信號分析與處理：第2章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析1

1、第2章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析2.1連續(xù)時間基本信號2.2信號的基本運算2.3信號的卷積運算及卷積性質(zhì)2.4連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的時域分析2.5 LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)2.6 LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2.7連續(xù)時間系統(tǒng)時域分析的MATLAB實現(xiàn) 時域分析 以沖激函數(shù)為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數(shù) ； 而 。這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是時間。 頻域分析 本章將以正弦信號和虛指數(shù)信號e jt為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數(shù)信號之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是頻率。第二章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析2.1 連續(xù)時間基本信號2.1 連續(xù)時間基本信號

2、階躍信號和沖激信號都是奇異信號, 階躍信號與沖激信號是兩種最基本的理想信號模型。階躍信號和沖激信號在信號分析與處理中占有重要地位。2.1.1 單位階躍信號突然接入的直流電壓突然接通又馬上斷開電源（1）階躍信號的物理背景（開關(guān)作用）n 函數(shù)序列n(t)2.1 連續(xù)時間基本信號（2）階躍信號的數(shù)學(xué)描述延遲時間的階躍函數(shù) 單位階躍函數(shù)（3）階躍信號的單邊特性對函數(shù) t0 部分的截取 2.1 連續(xù)時間基本信號（5）用階躍函數(shù)閉式表示分段光滑信號（4）階躍信號的加窗特性對脈沖范圍內(nèi)的截取 2.1 連續(xù)時間基本信號（6）單位階躍函數(shù)的積分為單位斜坡信號2.1 連續(xù)時間基本信號（1）沖激信號的物理背景 沖激

3、信號反映一種持續(xù)時間極短，函數(shù)值極大的脈沖信號的極限，如：雷擊電閃、短促而強(qiáng)烈的干擾信號、瞬間作用的沖擊等等。2.1.2 單位沖激信號2.1 連續(xù)時間基本信號單位沖激信號的特征：寬度無窮?。}寬）、 高度無窮大（脈高）、 面積為1（強(qiáng)度為1）的窄脈沖。2.1 連續(xù)時間基本信號2.1 連續(xù)時間基本信號注意：圖中K為強(qiáng)度，要括住?。?）沖激信號(t)的數(shù)學(xué)描述 延遲單位沖激1）(t)的狄拉克定義單位沖激函數(shù)一般沖激信號（3）沖激函數(shù)的性質(zhì) 1） 與普通函數(shù) x(t) 的乘積篩分性質(zhì)若x(t)在 t = 0 、 t = t0處存在，則 x(t)(t) = x(0)(t) x(t)(t t0) = x

4、(t0)(t t0) 沖激函數(shù)把信號在沖激時刻的值“篩分”出來，賦給沖激函數(shù)作為沖激強(qiáng)度。連續(xù)信號與沖激函數(shù)相乘再積分，等于沖激時刻的信號值,這就是抽樣性質(zhì)。 2） 與普通函數(shù) x(t) 的乘積再積分抽樣性質(zhì)2.1 連續(xù)時間基本信號也稱為抽樣性質(zhì)（4）沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系可見，引入沖激函數(shù)之后，間斷點的導(dǎo)數(shù)也存在。如x(t) = 2(t +1)-2(t -1)x(t) = 2(t +1)-2(t -1)求導(dǎo)2.1 連續(xù)時間基本信號其中a為不等于0的實常數(shù)。(5)沖擊函數(shù)尺度變換性質(zhì)(展縮性質(zhì)) 當(dāng)取a=1時，有 為偶對稱函數(shù) 2.1 連續(xù)時間基本信號證明：當(dāng)a0時 根據(jù)函數(shù) 的定義，有 x(

5、t)為任一在t=0處連續(xù)的常規(guī)函數(shù)2.1 連續(xù)時間基本信號當(dāng)a0時,令 ,同樣可證 因此，尺度變換性質(zhì) 得證。當(dāng)取a=1時，有 為偶對稱函數(shù) 2.1 連續(xù)時間基本信號 2.1.3 沖激偶信號 為偶函數(shù)（1）沖激偶信號的數(shù)學(xué)描述為奇函數(shù)2.1 連續(xù)時間基本信號（2）沖激偶信號的性質(zhì) 1） 與普通函數(shù) x(t) 的乘積篩分性質(zhì) 2） 抽樣性質(zhì) 注意：而：2.1 連續(xù)時間基本信號0(t)例：簡化下列表達(dá)式。2.1 連續(xù)時間基本信號例：已知求解： 2.1.4 指數(shù)信號（1）指數(shù)信號的數(shù)學(xué)描述1）實指數(shù)信號指數(shù)規(guī)律增長指數(shù)規(guī)律衰減直流2.1 連續(xù)時間基本信號2）復(fù)指數(shù)信號增幅振蕩衰減振蕩等幅振蕩復(fù)指數(shù)信

6、號是連續(xù)信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中使用的基本信號。其中復(fù)頻率s中的實部絕對值的大小反映了信號增長或衰減的速率，虛部的大小反映了信號振蕩的頻率。2.1 連續(xù)時間基本信號（2）用虛指數(shù)信號表示正余弦信號2.1 連續(xù)時間基本信號信號的時域自變量變換（移位變換、反轉(zhuǎn)變換、尺度變換）；信號的分解與合成；信號的微分 、積分。1.2 信號的基本運算1.2 信號的基本運算 2.2.1 信號的自變量變換例: 連續(xù)信號 x(t) 移位若 ，信號沿時間軸正方向移位（a）左移t0 (t00) （b）原始信號 （c）右移t0(t00)將1、移位變換若 ，信號沿時間軸反方向移位，（a）左移n0 (n00) （b ）原始信號

7、 （c）右移n0(n00)離散時間信號的移位 離散時間信號 和 （n0為正整數(shù)）則分別相當(dāng)于將x(n)右移和左移n0個序號 。2、反轉(zhuǎn)變換將 ， 以縱坐標(biāo)為軸反轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)180 度），即把信號的過去與未來對調(diào)。將例: 連續(xù)信號反轉(zhuǎn)離散信號反轉(zhuǎn)例:視頻示例。正常視頻反轉(zhuǎn)視頻3、尺度變換（橫坐標(biāo)展縮） 信號壓縮 原信號 信號擴(kuò)展例:若 ，波形 沿橫坐標(biāo)壓縮； ，則為擴(kuò)展。相當(dāng)于改變觀察時間的量度。 序列的尺度變換與連續(xù)時間的有所不同，由于序號只能為整數(shù)，當(dāng)a1的正整數(shù)時，要丟失x(n)的一些信息，而a1正整數(shù)時 x要填入必要的零值 。 信號的尺度變換x(n)x(n/2)x(2n) 信號壓縮 原信號

8、信號擴(kuò)展例：尺度變換變換后語音信號的變化 f (t) f (1.5t) f (0.5t)例:音頻示例。例:視頻示例。正常視頻慢放視頻快放視頻4、綜合變換設(shè)順序：尺度、平移 （順序不能變） 順序：尺度、反轉(zhuǎn)、平移 (前兩種變換可以交換 順序，平移必須在最后）注意始終對時間 t 進(jìn)行變換順序：平移、尺度、反轉(zhuǎn) (后兩種變換可以交換 順序，平移必須在最前）（2）解析法（1）圖解法設(shè)順序：反轉(zhuǎn)、尺度、平移變換解：（1）圖解法例8： 的波形如圖所示，畫出 的波形。x(-2t+1)= x2(t1/2)（2）解析法例 x(t)的波形如圖所示，畫出 x(-2t+1)的波形。x(-2t+1)=x-2(t-1/2

9、)順序：尺度、反轉(zhuǎn)、平移變換例 x(t)的波形如圖所示，畫出 x(-2t+1)的波形。x(-2t+1)x-2(t-1/2)例 f (t)的波形如圖所示，畫出 f (-0.5t-2)的波形。f (-0.5(t+4)例 x(-2t+1) 的波形如圖所示，畫出 x(t)的波形。x(-2t+1)=x-2(t-1/2)順序：平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換作業(yè)：2-1 （2） （4） （6）2-42-52.2.2 信號的分解與合成 1.信號分解成矩形脈沖2.2.2 信號的分解與合成 1.信號分解成矩形脈沖 時域里任一函數(shù)可近似地分解為一系列矩形脈沖之和，而當(dāng)矩形脈沖寬度趨于無限小時，上述矩形脈沖變成了沖激，任意連續(xù)

10、信號可表示為無限多個不同加權(quán)的沖激信號之和。 任意連續(xù)信號可以表示為無限多個不同加權(quán)的沖激信號之和。2.2.2 信號的分解與合成 2.信號分解為正交函數(shù)分量 （1）正交函數(shù)（信號正交）（2）正交函數(shù)集 若n個函數(shù)g 1( t )， g 2( t )， g n(t)構(gòu)成一個函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足 則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的正交函數(shù)集。 2.2.2 信號的分解與合成 2.信號分解為正交函數(shù)分量 （3）完備正交函數(shù)集2.2.2 信號的分解與合成 （3）完備正交函數(shù)集2.2.2 信號的分解與合成 （3）完備正交函數(shù)集2.2.2 信號的分解與合成 （4）函數(shù)的正交分解帕塞

11、瓦爾定理 2.2.2 信號的分解與合成 3.信號合成 兩信號 的 指同一時刻兩信號之值對應(yīng)相加、減、乘。信號處理的任務(wù)之一是產(chǎn)生合成信號，它是由對多個基本信號的各種運算完成的。2、積分信號經(jīng)微分后突出了變化部分信號經(jīng)積分后平滑了變化部分1、微分2.2.3 連續(xù)信號的微分與積分運算2.2.3 連續(xù)信號的微分與積分運算利用對信號微分的突出變化作用，可以檢測異常狀況發(fā)生的時間和特征。 利用對信號積分的平滑作用可以削弱信號中混入的毛刺（噪聲）的影響。 2.3.1卷積運算的定義 對于任意兩個信號x1(t)和x2(t),兩者的卷積運算定義為2.3 信號的卷積運算及卷積性質(zhì)2.3.2 卷積的圖解方法公式步驟

12、（1）變量代換，由t 改為，（2）反轉(zhuǎn)（3）移位 。 在坐標(biāo)系中，t0圖形右移；t0圖形左移；（4）兩信號重疊部分相乘 ；（5）完成相乘后圖形的積分，即求上述乘積曲線下 的面積。卷積的圖解說明例 已知 求 。 解卷積的圖解說明例 已知 求 。 解(1) t 0，卷積的圖解說明例 已知 求 。 解(1) t 0，(2) 0t 1，卷積的圖解說明例 已知 求 。 解(1) t 0，(2) 0t 1，(3) 1t 2，卷積的圖解說明例 已知 求 。 解(1) t 0，(2) 0t 1，(3) 1t 2，(4) 2t 3，卷積的圖解說明例 已知 求 。 解(1) t 0，(2) 0t 1，(3) 1t

13、 2，(4) 2t 3，于是卷積的圖解說明例 已知系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng),輸入信號如右圖所示，求系統(tǒng)響應(yīng) 。解 輸入信號為用下式計算響應(yīng) (1) t -1 區(qū)間 卷積的圖解說明例 已知系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng),輸入信號如右圖所示，求系統(tǒng)響應(yīng) 。解 輸入信號為用下式計算響應(yīng) (2) -1t 0 區(qū)間 (1) t -1 區(qū)間 卷積的圖解說明例 已知系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng),輸入信號如右圖所示，求系統(tǒng)響應(yīng) 。解 輸入信號為用下式計算響應(yīng) (2) -1t 0 區(qū)間 (3) 0t 1 區(qū)間 (1) t -1 區(qū)間 卷積的圖解說明例 已知系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng),輸入信號如右圖所示，求系統(tǒng)響應(yīng) 。解 輸入信號為用下式計算響應(yīng)

14、(2) -1t 0 區(qū)間 (3) 0t 1 區(qū)間 (1) t -1 區(qū)間 卷積的圖解說明例 已知系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng),輸入信號如右圖所示，求系統(tǒng)響應(yīng) 。解 輸入信號為用下式計算響應(yīng) (2) -1t 0 區(qū)間 (3) 0t 1 區(qū)間 (1) t -1 區(qū)間 故響應(yīng)為 2.3.3 卷積的性質(zhì)交換律（代數(shù)性質(zhì)）分配律（代數(shù)性質(zhì)）結(jié)合律（代數(shù)性質(zhì)）與奇異信號的卷積時移性質(zhì)卷積的微分卷積的積分卷積的微積分1）交換律注：兩個函數(shù)卷積，其順序可以交換。有時可使卷積簡便。 在系統(tǒng)分析中，卷積的交換律意味著一個單位沖激響應(yīng)為h(t) 的LTI系統(tǒng)對輸入x(t)的響應(yīng)與一個單位沖激響應(yīng)為x(t)的LTI 系統(tǒng)對輸入

15、h(t)的響應(yīng)是一樣的。2）分配律分配律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，等于組成并聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。x(t)h1(t)h2(t)3）結(jié)合律結(jié)合律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于串聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，等于組成串聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。改變兩個系統(tǒng)的級聯(lián)順序，系統(tǒng)總的響應(yīng)保持不變。 h1(t) h2(t)x(t)4）與奇異信號卷積與沖激函數(shù)的卷積=推廣到一般情況k表示求導(dǎo)或取重積分的次數(shù)，k取正整數(shù)表示導(dǎo)數(shù)階次，k取負(fù)整數(shù)時為重積分的次數(shù)。與階躍函數(shù)的卷積與沖激偶函數(shù)的卷積例 求 解 根據(jù)移位性質(zhì)和微積分性質(zhì)，有 例 已知系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng),輸入信號如右圖所示，求系統(tǒng)響應(yīng)y(t) 。解 輸入信號為根據(jù)卷積的微積分性質(zhì)，得系統(tǒng)響應(yīng)5）時移性質(zhì)h(t)x(t)y(t)h(t)