111集合及其表示方法

1、1.1.1集合及其表示方法（教師獨具內(nèi)容）課程標(biāo)準(zhǔn)：1.通過實例，了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系.2.針對具體問題， 能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號語言刻畫集合.3.在具體情境中，了解空集的含義.4.能正確使用區(qū)間表示一些數(shù)集.教學(xué)重點：1.集合概念的正確理解.2 .元素的三性(確定性、互異性、無序性).3.元素與集合 關(guān)系的判定.4 .集合常用的兩種表示方法(列舉法、描述法).5 .區(qū)間的概念.教學(xué)難點：1.對元素的確定性的理解.2 .描述法表示集合.【情境導(dǎo)學(xué)】(教師獨具內(nèi)容)一位漁民非常喜歡數(shù)學(xué)，但他怎么也想不明白集合的意義.于是他請教一位數(shù)學(xué)家：“先 生，您能告訴我，

2、集合是什么嗎？”由于集合是不定義的概念，數(shù)學(xué)家很難向那位漁民講清楚.直到有一天，數(shù)學(xué)家來到漁 民的船上，看到漁民撒下漁網(wǎng)，然后輕輕一拉，許多魚蝦在網(wǎng)中跳動.數(shù)學(xué)家非常激動，高 興地對漁民說：“這就是集合！ ”你能理解這位數(shù)學(xué)家的話嗎？【知識導(dǎo)學(xué)】知識點一集合與元素的定義集合：把一些能夠確定的、不同的對象匯集在一起，就說由這些對象組成一個集合；有 時簡稱為集).元素：組成集合的每個對象都是這個集合的元素.表示：通常用英文大寫字母A，B，C，表示集合，用英文小寫字母a，b，c，表 示集合中的元素.知識點二元素與集合的關(guān)系“屬于”：如果a是集合A的元素，就記作些，讀作“a屬于A”.“不屬于”：如果a

3、不是集合A的元素，就記作a A，讀作“a不屬于A”.知識點三空集一般地，我們把不含任何元素的集合稱為空集(empty set), 記作埋知識點四集合中元素的三個特性確定性；互異性；無序性.知識點五集合的分類有限集；(2)無限集.知識點六幾個常用數(shù)集的固定字母表示名稱非負整數(shù)集 (自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號園N或間N|04|Z圓Q圈R知識點七集合的表示方法集合常見的表示方法有：01自然語言、02列舉法、03描述法、04 “區(qū)間”(以及后面 將要學(xué)習(xí)的維恩圖法和數(shù)軸表示法等直觀表示方法).列舉法：把集合中的元素05 一一列舉出來(相鄰元素之間用逗號分隔),并寫在大括號 內(nèi)，以此來表

4、示集合的方法稱為列舉法.描述法：如果屬于集合A的任意一個元素X都具有性質(zhì)以x)，而不屬于集合A的元素 都不具有這個性質(zhì)，則性質(zhì)以X)稱為集合A的一個6特征性質(zhì).此時，集合A可以用它的特 征性質(zhì)以x)表示為x0(x).這種表示集合的方法，稱為特征性質(zhì)描述法，簡稱為描述法.知識點八區(qū)間定義名稱符號數(shù)軸表示x閉區(qū)間a，幻ab工J開區(qū)間(gb)kabx半開半 閉區(qū)間_a3b)工Akbx半開半閉區(qū)間 JTaa, xWb，xb的實數(shù)x的 集合分別表示為a,+8), (a,+8), (8, b, (8, b).J定義符號數(shù)軸表示x 80V + 00(8 ,6】.x jc-a額 + 8)(1X(a * + s

5、)A.ax( JT |( 一可以看出，區(qū)間實質(zhì)上是一類特殊數(shù)集(即由數(shù)軸某一段上所有點對應(yīng)的實數(shù)組成的集合) 的符號表示；例如，大于1且小于10的所有自然數(shù)組成的集合就不能用區(qū)間(1,10)表示.【新知拓展】元素和集合關(guān)系的判斷直接法：如果集合中的元素是直接給出的，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即 可.此時應(yīng)先明確集合是由哪些元素構(gòu)成的.推理法：對于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有 的特征即可.此時應(yīng)先明確已知集合的元素具有什么特征，即該集合中元素要滿足哪些條件.集合的三個特性描述性：“集合”是一個原始的不加定義的概念，它同平面幾何中的 “點”“線”“面”等概

6、念一樣都只是描述性的說明.整體性：集合是一個整體，暗含“所有”“全部”“全體”的含義，因此一些對象一 旦組成了集合，這個集合就是這些對象的總體.廣泛性：組成集合的對象可以是數(shù)、點、圖形、多項式、方程，也可以是人或物，甚 至一個集合也可以是某集合的一個元素.使用列舉法表示集合時需注意的幾點元素之間用“，”隔開；元素不重復(fù)，滿足元素的互異性；元素?zé)o順序，滿足元素的無序性；對于含較多元素的集合，如果構(gòu)成該集合的元素有明顯規(guī)律，可用列舉法，但是必須 把元素間的規(guī)律表述清楚后才能用省略號.判一判(正確的打“”，錯誤的打“ X”)某校高一年級16歲以下的學(xué)生能構(gòu)成集合.()已知A是一個確定的集合，a是任一

7、元素，要么aA,要么*A,二者必居其一且只 TOC o 1-5 h z 居其一.()對于數(shù)集 A = 1,2, x2,若 xEA，貝x=0.()對于區(qū)間2a, a+1，必有a0，即 *1x0，6U。，(2)一eN，xeN，.6X 7 6x辰0，.0Wx6，.x=0,123,4,5.當(dāng)x分別為0,3,4,5時，相應(yīng)的值分別為1,2,3,6，也是自然數(shù)，故填0,3,4,5.6X答案(1)B (2)0,3,4,5金版點睛正整數(shù)集N*常用數(shù)集之間的關(guān)系有理實數(shù)Y數(shù)集Y集R|Q自然數(shù)集負整數(shù)集I分?jǐn)?shù)集無理數(shù)集確定集合中元素的三個注意點判斷集合中元素的個數(shù)時，注意集合中的元素必須滿足互異性.(2 )集合中

8、的元素各不相同，也就是說集合中的元素一定要滿足互異性.(3)若集合中的元素含有參數(shù)，要抓住集合中元素的互異性，采用分類討論的方法進行研 究.跟蹤訓(xùn)練2 (1)用符號“e”或“”填空. 0 N*； 1 N； 1.5 Z；2展 Q；4+很 R；若x2+1 = 0，則xR.(2)設(shè)xeR，集合A中含有三個元素3，x，x22x.求實數(shù)x應(yīng)滿足的條件；若一2eA，求實數(shù)x的值.答案$仁$仁$ (2)見解析解析(1)M不是正整數(shù)，.0$N*.1是自然數(shù)，.1EN.1.5是小數(shù)，不是整數(shù),.1.5$Z.2后是無理數(shù)，.2m$Q.祟+舟是無理數(shù)，無理數(shù)是實數(shù)，.4+3er.滿足對+1=0的實數(shù)不存在，.X為非

9、實數(shù)，.舛R.(，一好3,(2)根據(jù)集合元素的互異性，可知x尹X2 2x,x2 2x尹 3,即x尹0，且x尹3且x尹一1.,形一2x=(x1)21N 1，且一2EA，.x=2.題型三 集合中元素的特性例3已知集合A有三個元素：a3,2a1，#+1，集合B也有三個元素：0,1，X.若一3eA，求 a 的值；若x2eB，求實數(shù)x的值.解(1)由一3A 且 a2+11，可知 a 3 = 3 或 2a 1 = 3，當(dāng) a3 = 3 時，a = 0； 當(dāng) 2a1 = 3 時，a= 1.經(jīng)檢驗，0與一1都符合要求.得a=0或一1.(2)當(dāng) x=0,1，1 時，都有 X2WB，但考慮到集合元素的互異性，x尹

10、0，x尹1，故x= 1.金版點睛利用集合元素互異性求參數(shù)問題根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出參數(shù)的所有可能值，再根據(jù)集合中元素的互異性 對集合中元素進行檢驗.(也是本講易錯問題)利用集合中元素的特性解題時，要注意分類討論思想的應(yīng)用.跟蹤訓(xùn)練3已知集合A包含三個元素：a 2,2a2 + 5a,12，且一3 A，求a的值.解 因為A包含三個元素a 2,2a2 + 5a, 12，且一3A，所以 a 2=3 或 2a2 + 5a=3,3 解得a= 1或a=2-當(dāng)a= 1時，A中三個元素為：一3,3,12，不符合集合中元素的互異性，舍去.,3 , 一一 一 73當(dāng)a=2時，A中二個元素為：一2，3,12

11、,滿足題意.故a=2-題型四集合的分類例4下列各組對象能否構(gòu)成集合？若能，請指出它們是有限集、無限集，還是空集.非負奇數(shù)；小于18的既是正奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)；在平面直角坐標(biāo)系中所有第三象限的點；在實數(shù)范圍內(nèi)方程(x2 1)(x2 + 2x+1) = 0的解集；x2x+ 1=0，在實數(shù)范圍內(nèi)方程組工的解構(gòu)成的集合.x+y=1解(1)能構(gòu)成集合，是無限集.小于18的質(zhì)數(shù)是2,3,5,7,11,13,17.只有2是偶數(shù)，其余的都是正奇數(shù)，所以能構(gòu)成集 合，是有限集.第三象限的點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都小于0,能構(gòu)成集合，是無限集.能構(gòu)成集合，注意集合中元素的互異性，集合中的元素是一1，1，是有限集.fx2x

12、+1=0，由x2x+1 = 0的判別式/ = 30，方程無實根，由此可知方程組0， 解(1)由1+2xN3x-5得 30, b0 時，以+#=2；當(dāng) a0, b0, b0 或 a0 時，亍+蚌=0.故所有值組成的集合為 2,0,2.題型六用描述法表示集合例6用描述法表示下列集合：坐標(biāo)平面內(nèi)，不在第一、三象限的點的集合；所有被3除余1的整數(shù)的集合；使 廣 1 r有意義的實數(shù)X的集合x2 十 x6解(1)因為不在第一、三象限的點分布在第二、四象限或坐標(biāo)軸上，所以坐標(biāo)平面內(nèi)， 不在第一、三象限的點的集合為(x，y)|xyW0，xR，yR.因為被3除余1的整數(shù)可表示為3n+1，nd 所以所有被3除余1

13、的整數(shù)的集合為 x|x=3n+1，nZ.要使y=x2+；一6有意義,則 x2+x 6尹0.由 x2+x6 = 0，得x1 = 2，x2=3.所以使y=x2+；6有意義的實數(shù)x的集合為x|x尹2且x尹一3，xR.金版點睛用描述法表示集合的注意點用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清集合的屬性，是數(shù)集、點集還是其他的類型.一般地， 數(shù)集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數(shù)對來表示.用描述法表示集合時，若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母，要對新字母說明其含義 或取值范圍.(3)多層描述時，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi).跟蹤訓(xùn)練6試用描述法表示下列集合：方程X2x2 = 0的解集

14、；大于一1且小于7的所有整數(shù)組成的集合.解(1)方程x2x2 = 0的解可以用x表示，它滿足的條件是x2x2 = 0, 因此，方程的解集用描述法表示為(xR|x2x 2 = 0).(2)大于一1且小于7的整數(shù)可以用x表示，它滿足的條件是xZ，且一1 x7,因此，該集合用描述法表示為xEZ| 1x7).題型七列舉法和描述法的綜合運用例7集合A = x|Ax2 8x+16 = 0)，若集合A只有一個元素，試求實數(shù)k的值，并用列 舉法表示集合A.解當(dāng)k=0時，原方程為168x=0,.x=2，此時A = 2，符合題意.當(dāng)k尹0時，由集合A中只有一個元素，方程kx2 8x+16 = 0有兩個相等實根.即

15、/ = 64 64k=0，即 k=1，從而 x1=x2 = 4,.集合A = 4.綜上所述，實數(shù)k的值為0或1.當(dāng)k=0時，A = 2)；當(dāng) k=1 時，A = 4.條件探究把本例條件“只有一個元素”改為“有兩個元素”，求實數(shù)k取值范圍的 集合.k尹 0,解 由題意可知方程kx2 8x+16 = 0有兩個不等的實根.，0,V1且k尹0.k的取值范圍的集合為k|kV1且k尹0).金版點睛分類討論思想在集合中的應(yīng)用(1)本題在求解過程中，常因忽略討論k是否為0而漏解.由kx2 8x+16 = 0是否為一元二次方程而分k=0和k尹0兩種情況，注意做到不重不漏.(2)解答與集合描述法有關(guān)的問題時，明確

16、集合中的代表元素及其共同特征是解題的切入點.跟蹤訓(xùn)練7 (1)設(shè)集合6=*N金EN；.試判斷元素1,2與集合B的關(guān)系；用列舉法表示集合B.(2)已知集合 A = xx2-ax+b = 0，若 A = 2,3,求 a, b 的值.解(1)當(dāng)x=1時，擊=2EN.當(dāng)x=2時，63“ ，zvz=2N.所以 1EB,2B.2 I 2 乙$EN, xEN,.2+x 只能取 2,3,6,2 I X.X 只能取 0,1,4.,必=0,1,4.2 + 3 = a,(2)由A = 2,3知，方程x2 ax+b = 0的兩根為2,3,由根與系數(shù)的關(guān)系，得12X3 = b,因此 a=5, b = 6.題型八集合中的

17、新定義問題例8已知集合A = 1,2,4,則集合B=(x, y)xEA, yA中元素的個數(shù)為()3B. 6 C. 8 D. 9解析根據(jù)已知條件，列表如下：7(工* )121(1,1)(1,2)(1,4)2(2,1)(2,2)(2.4)4(4,1)(4,2)(4,1)由上表可知，B中的元素有9個，故選D.答案D金版點睛本例借助表格語言，運用列舉法求解.表格語言是常用的數(shù)學(xué)語言，表達問題清晰，明了； 列舉法是分析問題的重要的數(shù)學(xué)方法，通過“列舉”直接解決問題或發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律，此方 法通常配合圖表（含樹形圖）使用.跟蹤訓(xùn)練8定義 A*B=zz=xy, xA, yB, A = 1,2, B=0,2，則

18、集合 A*B 中的所有元素之和為（）A. 0B. 2 C. 3 D. 6答案 D解析根據(jù)已知條件，列表如下：J702102204根據(jù)集合中元素的互異性，由上表可知A*B=0,2,4，故集合A*B中所有元素之和為0 + 2 + 4 = 6，故選 D.下列所給的對象不能組成集合的是（）A.我國古代的四大發(fā)明B-二兀一次方程x+y=1的解C.我班年齡較小的同學(xué)。.平面內(nèi)到定點距離等于定長的點答案C解析C項中“年齡較小的同學(xué)”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不符合確定性.故選C. 已知集合A含有三個元素2,4,6，且當(dāng)aA時，有6aA，貝a為()A. 2B. 2 或 4 C. 4 D. 0答案 B解析 集合A中含有三個

19、元素2,4,6,且當(dāng)aA時，有6aA.當(dāng)a=2解A時，6 a = 4EA,.a=2 符合題意；當(dāng) a=4EA 時，6 a=2EA,.a=4 符合題意；當(dāng) a=6A 時，6 a = 0A，綜上所述，a = 2或4.故選B. 由實數(shù)一a, a, |a|, 02所組成的集合最多含有的元素個數(shù)是()A. 1B. 2 C. 3 D. 4答案 B解析 對a進行分類討論：當(dāng)a=0時，四個數(shù)都為0，只含有一個元素；當(dāng)a尹0 時，含有兩個元素a，a，所以集合中最多含有2個元素.故選B.用適當(dāng)符號(, )填空.(1,3)儉，小=2好1；2(m|m = 2(一1), nZ.答案(1)e (2)e解析 (1)當(dāng) x=

20、1 時，=2X1 + 1=3，故(1,3)E(x，y)|y=2x+1.(2)當(dāng) n=2eZ 時，m = 2X(21) = 2，故 2仁m|m = 2(n1)，nZ.設(shè)aeR，關(guān)于x的方程(x-1)(x-a) = 0的解集為A,試分別用描述法和列舉法表示 集合A.解 A = x|(x1)(xa) = 0，當(dāng) a=1 時，A = 1；當(dāng) a尹 1 時，A = 1，a.A級：“四基”鞏固訓(xùn)練一、選擇題 已知集合S=a, b, c中的三個元素是刀8C的三邊長，那么 WaC一定不是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形答案D解析 因為集合S=a,b,c中的元素是ABC的三邊長，由集

21、合元素的互異性可知a, b, c互不相等，所以ABC一定不是等腰三角形.故選D. 下列集合的表示方法正確的是（）第二、四象限內(nèi)的點集可表示為儉，y）|xyW0, xR, yR不等式x-14的解集為xV5全體整數(shù)實數(shù)集可表示為R答案 D解析 A中應(yīng)是xy0； B中的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的規(guī)范格式，缺 少了豎線和豎線前面的代表元素x，應(yīng)為x|x0，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. a尹2B. a2 C. aN2 D. a=2答案 C解析 因為2xxa0，所以2不滿足不等式xa0，即滿足不等式xaW0，所以2 aW0，即 aN2，故選 C.二、填空題 若A = 2,2,3,4, B=xx

22、=，tA,則用列舉法表示B=.答案4,9,16解析 由題意，A = 2,2,3,4，B=xx=t2，tA，依次計算出B中元素，用列舉法表 示可得B=4,9,16，故答案為4,9,16.已知集合A = xax2 3x4 = 0, xR ，若A中至多有一個元素，則實數(shù)a的取值范 圍是9 答案 a = 0或a 164解析 當(dāng)a=0時，A = xx=;當(dāng)a尹0時，關(guān)于x的方程ax2 3x4 = 0應(yīng)有兩個 9 ,相等的實數(shù)根或無實數(shù)根，所以/ = 9+16aW0,即aW一場.故所求的a的取值范圍是a=0 或 aW16-已知集合A中的元素均為整數(shù)，對于kWA,如果k 1A且k+1A,那么稱k是A的 一個

23、“孤立元”.給定集合S=1,2,3,4,5,6,7,8，由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 個.答案6解析 根據(jù)“孤立元”的定義，由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的 集合為1,2,3, 2,3,4, 3,4,5, 4,5,6, 5,6,7, 6,7,8，共有 6 個.故答案為 6.三、解答題用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希航^對值不大于3的偶數(shù)的集合；被3除余1的正整數(shù)的集合；一次函數(shù)=2-3圖像上所有點的集合；(x+y=1,方程組的解集.x-y=-1解(1)一2,0,2.m|m = 3+1, nN.(x, y)y=2x3.(0,1).已知集合 A = a+3, (a+1)2，a2 + 2a+2，若 1WA，求實數(shù) a 的值.解 若a+3 = 1,則a=2,此時A = 1,1,2,不符合集合中元素的互異性，舍去.若(a+1)2= 1,則 a = 0 或 a=2.當(dāng)a=0時，A = 3,1,2,滿足題意；當(dāng)a=2時，由知不符合條件，故舍去.若 a2 + 2a+2 = 1，則 a = 1,此時A = 2,0,1,滿足題意.綜上所述，實數(shù)a的值為一1或0.B級：“四能”提升訓(xùn)練1.已知集合 A = x|x = 3n+1，nWZ，B = x|x=3