線性代數(shù)國際商學(xué)院主席團(tuán)課件4

1、4.3正 交 矩 陣教學(xué)綱目一、標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義二、正交矩陣的定義及其性質(zhì)三、標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法教學(xué)要求1、理解與掌握標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義；2、理解與掌握正交矩陣的定義與性質(zhì)；3、理解與掌握標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法。一、標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義在得空間Rn中，n個(gè)向量組成的正交向量組一定是Rn的一個(gè)基，稱為正交基(orthogonal basis)。得空間Rn中n個(gè)向量1, 2,n定義4.11滿足：如果(1)兩兩正交，即i j=0，ij，i, j=1, 2, , n,T向量，即|i |=1，i=1, 2, , n,(2)每個(gè)向量都是則稱1, 2,n為Rn的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基(standard orthogonal ba

2、sis)。例如，1, 2, , n是Rn的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。 1， i j，符號(hào)：0， i j，ij1, 2,n為Rn的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基i j=ij，i, j =1, 2, , n,T二、正交矩陣的定義及其性質(zhì)定義4.12如果實(shí)數(shù)域R上的n階矩陣Q滿足QTQ=E，則稱Q為正交矩陣(orthogonalmatrix)。由定義，實(shí)數(shù)域上的方陣Q是正交矩陣 QTQ=EQ可逆，Q-1=QTT=E。在Rn中，以標(biāo)準(zhǔn)正交基為列(行)組成的矩陣為正交矩陣。在Rn中，兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣為正交矩陣。例如1265Q50630 可以驗(yàn)證QTQ=E，所以Q是一個(gè)正交矩陣。正交矩陣具有下述性質(zhì)：10 E是正交矩陣；2

3、0 若A, B都是n級正交矩陣，則AB也是正交矩陣；30 若A是正交矩陣，則A-1(即AT)也是正交矩陣；40 若A是正交矩陣，則A=1或-1?！咀C】(AB)(AB)T=A(BB矩陣。=AEAT=E，因此AB是正交若A是正交矩陣，則AAT=E，AAT=1，即A2=1，A=1或-1。因此50若A為正交矩陣，則A*也是正交矩陣。因?yàn)锳*=AA-1， (A*)TA* = (AA-1)TAA-1=E。命題1 設(shè)實(shí)數(shù)域上n級矩陣A的行向量組為1, 2, n；列向量組為1, 2, n，則(1)A為正交矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A的行向量組滿足當(dāng)i j,當(dāng)i j. 1, T0,ij(2)A為正交矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A的列向量組滿

4、足當(dāng)i j, 1, T0,ij當(dāng)i j.【證】(1)A為正交矩陣 1 1 00 00 1 AAT=E 0 2T1TTn 02 1 0n 0 TTT011121n TTT 0 21222n0 01 TTT當(dāng)i 當(dāng)i n1n2nn 1,j,j. T0,ij【注】正交矩陣的行向量組是Rn的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。(2)A為正交矩陣 10 T0 1001T2 0 ATA=E 12n0 01 T0n 0 TTT11121n TTT 0 21222n0 01 TTTn1nn n2當(dāng)i j,當(dāng)i j. 1, T0,ij【注】正交矩陣的列向量組是Rn的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。定理4.4實(shí)數(shù)域上n級矩陣A是正交矩陣的充分必要條

5、件是：A的行(列)向量組是正交基。得空間Rn的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)【證】設(shè)A的行向量組為1, 2, , n，則由定理1，矩陣A為正交矩陣ijT=ij,1i, jn1, n是Rn的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。同理可證，A的列向量組是Rn的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基?！咀ⅰ繕?gòu)造正交矩陣需求Rn的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。關(guān)于n階實(shí)方陣Q，下列命題等價(jià)：10 Q是正交矩陣；20 QTQ=E；30 Q-1= QT；40T=E；50 Q的行向量組為Rn的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基；60 Q的列向量組為Rn的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。三、標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法平面上兩個(gè)不共線的向量1, 2，很容易找到一個(gè)正交k1向量組 , ，1221=121=1，2=2+k1，k1O為求k，在

6、上式兩端用 作內(nèi)積，121=(2+k1)1=21+k11,TTTT0=21+k11,TT從而 T T k 21211.,于是 22T T1111同理空間內(nèi)三個(gè)不共面的向量1, 2, 3(兩兩不共線)，容易找到一個(gè)正交向量組1, 2, 3,T 1=1，2 2 3+k11+k22，21 3=1，設(shè) T11為求待定系數(shù)k1, k2，在上式兩端分別用1, 2作內(nèi)積，31=(3+k11+k22)1=31+k111,TTTT0=31+k111,TT從而 T T 31 32 ,k,k同理于是 12TT1122TT 3.命題2 設(shè)1, 2, ,s是關(guān)的向量組，令得空間Rn的一個(gè)線性無 1 2 ，1T 2211

7、，T 1T1T3331 122，都是數(shù)3TT1122，ss12s-1則1, , s是正交向量組，且1, , s與1, ,s等價(jià)。Tss1-Ts-11s-Ts2 T22Ts1 T11【證】對線性無關(guān)向量組所含向量的數(shù)目s作數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng) s=1時(shí)，即向量組為1且1O，此時(shí)令1=1，則1是正交向量組。顯然 11。當(dāng) s=2時(shí)，向量組為1, 2線性無關(guān), TT21) 2 1TTT 1T1(1221211TT1T2111T0，121即1, 2是正交向量組。顯然1, 21, 2。假設(shè)s=m-1時(shí)結(jié)論成立，即1, , m-1是正交向量組,1, 2, , m-11, 2, , m-1。且現(xiàn)在來看s=m時(shí)的情

8、形。由于T T T m1 m2 mm-1 ,mm12m-1T T T1122m-1m-1因此1jm-1時(shí)，有T T T j m m m1 m2 mm-1 TT12m-1 jT T T1122m-1m-1Tmj T 0，TTTjmjjjmmjTjj則1, , m是正交向量組, 且1, , m與1, ,m等價(jià)。據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，命題為真。命題2給出了由得空間Rn中一個(gè)線性無關(guān)的向量組1, 2, ,s出發(fā)，構(gòu)造出與它等價(jià)的一個(gè)正交向量組1, 2, , s的方法，這種方法稱為程。正交化過只要再將1, 2, , s中每個(gè)向量化，即令111 , , ,1122ss12s1, 2, , s是與1, 2, ,

9、s等價(jià)的正交向量組。得空間Rn中，如果給定一個(gè)基1, 2, ,n，則先經(jīng)過正交化過程，然后經(jīng)過化，得到的向量組1, 2, , n就是Rn的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。3正交化方法的幾何解釋設(shè)1, 2, 3為R3的一個(gè)基，令 1=1,c2為2在1上的投影向量,2c22T 2c1112222T111向量2在1上的投影向量 1 ) 1 c T2(21111這樣得到的2與1正交(垂直)。 T21 T11132c32c31c3c2211c3為3在1, 2所在的平面上的投影向量，由于12，故c3等于3分別在1, 2上的投影向量向量3c31與c32之和，即在2上的投影向量TT12c3c31c323312TT112233

10、2c32c31c3c2211令 3= 3-c3向量3在2上的投影向量TT 3c132333312TT1122110 例1 設(shè)1，011 為，3得空間R3的2101 一個(gè)基，將其化為R3的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。【解】(1)利用1=1，正交化方法先將其正交化：1 1 121 T 2 12 211 0 0 1 ， T21 1112 2 3 11 1 11 2 TT2323 ， 21 3132012 3 1 3312TT 0 111222 2 則1, 2, 3為與1, 2, 3等價(jià)的正交向量組。(2)化1, 2, 3的長度分別為：12 1 2，令T 10 ，1111112 ， ，令 T 2226 ， ，令T

11、 33333則1,2,3為得空間R3的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。例2已知得空間R3中兩個(gè)向量：11 1,2 正交，1211試求3使1, 2, 3R3的一個(gè)正交基?！窘狻吭O(shè)3=(x1, x2, x3)TO，且分別與1, 2正交，則有13=0，23=0，TTT, 0,即Tx 1x，3化簡得 0， 注意到3O，所以令x3=1，則x21 x1 x 0 ， 2 3 x 1 3 由上可知1, 2, 3R3的一個(gè)正交基?！咀ⅰ壳笳换木€性方程組方法。例3 已知1=(1, 1, 1)TR3，求一組非零向量2, 3，使1, 2, 3兩兩正交。【解】2, 3應(yīng)滿足12=O, 13=O，其分量滿足方程TTx1+x2+x3=

12、0， 1 0 取基礎(chǔ)解系0 ,1，把基礎(chǔ)解系正交化，1211 1 2 1 ，2T 0 ， 11取2132 1T 11 11 2 則1, 2, 3兩兩正交。例4 設(shè)Rn為一非零列向量，試證與正交的實(shí)向量全體V得空間Rn中的一個(gè)n-1維子空間?！咀C】由題設(shè)，V=T=0, Rn，則(1)OV，所以V非空。(2)若, V，T=0，T=0，則T(+)=T+T=0，所以+V，(3)若kR，V，T=0，則T(k)=kT=0，所以kV，V對加法、數(shù)量乘法封閉，所以V為Rn的一個(gè)子空間。 a1 k1 a k 設(shè) ，向量 2 Rn2 a k n nVT=a1k1+a2k2+n=0是a1x1+a2x2+anxn=0的解W(方程組TX=O的解空間)因此V=W。又系數(shù)矩陣的秩為1，所以其基礎(chǔ)解系含n-1個(gè)解向量，因此dimW=n-1，從而dimV=n-1。例5 設(shè)1, 2, , n-1是歐氏空間Rn中線性無關(guān)向量組，又知列向量1,