自動控制理論：7第七章 非線性系統(tǒng)的分析-1

1、2022/7/13第七章 非線性系統(tǒng)的分析前述系統(tǒng)都是線性系統(tǒng)，即滿足疊加性和齊次性。 嚴(yán)格地說，由于控制元件或多或少地帶有非線性特性，所以實際的自動控制系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)。一些系統(tǒng)作為線性系統(tǒng)來分析，這是由于：系統(tǒng)的非線性不明顯，可近似為線性系統(tǒng)。某些系統(tǒng)的非線性特性雖然較明顯，但在某些條件下，可進(jìn)行線性化處理，作為線性系統(tǒng)來分析。這類系統(tǒng)統(tǒng)稱為非本質(zhì)非線性系統(tǒng)。 但當(dāng)系統(tǒng)的非線性特征明顯且不能進(jìn)行線性化處理時，就必須采用非線性系統(tǒng)理論來分析。這類非線性稱為本質(zhì)非線性。本章主要介紹分析非線性系統(tǒng)的兩種常用方法：相平面法和描述函數(shù)法。 2022/7/13本章內(nèi)容第一節(jié) 非線性系統(tǒng)的基本概念第二

2、節(jié) 二階線性和非線性系統(tǒng)的相平面分析第三節(jié) 非線性系統(tǒng)的相平面分析第四節(jié) 非線性特性的一種線性近似表示-描述函數(shù)第五節(jié) 典型非線性特性的描述函數(shù)2022/7/13第一節(jié) 非線性系統(tǒng)的基本概念 如果一個控制系統(tǒng)包含一個或一個以上具有非線性特性的元件或環(huán)節(jié),則此系統(tǒng)即為非線性系統(tǒng)。 如系統(tǒng)不能進(jìn)行線性化處理，或其時域響應(yīng)不能用線性微分方程（一般只能用非線性微分方程來描述,具有非線性數(shù)學(xué)模型）來描述,則稱為非線性系統(tǒng)，或稱為本質(zhì)非線性系統(tǒng)。一、非線性系統(tǒng)的特點：1、穩(wěn)定性方面 線性系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入信號及初始條件無關(guān)。但非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，還與輸

3、入信號及初始條件有關(guān)。即可能在某個初始條件下穩(wěn)定，而在另一個初始條件下系統(tǒng)可能不穩(wěn)定。2022/7/13如某系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為非線性方程為：（1）當(dāng)初始條件xo1時,1xo0,其暫態(tài)過程按指數(shù)規(guī)律衰減,該系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）當(dāng)xo=1時,1-xo=0,其暫態(tài)過程為一常量。 （3）當(dāng)xo1時,1-xo0, 系統(tǒng)暫態(tài)過程指數(shù)規(guī)律發(fā)散,系統(tǒng)不穩(wěn)定。 暫態(tài)過程如圖7-1所示圖7-1 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性其解為：2022/7/132、響應(yīng)過程 線性系統(tǒng)響應(yīng)過程與輸入信號的大小及初始條件無關(guān)。如果某系統(tǒng)在某初始條件下的響應(yīng)過程為衰減振蕩，則其在任何輸入信號及初始條件下該系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)均為衰減振蕩形式。 但非線性系統(tǒng)

4、可能會出現(xiàn)某一初始條件下的響應(yīng)過程為單調(diào)衰減，而在另一初始條件下則為衰減振蕩，如圖7-2所示。 圖7-2 非線性系統(tǒng)在不同初始條件下的響應(yīng)2022/7/133、自激振蕩 線性二階系統(tǒng)只在阻尼比=0時給予階躍作用，將產(chǎn)生周期性響應(yīng)過程,這時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 實際上,一旦該系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生微小變化,該周期性狀態(tài)就無法維持,要么發(fā)散至無窮大,要么衰減至零。 而非線性系統(tǒng)在沒有外作用時,有可能產(chǎn)生頻率和振幅一定的穩(wěn)定周期性響應(yīng)。該周期響應(yīng)過程物理上可實現(xiàn)并可保持,通常將其稱為自激振蕩或自振蕩,如圖7-3所示。 圖7-3 非線性系統(tǒng)的自振蕩2022/7/134、頻率響應(yīng)畸變 正弦信號作用下，線性系統(tǒng)的

5、輸出是與輸入信號同頻率的正弦信號。 而非線性系統(tǒng)在正弦信號作用下的響應(yīng)則很復(fù)雜，一般不是正弦信號，但仍是周期信號；有時輸出信號頻率為輸入頻率的倍頻、分頻等現(xiàn)象。 非線性系統(tǒng)響應(yīng)還有其他與線性系統(tǒng)不同的現(xiàn)象,無法用線性系統(tǒng)的理論來解釋。在一些情況下,引入某些非線性環(huán)節(jié),使系統(tǒng)獲得比線性系統(tǒng)更為優(yōu)異的性能。實際上大多數(shù)智能控制都屬于非線性控制范疇。 5、系統(tǒng)共振線性系統(tǒng)中，如果外加信號的頻率與系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率相等，則發(fā)生共振現(xiàn)象，振幅理論上可達(dá)無窮大非線性系統(tǒng)中，其周期解的頻率隨幅值的變化而變化，即使外加信號的頻率與系統(tǒng)周期響應(yīng)不斷變化的自振頻率相等，也只發(fā)生在短暫時刻，所以非線性系統(tǒng)不會發(fā)生

6、線性系統(tǒng)那樣的共振現(xiàn)象2022/7/132022/7/13二、 典型非線性環(huán)節(jié) 為了分析的方便，通常把常見的非線性特性概括為幾個典型非線性特性，研究這些典型環(huán)節(jié)的特性及其對控制系統(tǒng)運動特性的影響，是分析復(fù)雜非線性系統(tǒng)的基礎(chǔ)。 常見的典型非線性特性有： 死區(qū)、飽和、間隙、繼電器特性。2022/7/13二、 典型非線性環(huán)節(jié)1、死區(qū)（不靈敏區(qū)）特性 測量機構(gòu)和元件都不同程度地存在死區(qū)，即輸入信號未超過某一特征數(shù)值時，輸出信號為零。只有當(dāng)輸入信號的幅值超過該特征數(shù)值時，輸出信號隨輸入信號線性變化。 死區(qū)的典型特性如圖7-4所示，其非線性特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下： 式中 為符號函數(shù) 2022/7/13死區(qū)特

7、性的影響： （1）造成控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差:這是由于當(dāng)死區(qū)環(huán)節(jié)輸入信號幅值未超過死區(qū)特征值時，其輸出信號為零，系統(tǒng)前向通道處于斷開狀態(tài)，不能產(chǎn)生調(diào)節(jié)作用。（2)有時人為地引入死區(qū)特性，用于消除高頻小幅度振蕩，減少系統(tǒng)中器件的磨損。 圖7-4 死區(qū)非線性特性2022/7/13 2、飽和特性 飽和也是常見的一種非線性特性,環(huán)節(jié)輸入信號在某個特征數(shù)值以內(nèi)時,輸出信號隨輸入線性變化,超過該特征數(shù)值后,輸出不再發(fā)生變化。幾乎所有的放大器都存在飽和現(xiàn)象。典型的飽和非線性特性如圖7-5所示,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為輸入信號|x1|a時,該環(huán)節(jié)是放大倍數(shù)為k的比例環(huán)節(jié),當(dāng)|x1|a時出現(xiàn)飽和。圖7-5 飽和非線性特性20

8、22/7/13飽和特性的影響 ：大信號作用下的等效增益降低；（見下頁圖） 深度飽和時，可能使系統(tǒng)失去閉環(huán)控制作用；出于對系統(tǒng)安全性的考慮,常常加入各種限幅裝置,其特性也屬飽和特性。2022/7/13圖7-5（1） 飽和特性圖7-5（2） 飽和特性的等效增益2022/7/133、間隙特性（又稱回環(huán)） 在各種傳動機構(gòu)之中，由于加工精度及運動部件的動作需要，總會存在一些間隙。如圖7-6所示的齒輪傳動系統(tǒng)，為了保證轉(zhuǎn)動靈活不至于卡死，必須有少量的間隙。由于間隙的存在，當(dāng)主動輪的轉(zhuǎn)向改變時，從動輪開始仍保持原有的位置，直到主動輪轉(zhuǎn)過了2b間隙，在相反方向與從動輪相嚙合后，從動輪才開始轉(zhuǎn)動。 圖7-6 齒

9、輪傳動中的間隙2022/7/13典型間隙非線性的輸入輸出特性如圖7-7所示。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為： b間隙寬度；一般來說，間隙的存在對系統(tǒng)總是不利的： (1)首先它使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差擴大：（2) 使系統(tǒng)的動態(tài)性能變差（相位滯后增大），使振蕩加劇，穩(wěn)定性變差。圖7-7 間隙特性c2022/7/134、繼電器特性 繼電器的輸入輸出特性如圖7-8所示。 由于繼電器的動作電流大于返回電流，故繼電器特性中不僅含有死區(qū)特性，而且還含有間隙和飽和特性。繼電器的返回電流與動作電之比稱為返回系數(shù)。若返回系數(shù) m=1，則無滯環(huán)，其特性稱為具有死區(qū)的單值繼電器特性，如圖7-9(a)所示。若返回系數(shù)m=-1，即繼電器的正向返

10、回電流等于反向動作電流時，其特性稱為具有滯環(huán)的繼電器特性，如圖7-9(b)所示。圖7-8 繼電器特性xya-a-mama2022/7/13xya-a-mamaM2022/7/13若a=0，即繼電器的動作電流及返回電流均為零值切換，則稱這種特性為理想繼電器特性，如圖7-9(C)所示。 圖7-9 幾種常見的繼電器特性有死區(qū)的繼電器特性有回環(huán)的繼電器特性理想繼電器特性2022/7/13第二節(jié) 二階線性和非線性系統(tǒng)的相平面分析一、相平面法的相關(guān)概念設(shè)非線性二階系統(tǒng)可用微分方程描述：令 則可將上述方程變一階微分方程組： 或：將上式中第2式除以第1式，得稱為相軌跡方程。 稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，不直接用時間變

11、量而用狀態(tài)變量表示系統(tǒng)動態(tài)過程的方法稱為狀態(tài)空間法，也稱為相空間法。 2022/7/13以 為橫坐標(biāo)、 為縱坐標(biāo)的平面稱為相平面，相應(yīng)的相空間法稱為相平面法。二階系統(tǒng)有兩個狀態(tài)變量，系統(tǒng)每個狀態(tài)對應(yīng)相平面上的一個點，稱為相點。時間變化時，系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生變化，相點位置也隨之移動，移動的軌跡稱為相軌跡或相平面圖。若對于系統(tǒng)某時刻的狀態(tài)（x1、x2）,有 此時兩個狀態(tài)變量對時間的變化率都為零，系統(tǒng)的狀態(tài)不再發(fā)生變化，即系統(tǒng)到達(dá)了平衡狀態(tài)，相應(yīng)的狀態(tài)點稱為平衡點。平衡點處有相軌跡上斜率不確定的點在數(shù)學(xué)上也稱為奇點，故平衡點即為奇點。 2022/7/13 奇點處，由于相軌跡的斜率dx2dx1為不定值，可理

12、解為有多條相軌跡在此交匯，即相軌跡可以在奇點相交。在非奇點處，由于相軌跡的斜率為確定的值，故相軌跡不會相交。二、二階線性系統(tǒng)的相軌跡 設(shè)二階線性系統(tǒng)的微分方程為 取相坐標(biāo) ，上式化為：或設(shè)n為正，根據(jù)阻尼系數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論1、無阻尼運動（=0） 此時系統(tǒng)特征根為一對共軛虛根,相軌跡方程變?yōu)?2022/7/13對上式分離變量并積分，得 式中，A為由初始條件決定的積分常數(shù)。初始條件不同時,上式表示的系統(tǒng)相軌跡是一族同心橢圓（見圖7-10）。每一個橢圓對應(yīng)一個等幅振動。在原點處有一個平衡點(奇點)，該奇點附近的相軌跡是一族封閉橢圓曲線，這類奇點稱為中心點。 圖7-10 無阻尼二階線性系統(tǒng)的相

13、軌跡2022/7/132、欠阻尼運動（01） 系統(tǒng)特征方程的根為一對具有負(fù)實部的共軛復(fù)根,已知系統(tǒng)的零輸入解為式中,A、為由初始條件確定的常數(shù)。時域響應(yīng)過程是衰減振蕩的，見圖7-11。 圖7-11 欠阻尼二階線性系統(tǒng)的響應(yīng)和相軌跡可求出系統(tǒng)有一個位于相平面原點的平衡點（奇點），不同初始條件出發(fā)的相軌跡呈對數(shù)螺旋線收斂于該平衡點，見圖7-41。這樣的奇點稱為穩(wěn)定焦點。2022/7/133、過阻尼運動（1）系統(tǒng)特征根為兩負(fù)實根,已知系統(tǒng)零輸入解的表達(dá)式為 式中,A1,A2初始條件決定的常數(shù)；1,2特征根不同初始條件下系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖7-12所示。相軌跡是一族匯聚到原點的拋物線,單調(diào)地趨于平衡點(

14、奇點)坐標(biāo)原點,如圖7-43所示。這種奇點稱為穩(wěn)定節(jié)點。圖7-12 過阻尼二階線性系統(tǒng)的響應(yīng)和相軌跡2022/7/134、負(fù)阻尼運動(0)（系統(tǒng)不穩(wěn)定，根據(jù)極點位置分三種情況分別討論）(l)-10時,特征根為S右半平面的共軛復(fù)根,響應(yīng)為振蕩發(fā)散,相軌跡是一族從原點向外卷的對數(shù)螺旋線,如圖7-13所示。奇點為坐標(biāo)原點,稱為不穩(wěn)定焦點。(2) -1時,特征根是兩個正實根,響應(yīng)為單調(diào)發(fā)散,相軌跡是一族從原點出發(fā)向外單調(diào)發(fā)散的拋物線,如圖7-13所示。奇點為坐標(biāo)原點,稱為不穩(wěn)定節(jié)點。 圖7-13 -10, -1時的相軌跡2022/7/13(3)對圖7-14所示的正反饋二階系統(tǒng),其特征方程式為 特征根為

15、一對符號相反的實根,響應(yīng)依然單調(diào)發(fā)散的，相軌跡是一族雙曲線， 如圖7-15所示。這時的奇點也是坐標(biāo)原點，稱為鞍點。 以上分析表明，二階線性系統(tǒng)特征根在復(fù)平面上位置不同時，時域響應(yīng)的形式不同。相軌跡的形狀也完全不同。可見相軌跡的形狀與系統(tǒng)閉環(huán)極點的位置密切相關(guān)，與奇點類型也密切相關(guān)（見圖7-16）。圖7-14 方框圖圖7-15 相軌跡2022/7/13圖7-16 閉環(huán)極點位置、奇點類型與相軌跡的關(guān)系2022/7/13三、相軌跡的繪制相軌跡可以通過解析法作出，也可用作圖法繪制。 1、解析法 當(dāng)系統(tǒng)相軌跡方程比較簡單或易于分段線性化時，可使用解析法求出相軌跡方程的解，再繪制相軌跡?！纠?-1】含有理

16、想繼電器特性的非線性系統(tǒng)如圖7-17所示，試?yán)L制其相軌跡。 解:系統(tǒng)線性部分輸入/輸出關(guān)系為 非線性部分輸入/輸出關(guān)系為圖7-17 例7-1系統(tǒng)方框圖2022/7/13因為 故該系統(tǒng)的相軌跡方程式為對所得相軌跡方程進(jìn)行分離變量并積分，得 式中A1，A2為積分常數(shù)，由初始條件求得。由此，可在相平面上作出系統(tǒng)的相軌跡如圖7-18所示。直線c=r將相平面分為兩個區(qū)域，即I區(qū)及II區(qū)，它們分別對應(yīng)于以上兩個方程式，每個區(qū)域內(nèi)的相軌跡都是一族拋物線。2022/7/13 若系統(tǒng)的初始條件處于A點，A點位于II區(qū)內(nèi)，應(yīng)按照II區(qū)對應(yīng)的軌跡運動，則隨時間推移相點將逐步移動到B點，越過B點相點進(jìn)入I區(qū)，將按照I

17、區(qū)軌跡運動，則相點逐步移動到C點，在C點發(fā)生切換又沿II區(qū)的相軌跡經(jīng)A點趨向B點，周而復(fù)始。這兩條拋物線構(gòu)成一個封閉曲線，故本例的時間響應(yīng)呈周期運動狀態(tài)。 圖7-18 例7-1系統(tǒng)相軌跡圖2022/7/132、等傾線法 當(dāng)系統(tǒng)相軌跡方程不易用解析法求解時，可使用等傾線法繪制系統(tǒng)的相軌跡。 對非線性系統(tǒng)： 將上式表示為：其中， 是相軌跡的斜率，令 ， 為一常數(shù)，則有 稱為 等頃線方程各相軌跡與該曲線交點的斜率相等，且等于 。繪制思路：對于給定斜率 ，求解等頃線方程，得到一條等頃曲線。給定不同的值，可在相平面上繪制不同的等傾曲線。由給定的初始條件出發(fā)，沿各條等傾曲線所決定相軌跡的切線方向，依次畫出

18、系統(tǒng)相軌跡。 2022/7/13【例7-2】 線性二階系統(tǒng)的運動方程為 試用等傾線法繪制系統(tǒng)的相軌跡。解：系統(tǒng)的微分方程可以化 或令 得等傾 線方程取不同的 值，分別繪制等傾線，相軌跡與等傾線的交點處的斜率應(yīng)為 ，見圖7-19。2022/7/13 圖7-19中作出了取不同值時的等傾線及等傾線上表示斜率值的小線段。若給定的初始條件為A點，從A點出發(fā)順時針將各小線段光滑地聯(lián)接起來,就得到了從A點出發(fā)的一條相軌跡。 繪制非線性系統(tǒng)相軌跡的圖解方法還有法等。 圖7-19 例7-2系統(tǒng)相軌跡圖2022/7/13四、由相平面圖求時間解 相軌跡是系統(tǒng)的時間響應(yīng)c(t) ， 在相平面上的映象，它雖然可以反映系統(tǒng)時間響應(yīng)的主要特征，但不能直接表示時間信息，如需要求出系統(tǒng)的時間響應(yīng)，可以采用以下兩種方法。1、根據(jù)相軌跡的平均斜率求時間t 設(shè)系統(tǒng)的相軌跡