2022屆四川省成都市龍泉、新都等九校高考沖刺押題（最后一卷）數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（ ）ABCD2已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則（ ）A4B8C16D23已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD4已知的

2、共軛復(fù)數(shù)是，且（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限5已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，則，的大小關(guān)系是（ ）ABCD6已知六棱錐各頂點都在同一個球（記為球）的球面上，且底面為正六邊形，頂點在底面上的射影是正六邊形的中心，若，則球的表面積為（ ）ABCD7已知函數(shù)，關(guān)于x的方程f（x）a存在四個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）A（0，1）（1，e）BCD（0，1）8已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個零點，則（ ）ABCD9一個四面體所有棱長都是4，四個頂點在同一個球上，則球的表面積為（ ）ABCD10一個空間幾何體的正視圖是長為

3、4，寬為的長方形，側(cè)視圖是邊長為2的等邊三角形，俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）ABCD11已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，是的奇函數(shù)，且，則的值為（ ）ABCD12如圖，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知數(shù)列滿足，且恒成立，則的值為_.14過點，且圓心在直線上的圓的半徑為_15在四面體中， 分別是的中點則下述結(jié)論：四面體的體積為；異面直線所成角的正弦值為；四面體外接球的表面積為；若用一個與直線垂直，且

4、與四面體的每個面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為其中正確的有_（填寫所有正確結(jié)論的編號）16已知，且，則的最小值是_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（）求的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程；（）設(shè)分別交于兩點（與原點不重合），求的最小值.18（12分）設(shè)等差數(shù)列的首項為0，公差為a，；等差數(shù)列的首項為0，公差為b，.由數(shù)列和構(gòu)造數(shù)表M，與數(shù)表；記數(shù)表M中位于第i行第j列的元

5、素為，其中，（i，j=1，2，3，）.記數(shù)表中位于第i行第j列的元素為，其中（，）.如：，.（1）設(shè)，請計算，；（2）設(shè)，試求，的表達式（用i，j表示），并證明：對于整數(shù)t，若t不屬于數(shù)表M，則t屬于數(shù)表；（3）設(shè)，對于整數(shù)t，t不屬于數(shù)表M，求t的最大值.19（12分）已知是拋物線的焦點，點在軸上，為坐標(biāo)原點，且滿足，經(jīng)過點且垂直于軸的直線與拋物線交于、兩點，且.（1）求拋物線的方程；（2）直線與拋物線交于、兩點，若，求點到直線的最大距離.20（12分）運輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機三種運輸工具中選擇，它們的速度分別為60千米/小時、120千米/小時、600千米/小時，每千米的運費分別為

6、20元、10元、50元.這批海鮮在運輸過程中每小時的損耗為m元（），運輸?shù)穆烦虨镾（千米）.設(shè)用汽車、火車、飛機三種運輸工具運輸時各自的總費用（包括運費和損耗費）分別為（元）、（元）、（元）.（1）請分別寫出、的表達式；（2）試確定使用哪種運輸工具總費用最省.21（12分）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等腰直角三角形，平面（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值22（10分）已知矩陣，.求矩陣；求矩陣的特征值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】對分類討論，代入解析式求出，解不等式，即可求解.【詳解】函數(shù)

7、，由得或解得.故選:B.【點睛】本題考查利用分段函數(shù)性質(zhì)解不等式，屬于基礎(chǔ)題.2A【解析】利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【詳解】.故選:.【點睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì),考查基本量的計算,難度容易.3B【解析】由題意得出的值，進而利用離心率公式可求得該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由題意可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：B.【點睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率，利用公式計算較為方便，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.4D【解析】設(shè)，整理得到方程組，解方程組即可解決問題【詳解】設(shè)，因為，所以，所以，解得：，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點

8、為，此點位于第四象限.故選D【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)表示的點知識，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題5D【解析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，再根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性可得正確的選項.【詳解】因為，故.又，故.因為當(dāng)時，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，所以.因為為偶函數(shù)，故，所以.故選：D.【點睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在大小比較中的應(yīng)用，比較大小時注意選擇合適的中間數(shù)來傳遞不等關(guān)系，本題屬于中檔題.6D【解析】由題意，得出六棱錐為正六棱錐，求得，再結(jié)合球的性質(zhì)，求得球的半徑，利用表面積公式，即可求解.【詳解】由題意，六棱錐底面為正六邊形，頂點在底面上的射影是正六邊形的中心，可得

9、此六棱錐為正六棱錐，又由，所以， 在直角中，因為，所以，設(shè)外接球的半徑為，在中，可得，即，解得，所以外接球的表面積為.故選:D.【點睛】本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及外接球的表面積的計算，其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征，熟練應(yīng)用球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與計算能力，屬于中檔試題.7D【解析】原問題轉(zhuǎn)化為有四個不同的實根，換元處理令t，對g（t）進行零點個數(shù)討論.【詳解】由題意，a2，令t，則f（x）a記g（t）當(dāng)t2時，g（t）2ln（t）（t）單調(diào)遞減，且g（2）2，又g（2）2，只需g（t）2在（2，+）上有兩個不等于2的不等根則，記h（t

10、）（t2且t2），則h（t）令（t），則（t）2（2）2，（t）在（2，2）大于2，在（2，+）上小于2h（t）在（2，2）上大于2，在（2，+）上小于2，則h（t）在（2，2）上單調(diào)遞增，在（2，+）上單調(diào)遞減由，可得，即a2實數(shù)a的取值范圍是（2，2）故選：D【點睛】此題考查方程的根與函數(shù)零點問題，關(guān)鍵在于等價轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化為通過導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性解決問題.8C【解析】當(dāng)時，最多一個零點；當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性畫函數(shù)草圖，根據(jù)草圖可得【詳解】當(dāng)時，得；最多一個零點；當(dāng)時，當(dāng)，即時，在，上遞增，最多一個零點不合題意；當(dāng)，即時，令得，函數(shù)遞增，令得，函數(shù)遞減；函數(shù)最多有

11、2個零點；根據(jù)題意函數(shù)恰有3個零點函數(shù)在上有一個零點，在，上有2個零點，如圖：且，解得，故選【點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.由于方程中涉及兩個參數(shù)，故按“一元化”想法，逐步分類討論，這一過程中有可能分類不全面、不徹底.9A【解析】將正四面體補成正方體，通過正方體的對角線與球的半徑關(guān)系，求解即可【詳解】解：如圖，將正四面體補形成一個正方體，正四面體的外接球與正方體的外接球相同，四面體所有棱長都是4，正方體的棱長為，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以，故選：A【點睛】本題主要考查多面體外接球問題，解決本題的關(guān)鍵在于，巧妙構(gòu)造正方體，利用正方體的外接球的直徑為正方體的對角線，從而將問題巧妙轉(zhuǎn)化，

12、屬于中檔題10B【解析】由三視圖確定原幾何體是正三棱柱，由此可求得體積【詳解】由題意原幾何體是正三棱柱，故選：B【點睛】本題考查三視圖，考查棱柱的體積解題關(guān)鍵是由三視圖不愿出原幾何體11B【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及題設(shè)中關(guān)于與關(guān)系，轉(zhuǎn)換成關(guān)于的關(guān)系式，通過變形求解出的周期，進而算出.【詳解】為上的奇函數(shù)，而函數(shù)是上的偶函數(shù)，故為周期函數(shù)，且周期為故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12D【解析】先求出球心到四個支點所在球的小圓的距離，再加上側(cè)面三角形的高，即可求解.【詳解】設(shè)四個支點所在球的小圓的圓心為，球心為，由題意，球的體積為，即可得球的半徑為1，又

13、由邊長為的正方形硬紙，可得圓的半徑為，利用球的性質(zhì)可得，又由到底面的距離即為側(cè)面三角形的高，其中高為，所以球心到底面的距離為.故選：D.【點睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】易得，所以是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項公式計算即可.【詳解】由已知，因，所以，所以數(shù)列是以為首項，3為公差的等差數(shù)列，故，所以.故答案為：【點睛】本題考查由遞推數(shù)列求數(shù)列中的某項，考查學(xué)生等價轉(zhuǎn)化的能力，是一道容易題.14【解析】根據(jù)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,結(jié)合圓心所在直線方

14、程,即可求得圓心坐標(biāo).由兩點間距離公式,即可得半徑.【詳解】因為圓經(jīng)過點則直線的斜率為 所以與直線垂直的方程斜率為點的中點坐標(biāo)為所以由點斜式可得直線垂直平分線的方程為,化簡可得而弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,且圓心在直線上,設(shè)圓心所以圓心滿足解得所以圓心坐標(biāo)為則圓的半徑為 故答案為: 【點睛】本題考查了直線垂直時的斜率關(guān)系,直線與直線交點的求法,直線與圓的位置關(guān)系,圓的半徑的求法,屬于基礎(chǔ)題.15【解析】補圖成長方體，在長方體中利用割補法求四面體的體積，和外接球的表面積，以及異面直線的夾角，作出截面即可計算截面面積的最值.【詳解】根據(jù)四面體特征，可以補圖成長方體設(shè)其邊長為，解得補成長，寬，高分別為的

15、長方體，在長方體中：四面體的體積為，故正確異面直線所成角的正弦值等價于邊長為的矩形的對角線夾角正弦值，可得正弦值為，故錯；四面體外接球就是長方體的外接球，半徑，其表面積為，故正確；由于，故截面為平行四邊形，可得，設(shè)異面直線與所成的角為，則，算得，故正確故答案為：【點睛】此題考查根據(jù)幾何體求體積，外接球的表面積，異面直線夾角和截面面積最值，關(guān)鍵在于熟練掌握點線面位置關(guān)系的處理方法，補圖法作為解決體積和外接球問題的常用方法，平常需要積累常見幾何體的補圖方法.161【解析】先將前兩項利用基本不等式去掉，再處理只含的算式即可【詳解】解：，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故答案為：1【點睛】本題

16、主要考查基本不等式的應(yīng)用，但是由于有3個變量，導(dǎo)致該題不易找到思路，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（）直線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（）2.【解析】（）由定義可直接寫出直線的極坐標(biāo)方程，對曲線同乘可得：，轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)為；（）分別聯(lián)立兩直線和曲線的方程，由得，由得，則，結(jié)合三角函數(shù)即可求解；【詳解】（）直線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為由曲線的極坐標(biāo)方程得，所以的直角坐標(biāo)方程為.（）與的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得所以.與的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得所以.所以.所以當(dāng)時，取最小值2.【點睛】本題考查參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化，極坐標(biāo)方程與

17、直角坐標(biāo)方程的互化，極坐標(biāo)中的幾何意義，屬于中檔題18（1）（2）詳見解析（3）29【解析】（1）將，代入，可求出，可代入求，可求結(jié)果（2）可求，通過反證法證明，（3）可推出，的最大值，就是集合中元素的最大值，求出【詳解】（1）由題意知等差數(shù)列的通項公式為：；等差數(shù)列的通項公式為：，得，則，得，故（2）證明：已知，由題意知等差數(shù)列的通項公式為：；等差數(shù)列的通項公式為：，得，得，所以若，則存在，使，若，則存在，使，因此，對于正整數(shù)，考慮集合，即，下面證明：集合中至少有一元素是7的倍數(shù)反證法：假設(shè)集合中任何一個元素，都不是7的倍數(shù)，則集合中每一元素關(guān)于7的余數(shù)可以為1，2，3，4，5，6，又因為集

18、合中共有7個元素，所以集合中至少存在兩個元素關(guān)于7的余數(shù)相同，不妨設(shè)為，其中，則這兩個元素的差為7的倍數(shù)，即，所以，與矛盾，所以假設(shè)不成立，即原命題成立即集合中至少有一元素是7的倍數(shù)，不妨設(shè)該元素為，則存在，使，即，由已證可知，若，則存在，使，而，所以為負整數(shù)，設(shè)，則，且，所以，當(dāng)，時，對于整數(shù)，若，則成立（3）下面用反證法證明：若對于整數(shù)，則，假設(shè)命題不成立，即，且則對于整數(shù)，存在，使成立，整理，得，又因為，所以且是7的倍數(shù)，因為，所以，所以矛盾，即假設(shè)不成立所以對于整數(shù)，若，則，又由第二問，對于整數(shù)，則，所以的最大值，就是集合中元素的最大值，又因為，所以【點睛】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及

19、反證法，求最值，屬于難題19（1）；（2）.【解析】（1）求得點的坐標(biāo)，可得出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合求出正實數(shù)的值，進而可得出拋物線的方程；（2）設(shè)點，設(shè)的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，結(jié)合求得的值，可得出直線所過定點的坐標(biāo)，由此可得出點到直線的最大距離.【詳解】（1）易知點，又，所以點，則直線的方程為.聯(lián)立，解得或，所以.故拋物線的方程為；（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立有，設(shè)點，則，所以.所以，解得.所以直線的方程為，恒過點.又點，故當(dāng)直線與軸垂直時，點到直線的最大距離為.【點睛】本題考查拋物線方程的求解，同時也考查了拋物線中最值問題的求解，涉及韋達定理設(shè)而不求法的應(yīng)用，考查運算求解能力，