自動(dòng)控制理論：5第五章 頻率特性法-4

1、2022/7/13第四節(jié) 乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和相對(duì)穩(wěn)定性 時(shí)域中閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：特征根都具有負(fù)的實(shí)部，即位于s平面的左半部。也可用代數(shù)判據(jù)Routh（勞斯）和赫爾維茨判據(jù)判斷。 本節(jié)介紹工程實(shí)用的圖解法判據(jù)Nyquist（乃奎斯特）判據(jù)和基于 Bode(伯德)圖的穩(wěn)定性分析。 2022/7/13第四節(jié) 乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和相對(duì)穩(wěn)定性 一、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的基本原理 Nyquist判據(jù)是利用系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的圖解法. 可用于判斷閉環(huán)系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性，也能計(jì)算系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定指標(biāo)。2022/7/13第四節(jié) 乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和相對(duì)穩(wěn)定性 （）映射原理 Nyquis

2、t判據(jù)依據(jù)復(fù)變函數(shù)中的映射原理。設(shè)有復(fù)變函數(shù) S平面上的點(diǎn)，將按上式映射到F(S)平面上的相應(yīng)點(diǎn)；S平面上的零點(diǎn)將映射到F(S)平面上的原點(diǎn)，S平面上的極點(diǎn)將映射到F(S)平面上的無限遠(yuǎn)點(diǎn)，S平面上的其它普通點(diǎn)將映射到F(S)平面上除原點(diǎn)外的有限值點(diǎn)。2022/7/13例如： 當(dāng)取 時(shí)， 為 即s平面上的點(diǎn)（ 1j2）映射到F（s）平面上的（1.115-j0.577）點(diǎn)，因此，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)sl在s平面上順時(shí)針方向繞封閉曲線C一周時(shí)，則在F(s)平面上也將映射出一條閉合曲線 。如圖5-34所示。2022/7/13圖5-34 s平面與F(s)平面的映射2022/7/13更為具體的例子見圖5-35。圖5-

3、35 上半s平面內(nèi)的直線和在平面上的變換 2022/7/13映射原理： 設(shè)C為s平面上不經(jīng)過F(s)的任何極點(diǎn)的封閉曲線，C中包含了F(s)的p個(gè)極點(diǎn)和z個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)動(dòng)點(diǎn)s順時(shí)針在C上圍繞一周時(shí)，映射到F(s)平面上的閉曲線將逆時(shí)針圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)N 次，且有： N=p-z 2022/7/13映射原理：設(shè)C為s平面上不經(jīng)過F(s)的任何極點(diǎn)的封閉曲線，C中包含了F(s)的p個(gè)極點(diǎn)和z個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)動(dòng)點(diǎn)s順時(shí)針在C上圍繞一周時(shí),映射到F(s)平面上的閉曲線將逆時(shí)針圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)N 次，且有 N=p-z 例如，對(duì)于當(dāng)s平面上的封閉曲線包圍兩個(gè) 的極點(diǎn)時(shí)， 平面上的軌跡將逆時(shí)針方向包圍 平面上原點(diǎn)兩次 。見

4、圖5-36。其零點(diǎn)為: 極點(diǎn)為：2022/7/130圖5-36 s平面與F(s)平面的映射定理示例12022/7/13當(dāng)s平面上的封閉曲線包圍兩個(gè) 的極點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)， 平面上的軌跡將逆時(shí)針方向包圍 平面上原點(diǎn)0次 ，即不包圍原點(diǎn)。見圖5-37。D1ABFEDCA1B1F1E1C1圖5-37 s平面與F(s)平面的映射定理示例22022/7/13如果s平面上的曲線只包圍一個(gè)零點(diǎn)，相應(yīng)的 的軌跡將逆時(shí)針包圍原點(diǎn)1次，即順時(shí)針包圍原點(diǎn)一次；如果s平面上的封閉曲線既不包圍的 零點(diǎn)又不包圍 的極點(diǎn)， 平面上的軌跡將永遠(yuǎn)不會(huì)包圍其原點(diǎn)。見圖5-38。圖5-38 s平面與F(s)平面的映射定理示例3202

5、2/7/13（二）特征函數(shù)F（s）與G(S)H（S）的關(guān)系設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)G(S)H(S)=B(S)A(S)， 則閉環(huán)傳遞函數(shù)為令F(s)為系統(tǒng)的閉環(huán)特征式，則有顯然，F(xiàn)(s)的極點(diǎn)就是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；而F(s)的零點(diǎn)就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。2022/7/13根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程： F(S)=1G(S)H(S)=0 則有： G(S)H(S) = F(S)-1 這意味著G(S)H(S)與F(S)相差實(shí)數(shù)1。在映射原理中，閉曲線圍繞F(S)平面原點(diǎn)的次數(shù)等于閉曲線圍繞G(S)H(S)平面上的(1，j0)點(diǎn)的次數(shù)。 如圖5-39所示。 即可利用前述已繪制的系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線(Nyquist曲線)

6、判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2022/7/13圖5-39 G(S)H(S)平面與F(S)=1G(S)H(S)平面2022/7/13（三） Nyquist回線 1932年Nyquist將映射原理用于自動(dòng)控制理論的研究，成功地解決了經(jīng)典控制理論中系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析問題。Nyquist為了分析線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，令s平面上的封閉曲線包圍整個(gè)右半s平面。這時(shí)的封閉曲線由整個(gè) 軸C1(從 到 )和右半s平面上半徑為無窮大的半圓軌跡C2構(gòu)成（軌跡的方向?yàn)轫槙r(shí)針方向），該封閉曲線為奈奎斯特回線，見圖5-40。圖5-40 奈奎斯特回線C2C12022/7/132022/7/13因?yàn)槟慰固鼗鼐€包圍了整個(gè)右半s平面，

7、所以它包圍了1+G(s)H(s) 的所有正實(shí)部的極點(diǎn)和零點(diǎn)。如果 1+G(s)H(s) 在右半s平面不存在零點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)在右半s平面不存在閉環(huán)極點(diǎn)。，據(jù)此，可利用映射原理判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。2022/7/13二、 Nyquist穩(wěn)定性判據(jù) （一） Nyquist判據(jù) 當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在s平面的原點(diǎn)及虛軸上沒有極點(diǎn)時(shí)(例如0型系統(tǒng))，得Nyquist穩(wěn)定判據(jù)： 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)從-+時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(j)H(j) 按逆時(shí)針方向包圍(-1，j0)點(diǎn)P周，P為位于s平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目。即 NP2022/7/13【例5-7】 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：繪制頻率特

8、性曲線，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：的頻率特性曲線如圖5-41所示。在右半s平面內(nèi)沒有任何極點(diǎn)，即P0的軌跡不包圍所以該系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。圖5-41 例5-7的極坐標(biāo)圖2022/7/13（二） 虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)時(shí)的乃氏判據(jù) 當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在s平面的虛軸上有極點(diǎn)時(shí)(含有積分環(huán)節(jié)，例如I型系統(tǒng)以上系統(tǒng))，則不能使用乃氏判據(jù)。因?yàn)橛成涠ɡ硪髎平面上的封閉曲線不經(jīng)過F（s）的奇點(diǎn)。 為了在這種情況下應(yīng)用乃氏穩(wěn)定判據(jù)，需對(duì)乃氏回線進(jìn)行修改。2022/7/13（二） 虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)時(shí)的乃氏判據(jù) 為了在這種情況下應(yīng)用乃氏穩(wěn)定判據(jù)，需對(duì)乃氏回線進(jìn)行修改，為此： 以虛軸上的開環(huán)極點(diǎn)為圓心，

9、無限小的正數(shù) 為半徑作右半圓，形成完整的Nyquist回線。如圖5-42所示。圖5-42 修改后的乃氏回線及其映射2022/7/13此半徑為的半圓在s平面可表示為：映射到 平面為：為開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)2022/7/13上式說明當(dāng)s沿著小半圓從 運(yùn)動(dòng)到 時(shí)， 角從90度變化到90度，而 平面上的映射曲線將沿半徑為無窮大的圓弧按順時(shí)針方向從 變化到 。見圖5-42。 由此時(shí)的 平面上完整的映射曲線，即可依據(jù)乃氏判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。難點(diǎn)2022/7/13【例5-8】 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：繪制頻率特性曲線，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)含有一個(gè)積分環(huán)節(jié)，即 ，其乃氏回線

10、應(yīng)排除s平面的原點(diǎn)，頻率特性由從90度到90度，半徑為無窮大的半圓弧段補(bǔ)全。如圖5-43所示。 顯然，補(bǔ)全后的nyquist曲線不包圍（1，j0）點(diǎn)，又，該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面右半部沒有極點(diǎn)所以該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。2022/7/13圖5-43 例5-8的乃氏回線及其Nyquist圖2022/7/13【例5-9】 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：繪制頻率特性曲線，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)含有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)，即 ，其乃氏回線應(yīng)排除s平面的原點(diǎn)，頻率特性由從180度到180度，半徑為無窮大的圓弧段補(bǔ)全。如圖5-44所示。 顯然，補(bǔ)全后的nyquist曲線包圍(-1，j0)點(diǎn)兩次，又該系

11、統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面右半部沒有極點(diǎn)，所以該閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。（閉環(huán)系統(tǒng)在s平面右半部有2個(gè)極點(diǎn)。）2022/7/13圖5-44 例5-9的乃氏回線及其Nyquist圖2022/7/13【例5-10】設(shè)系統(tǒng)具有開環(huán)傳遞函數(shù)：試確定以下兩種情況下系統(tǒng)的穩(wěn)定性：增益K較小增益K較大。解：分別繪出兩種情況下的nyquist圖如下，易判斷其穩(wěn)定性。小K值時(shí)是穩(wěn)定的 大K值時(shí)是不穩(wěn)定的 圖5-44 例5-10的Nyquist圖2022/7/13【例5-11】 設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為：該系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性取決于和解：1、當(dāng) 時(shí)， 的軌跡不包圍2、當(dāng) 時(shí)， 的軌跡通過點(diǎn) 這表明極點(diǎn)位于虛軸上，因此系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。

12、3、當(dāng) 時(shí)， 的軌跡順時(shí)針方向包圍點(diǎn) 兩次，因此系統(tǒng)有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)位于右半s平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 系統(tǒng)是穩(wěn)定的見圖5-45。的相對(duì)大小。試畫出該系統(tǒng)的奈奎斯特圖，并確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2022/7/13圖5-45 例5-11的Nyquist圖2022/7/13【例5-12】 設(shè)一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)具有下列開環(huán)傳遞函數(shù)：試確定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：因此得開環(huán)系統(tǒng)的nyquist圖如圖5-46所示。2022/7/13設(shè)有正實(shí)部極點(diǎn)個(gè)數(shù)為x，則有：2022/7/13圖5-46 例5-12的Nyquist圖圖5-46中的奈奎斯特圖表明，軌跡順時(shí)針方向包圍點(diǎn)一次，即又， 在右半s平面內(nèi)有一個(gè)極點(diǎn)(p1),所以有，這表明閉環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn)在右半s平面，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2022/7/13【例5-13】 設(shè)一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)