信號(hào)分析與處理：第4章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

1、第4章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.1拉普拉斯變換4.2單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)4.3拉普拉斯逆變換4.4連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.5連續(xù)LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 頻域分析以虛指數(shù)信號(hào)ejt為基本信號(hào)，任意信號(hào)可分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。使響應(yīng)的求解得到簡(jiǎn)化。物理意義清楚。但也有不足：（1）有些重要信號(hào)不存在傅里葉變換，如e2t(t);（2）對(duì)于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。 在這一節(jié)將通過(guò)把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻域來(lái)解決這些問(wèn)題。 引入復(fù)頻率 s = +j,以復(fù)指數(shù)函數(shù)es t為基本信號(hào)，任意信號(hào)可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是復(fù)頻率 s

2、，故稱為s域分析。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯變換。引 言4.1 拉普拉斯變換4.1.1 拉普拉斯變換的定義1、從傅里葉變換到拉普拉斯變換 有些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件，求解傅里葉變換困難。為此，可用一衰減因子e- t (為實(shí)常數(shù)）乘信號(hào)x( t ) ，適當(dāng)選取 的值，使乘積信號(hào)x( t ) e-t 當(dāng) t時(shí)信號(hào)幅度趨近于0 ，從而使x( t ) e-t的傅里葉變換存在。 相應(yīng)的傅里葉逆變換為 令復(fù)變量 s = + j, d =ds/j，有雙邊拉氏變換（象函數(shù)）拉氏逆變換（原函數(shù)）說(shuō)明：X(s)=Lx(t) 象函數(shù)，自然界中不存在，復(fù)函數(shù)，無(wú)法直接測(cè)量；x(t)=L-1X(s) 原函數(shù)，實(shí)際存在，

3、實(shí)函數(shù)， 可以感覺和測(cè)量。 2.5 連續(xù)信號(hào)的拉普拉斯變換關(guān)鍵在于這個(gè)衰減因子e -t 的引入，滿足更多信號(hào)。只能描述振蕩頻率，而s不僅能給出重復(fù)頻率，還可表示振蕩幅度的增長(zhǎng)速率或衰減速率。把x( t )變到s域的目的：方便計(jì)算微分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程，卷積變成相乘。單邊拉氏變換信號(hào)x( t )的單邊拉氏變換即為x( t )( t )（因果信號(hào)）的雙邊拉氏變換，單邊拉氏變換的反變換應(yīng)是因果信號(hào)，即x( t )( t ) 。2.5 連續(xù)信號(hào)的拉普拉斯變換單邊拉氏變換的工程背景 因?yàn)楸緯鴥H研究線性時(shí)不變且為因果系統(tǒng)，故僅討論單邊拉氏變換。 在系統(tǒng)分析中，一般認(rèn)為信號(hào)在0時(shí)刻加入，對(duì)于因果系統(tǒng)其響應(yīng)在

4、才出現(xiàn)，實(shí)際響應(yīng)一定也是因果信號(hào) 。 實(shí)際信號(hào)x( t )都有起始時(shí)刻，一般認(rèn)為起始時(shí)刻為0時(shí)刻，故把實(shí)際信號(hào)看成因果信號(hào)是符合實(shí)際的。積分下限取 0_考慮到信號(hào) x( t ) 在 t =0 時(shí)可能出現(xiàn)沖激，故采用0_。2.5 連續(xù)信號(hào)的拉普拉斯變換4.1.2 拉普拉斯變換的收斂域(ROC) 使 x(t)拉氏變換存在的 =Res取值范圍稱為收斂域。對(duì)于單邊拉氏變換，X(s)存在的條件是被積函數(shù)收斂,從而要求滿足當(dāng) 0時(shí)收斂域收斂邊界即單邊拉氏變換的ROC為：Res= 02.5 連續(xù)信號(hào)的拉普拉斯變換1. (t) 1， -利用0_系統(tǒng)，可以計(jì)及信號(hào)在 t =0 時(shí)發(fā)生的沖激。全 s 域內(nèi)均存在拉

5、氏變換。4.1.3 常用信號(hào)的單邊拉普拉斯變換2.單位沖激信號(hào)n階微分 3. ( t )或1 1/s ， 0注意：階躍信號(hào)只在 的區(qū)域內(nèi)存在拉 氏變換， 是區(qū)域邊界。 是 的極點(diǎn)實(shí)部。當(dāng)s 的實(shí)部 時(shí)， ，故 4.1.3 常用信號(hào)的單邊拉普拉斯變換時(shí)，有注意：指數(shù)信號(hào)只在 的區(qū)域內(nèi)存在拉氏變換， 是區(qū)域邊界。cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 sin0t = (ej0t e-j0t )/2j 4. 指數(shù)函數(shù)e-s0t -Res0= -02.5 連續(xù)信號(hào)的拉普拉斯變換頻移線性t 域微分t 域積分時(shí)移s 域微分拉氏逆變換s 域積分拉氏逆變換唯一性4.2 單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)拉氏變換

6、的基本性質(zhì)尺度變換終值定理卷積定理初值定理因果信號(hào)單邊拉氏變換要求a0例1:求如圖信號(hào)的單邊拉氏變換。解：x1( t ) = (t) (t-1)， x2( t ) = (t+1) (t-1)X1(s)=X2( s )= X1( s )注意: X2(s) 例2:求x( t )= e-2(t-1)(t-1) X ( s )=?例3:求x(t)= e-2(t-1)(t) X (s)=?x(t)= e-2t e2(t)例4:已知x1(t) X1(s), 求x2(t) X2(s)。解： x2(t) = x1(0.5t) x10.5(t-2)x1(0.5t) 2X1(2s)x1 0.5(t-2) 2X1(

7、2s)e-2sx2(t) 2X1(2s)(1 e-2s)例5:已知因果信號(hào)x(t)的象函數(shù)X(s)= 求e-tx(3t-2)的象函數(shù)。 解：x(3t-2)= x3(t-2/3)= e-tx(3t-2)= e-tx3(t-2/3)= 例6: (n)(t) ? (n)(t) 例7:例9: t2(t) ? 解:例8: t (t) ?例10：解：例11:已知因果信號(hào)x(t)如圖 ,求X(s)。解:由于x( t )為因果信號(hào)，故 x(0-)=0結(jié)論：若x(t)為因果信號(hào)，已知x(n)(t) Xn(s) 則 x(t) Xn(s)/sn例 周期信號(hào)的拉氏變換第一周期的拉氏變換利用時(shí)移特性利用無(wú)窮級(jí)數(shù)求和例

8、矩形周期信號(hào)拉氏變換)1(11)()(21sTssTeseesXsX-=-=)1(1)(21sessX-=第一周期的信號(hào)第一周期的拉氏變換利用時(shí)移特性利用無(wú)窮技術(shù)求和)2()()(1tttx-=第n周期的拉氏變換初值定理應(yīng)用的條件：X(s)必須是真分式,否則可用長(zhǎng)除法將X(s)化為一個(gè)整式與一個(gè)真分式之和。終值定理應(yīng)用的條件：終值 必須存在，對(duì)應(yīng)s域中就是X(s)的極點(diǎn)必須位于s平面的左半開平面，在s=0處允許有一階極點(diǎn)存在。例 求 反變換的初值和終值。解 先將X(s)化為真分式X(s)的極點(diǎn)s=-1在左半平面，故終值存在例 求 反變換的初值和終值。解由于X(s)的極點(diǎn)s=-1在左半平面，原點(diǎn)

9、上的極點(diǎn)s=0為一階，故終值存在，即例 求 反變換的初值和終值。解由于X(s)在虛軸上有一對(duì)共軛極點(diǎn)s=j，表明x(t)中含有正弦或余弦，故終值不存在。作業(yè)4-24-34-44-81、基本思想 根據(jù)線性性質(zhì)，把象函數(shù)分解為基本單元的組合，再求取拉普拉斯逆變換。 直接求取相當(dāng)困難！4.3 拉普拉斯逆變換 的根稱為X(s)的極點(diǎn)，用 表示 的根稱為X(s)的零點(diǎn)，用 表示 例如：2、零極點(diǎn)若象函數(shù)X(s)是s的有理分式，可寫為 若MN （假分式）,可用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)X(s)分解為有理多項(xiàng)式P(s)與有理真分式之和。 由于L-11=( t )， L -1sn= (n)( t )，故多項(xiàng)式P( s

10、 )的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。3、部分分式展開法(1) 單極點(diǎn) 互不相等下面主要討論有理真分式的情形。 D(s)稱為X(s)的特征多項(xiàng)式，方程D(s)=0稱為特征方程，它的根稱為特征根，也稱為X(s)的固有頻率（或自然頻率）。(2) 復(fù)數(shù)極點(diǎn)k1和k2也呈共軛關(guān)系假定復(fù)數(shù)極點(diǎn)必以共軛形式出現(xiàn)，令(3) 重極點(diǎn) X(s) 含有 r 重極點(diǎn) p1 解:例1：已知，求其逆變換。例2：已知，求其逆變換。解:例3：已知，求其逆變換。解:令例4: 已知函數(shù)試求信號(hào) 。解:例 已知 求 。 解：利用拉氏變換求卷積4. 4 連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析描述LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程的一般形式 由于激勵(lì) 一般在 時(shí)

11、刻接入，所以 時(shí)的 及其各階導(dǎo)數(shù)均為零。4. 4 連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析描述LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程的一般形式 例：描述某線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。解：（1）求零輸入響應(yīng)yzi(t)（2）求零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)（3）全響應(yīng) 作業(yè)4-124-14 (1)以單位沖激信號(hào) 作為激勵(lì)時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，記作 。任意時(shí)域信號(hào)激勵(lì)時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的時(shí)域特征4. 5 連續(xù)LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的復(fù)頻域特征系統(tǒng)函數(shù) 是 的拉氏變換其中定義 系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換與激勵(lì)的拉 氏變換之比叫系統(tǒng)函數(shù)或網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述 4.5.1 系統(tǒng)函數(shù)的定

12、義時(shí)域輸入輸出關(guān)系微分方程 經(jīng)典法時(shí)域的沖激響應(yīng)h(t) 卷積法s域的系統(tǒng)函數(shù)H(s) 拉氏變換 描述LTI系統(tǒng)的三種形式三種描述方式要能夠互相轉(zhuǎn)換例如：已知系統(tǒng)函數(shù)為則沖擊響應(yīng)為微分方程為例: 已知當(dāng)輸入x (t)= e-t(t)時(shí)，某LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) y(t) = (3e-t -4e-2t + e-3t) (t)求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。 解：h(t)= (4e-2t -2e-3t) (t)微分方程為 y(t)+5y(t)+6y(t) = 2x (t)+ 8x(t) s2Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s) = 2sX(s)+ 8X(s) y(t)= h(t

13、)*x(t)H(s)= L h(t)Y(s)= H(s)X(s)X(s)= L x(t)零狀態(tài)根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的定義，任意激勵(lì)下，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)可以表示為系統(tǒng)函數(shù)與激勵(lì)信號(hào)的象函數(shù)的乘積。 可以利用系統(tǒng)函數(shù)，在復(fù)頻域中求得系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)，然后對(duì)其作拉普拉斯逆變換，求得時(shí)域中零狀態(tài)響應(yīng)的原函數(shù)。 4.5.2 用系統(tǒng)函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)例:如圖所示電路，激勵(lì)信號(hào)求電路的零狀態(tài)響應(yīng)u2(t)。 解:令1、系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式，即 D(s)=0的根p1，p2，pn稱為系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)；N(s)=0的根z1，z2，zm稱為系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零

14、點(diǎn)。 4.5.3 由系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布確定時(shí)域特性例:將零極點(diǎn)畫在復(fù)平面上得零、極點(diǎn)分布圖。 由于多項(xiàng)式的系數(shù)為實(shí)數(shù)，因此系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)為： 實(shí)數(shù)、共軛虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)零點(diǎn)：z = -2極點(diǎn)：p1 = -1, p2,3 = j研究系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)有下列幾個(gè)方面的意義:（1）從系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布可以了解系統(tǒng)的固有頻率,進(jìn)而了解系統(tǒng)沖激響應(yīng)的模式,也就是說(shuō)可以知道系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是指數(shù)型,衰減振蕩型,等幅振蕩型,還是幾者的組合,從而可以了解系統(tǒng)的響應(yīng)特性及系統(tǒng)是否穩(wěn)定。（2）從系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布可以求得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性,從而可以分析系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性。系統(tǒng)的時(shí)域、頻域特性都集中地以其系統(tǒng)函

15、數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布表現(xiàn)出來(lái)。2、系統(tǒng)函數(shù)H(s)與時(shí)域響應(yīng)h(t) 沖激響應(yīng)的函數(shù)形式由H(s)的極點(diǎn)確定。 所討論系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。主要討論單極點(diǎn)的情況。 對(duì)單邊拉普拉斯變換，由于H(s)的所有極點(diǎn)一定位于收斂域的左方，因而系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的所有極點(diǎn)必須位于左半s平面。包含虛軸的收斂域 穩(wěn)定性判定(s域)H(s)的極點(diǎn)不落在右半平面的必要條件：H(s)的分母多 項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)均為非零正實(shí)數(shù)，或均為非零負(fù)實(shí)數(shù)。 H(s)按其極點(diǎn)在s平面上的位置可分為: 在左半開平面、虛軸和右半開平面三類。 （1）在左半開平面：衰減 若系統(tǒng)函數(shù)有負(fù)實(shí)單極點(diǎn)p= (0)，則N(s)中有因子(s+)，其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)

16、函數(shù)為ke-t(t) (b) 若有一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)p1,2=-j0，則N(s)中有因子(s+)2+ 0 2 k e-tcos(0 t+)(t) 以上兩種情況：當(dāng)t時(shí)，響應(yīng)均趨于0。（2）在虛軸上 ：等幅(a)單極點(diǎn)p=0，則響應(yīng)為k(t) (b)共軛虛數(shù)極點(diǎn)p1,2=j 0 則響應(yīng)為 kcos(0 t+)(t)（3）在右半開平面 ：均為遞增函數(shù)。 正實(shí)單極點(diǎn)p= (0)，則響應(yīng)為ket(t) (b) 一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)p1,2=j0 則響應(yīng)為 ketcos(0 t+)(t) 綜合結(jié)論：LTI連續(xù)因果系統(tǒng)的h(t)的函數(shù)形式由H(s)的極點(diǎn)確定。 H(s)在左半平面的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為衰減的。即當(dāng)t時(shí)，響應(yīng)均趨于0。 H(s)在虛軸上的一階極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)不增不減。 H(s)在右半平面上的極點(diǎn)，其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)都是遞增的。即當(dāng)t時(shí)，響應(yīng)均趨于。 H(s)的零點(diǎn)分布影響沖激響應(yīng)的幅度和相位，但不影響沖激響應(yīng)的變化規(guī)律。 例 4.5.4 系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)與系統(tǒng)的頻率特性 若 為因果信號(hào) ,則設(shè) ，解：解：解