信號(hào)滿足絕對(duì)可積條件的情況下才成立，即滿足絕對(duì)可和條件：時(shí)，F(xiàn)T才存在。如果不滿足，可以利用LT中的方法，在信號(hào)上首先乘以一個(gè)衰減因子，然后再求FT。這樣一來(lái)上式就可以變成為：令，代入上式，得：上式稱為序列f(k)的Z變換。F(z)被稱為序列f(k)的生成函數(shù)。上面的推導(dǎo)反映了抽樣信號(hào)的FT與用其沖激序列的強(qiáng)度構(gòu)成的信號(hào)序列的ZT之間的關(guān)系，即： 而抽樣信號(hào)的LT與用其沖激序列的強(qiáng)度構(gòu)成的信號(hào)序列的ZT之間的關(guān)系為：在某些情況下，Z變換的

4、求和限可以簡(jiǎn)化：如果f(k)是一個(gè)左邊序列（其在k0時(shí)才有非零值），則： 如果f(k)是一個(gè)右邊序列，則： 如果f(k)是一個(gè)有限長(zhǎng)序列，則： 單邊Z變換與雙邊Z變換雙邊Z變換與單邊Z變換的區(qū)別從應(yīng)用上考慮，從實(shí)際的因果系統(tǒng)和非因果系統(tǒng)上考慮。本課程主要考慮單邊Z變換： Z變換的收斂域 ZT是一個(gè)級(jí)數(shù)求和問(wèn)題，ZT存在意味著級(jí)數(shù)收斂。Z變換的收斂域也就是使這個(gè)級(jí)數(shù)收斂的全部Z的集合，即對(duì)于任意序列f（k）的z變換，使存在且有限的z值的取值范圍稱為的收斂區(qū)。級(jí)數(shù)收斂的判別方法：比值法：根值法：其中，為其級(jí)數(shù)的第k項(xiàng)。幾種常見(jiàn)序列的收斂域：右邊序列：利用根值法，有：所以，右邊信號(hào)的收斂域?yàn)槭前霃綖?/p>

5、R、圓心在原點(diǎn)的圓以外的全部區(qū)域。例：?jiǎn)芜呏笖?shù)序列的收斂域。解：用上面的結(jié)論（根值法）：思考：如果右邊序列的起始點(diǎn)不在0,收斂區(qū)間應(yīng)該怎樣？提示：收斂域是否包含+？左邊序列同上可得左邊序列的收斂域?yàn)椋杭醋筮呅盘?hào)的收斂域?yàn)槭前霃綖镽、圓心在原點(diǎn)的圓以內(nèi)的全部區(qū)域。例：?jiǎn)芜呏笖?shù)序列的收斂域。解：用上面的結(jié)論（根值法）：思考：如果左邊序列的起始點(diǎn)不在-1,收斂區(qū)間應(yīng)該怎樣？提示：收斂域是否包含原點(diǎn)？雙邊序列與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)一樣，雙邊序列也可以看成右邊序列和左邊序列之和，收斂域?yàn)閮蓚€(gè)序列的公共收斂域。收斂域可能存在（當(dāng)兩個(gè)序列的收斂域有公共區(qū)間時(shí)），也可能不存在（當(dāng)兩個(gè)序列的收斂域沒(méi)有公共區(qū)間）。如果存

6、在，其收斂域?yàn)橐粋€(gè)環(huán)行區(qū)域。 例：求序列的收斂區(qū)。解：它的收斂域?yàn)樽筮呅蛄泻陀疫呅蛄械墓彩諗繀^(qū)間。當(dāng)時(shí)，兩者沒(méi)有公共收斂區(qū)間，Z變換不存在。當(dāng)時(shí)，收斂域?yàn)橛邢揲L(zhǎng)序列：（實(shí)際上，收斂域是按照1）-3）的情況確定。）當(dāng)或,收斂域當(dāng),收斂域當(dāng)或,收斂域當(dāng)，收斂域常見(jiàn)右邊序列的ZT單位函數(shù)：，收斂域：全平面。單位階躍信號(hào)：收斂域：?jiǎn)芜呏笖?shù)序列： ，收斂域：?jiǎn)芜呎液陀嘞倚蛄校嚎梢酝ㄟ^(guò)上面指數(shù)序列推導(dǎo)出，見(jiàn)P386-387其它常見(jiàn)ZT：見(jiàn)P387,表8-1左邊和雙邊序列的ZT計(jì)算方法：左邊序列ZT求法： 由此可以得到由右邊序列計(jì)算左邊序列ZT計(jì)算方法：將序列f(k)反褶，稱為右邊序列f(-k)；求f(

7、-k)的右邊ZT，假設(shè)為，收斂域?yàn)椋坏玫阶筮呅蛄械腪T：，收斂域?yàn)殡p邊序列ZT求法：與雙邊信號(hào)的LT一樣，可以將雙邊序列分解為左邊序列和右邊序列之和，分別求解。例：求的ZT解：其中：1），收斂域：2）為了求，將信號(hào)反褶，成為新的右邊序列：求右邊序列ZT：，收斂域：得到原序列ZT：，收斂域：綜合得到雙邊序列的ZT：如果，則f(k)的雙邊ZT不存在（兩個(gè)收斂域沒(méi)有公共部分）；如果，則f(k)的雙邊ZT為：收斂域：8-3 Z變換的性質(zhì)線性：移序特性：?jiǎn)芜匷T移序特性：增序：可推導(dǎo)出： 減序：推廣：移序算子q的作用相當(dāng)于乘z;移序計(jì)算不影響收斂域；移序特性與LT中的微分特性很相似：雙邊序列移序： ，

8、（z域）尺度變換特性：若，收斂區(qū)域，則：收斂區(qū)域。證：（z域）微分特性： 證：即， 。例：求斜變函數(shù)的ZT，見(jiàn)P61。卷積定理：?jiǎn)坞p邊相同。初值和終值定理：在f(0)存在的條件下，（如果和存在，且的LT也存在，則：）在f()存在并且有限的條件下，（如果和存在，的LT也存在，且F(s)的極點(diǎn)位于s平面的左半平面，在s=0上至多存在單極點(diǎn)，則：）習(xí)題：. 8.2(2); .8.3(1)、(6)；.8.5.*8-4 反Z變換反Z變換有三種方法：級(jí)數(shù)展開(kāi)法；部分分式展開(kāi)法；留數(shù)法。級(jí)數(shù)展開(kāi)法：指導(dǎo)思想：將F（z）表示成Z變換的原始形式，將各個(gè)元素與f(k)對(duì)號(hào)入座。與z變換的定義式：比較，即得到：實(shí)現(xiàn)

9、途徑：長(zhǎng)除。例：求的原函數(shù)。見(jiàn)P397用這種方法容易求得信號(hào)的前面的幾個(gè)點(diǎn)上的值，但是無(wú)法得到解析表達(dá)式。用這種方法可能得到多個(gè)解。(在升冪和降冪問(wèn)題的處理上，見(jiàn)P397-398)這種方法無(wú)法與收斂域相結(jié)合，得到正確的原函數(shù)。 二、部分分式展開(kāi)法：同LT中的Heaviside分解法。其用到的基本變換為：對(duì)進(jìn)行部分分式展開(kāi)，對(duì)應(yīng)于上面的基本的ZT公式，就可以得到原函數(shù)。也可以采用另外一種基本函數(shù)：這時(shí)候只要對(duì)F（z）進(jìn)行部分分式展開(kāi)即可。上面討論的是單邊ZT的反變換。與LT一樣，在雙邊ZT中，F(xiàn)(z)的原函數(shù)與其收斂區(qū)間有關(guān)。可以是右邊序列的象函數(shù)，也可以是左邊序列的象函數(shù)，差別在于收斂域不同。

10、所以，必須根據(jù)收斂域，決定部分分式展開(kāi)式中各項(xiàng)的歸屬。例1：同上。P399例2：見(jiàn)P399,8.10解:,解得:A=2/3，B=1/3，C=-2，所以：當(dāng)時(shí)，右邊函數(shù)，有：，當(dāng)時(shí)，左邊函數(shù)，有：，當(dāng)時(shí)，雙邊函數(shù)，有：三、留數(shù)法：通過(guò)計(jì)算留數(shù)，可以得到原函數(shù)：很多教材上將其作為反Z變換的定義：（這樣注意圍線C的定義）證明從略。例：P400-401小結(jié)：留數(shù)法不僅可以用于計(jì)算單邊反Z變換，而且可以用于計(jì)算雙邊反Z變換。用留數(shù)法進(jìn)行計(jì)算，可能會(huì)遇到計(jì)算z=0點(diǎn)的各階留數(shù)的計(jì)算，不很方便。（主要由于公式中（當(dāng)k-1理想抽樣序列離散序列 F(s) F(z)已知信號(hào)的F(s),通過(guò)可以得到：對(duì)f(t)理想

11、抽樣，其沖激幅度序列為：對(duì)序列求ZT：假設(shè)：，則：可見(jiàn)：F(s)在處有極點(diǎn)，而F(z)在處有極點(diǎn)。假設(shè)（假設(shè)沒(méi)有重極點(diǎn)），則有： 在F(s)沒(méi)有重根的情況下,可以通過(guò)部分分解的方法得到F(z)。從上面可以看出：F(s)的極點(diǎn)和F(z)的極點(diǎn)之間的關(guān)系為：，或 或：，可見(jiàn)，F(xiàn)(s) 和F(z)的極點(diǎn)的映射關(guān)系與上面的關(guān)系相同。這里同樣有多點(diǎn)映射的問(wèn)題。8-6 離散時(shí)間系統(tǒng)ZT分析法時(shí)域差分方程Z域代數(shù)方程系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)域解。將系統(tǒng)響應(yīng)依然分成和兩部分討論。 一、的ZT求解法：在輸入信號(hào)為零的條件下，差分方程變?yōu)榱艘粋€(gè)齊次差分方程。其一般形式為：對(duì)其求ZT，可以得到：（移位特性）所以，有了初始條件，就

12、可以通過(guò)直接寫(xiě)出，再由反ZT就可以得到。但是，這種方法比時(shí)域解法復(fù)雜，因?yàn)椋盒问綇?fù)雜，難于記憶；要進(jìn)行反ZT計(jì)算。二、的ZT求解法：零狀態(tài)響應(yīng)有很多推導(dǎo)方法。教材上提出了直接用這個(gè)差分方程的求解方法。這里給出一個(gè)更加簡(jiǎn)單的方法。為此將差分方程改寫(xiě)為： 然后對(duì)方程兩邊求ZT（注意：1、系統(tǒng)初始狀態(tài)為零;2、同時(shí)激勵(lì)信號(hào)也是一個(gè)有始信號(hào);3、對(duì)于因果系統(tǒng)，m=n）：定義：則：其中，H(z)稱為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)。它可以根據(jù)系統(tǒng)的差分方程的系數(shù)直接寫(xiě)出?？梢?jiàn)，離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的求解方法與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的方法完全一樣，只不過(guò)LT變成了ZT而已。這里，同樣可以證明，H(z)是系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)的ZT

13、，即：三、系統(tǒng)的全響應(yīng)求解：1、通過(guò)和分別求。綜合上面的結(jié)果，可以得到：在實(shí)際應(yīng)用中一般不直接使用這個(gè)公式，而是利用其原理進(jìn)行計(jì)算。2、直接求解法：對(duì)差分方程兩邊直接求ZT，并代入初始條件。原始差分方程：或：兩邊同時(shí)求ZT：注意這個(gè)公式與前面公式的差別：1、響應(yīng)初始條件的含義；2、是否考慮激勵(lì)的初始值。例1：P411例2：P430，8.18（1）解:做Z變換:，(*推導(dǎo)見(jiàn)后)，解得：A=1，B=0.9，得：，得到：。推導(dǎo):離散時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的結(jié)論相似，離散時(shí)間系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是其單位函數(shù)響應(yīng)絕對(duì)可和。這要求系統(tǒng)傳輸函數(shù)的極點(diǎn)都在單位圓的內(nèi)部。如果系統(tǒng)在單位圓上有單極點(diǎn)，則系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。如何根據(jù)H(z)的分母D(z)的系數(shù)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定？直接根據(jù)D(z)的系數(shù)不能判斷其根是否處于單位圓以內(nèi)。