探求離心率(教學設計)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)課題名稱教學設計教學題目高三數(shù)學復習：探求離心率所選教材人民教育出版社版高中數(shù)學選修2-1圓錐曲線一、學習內(nèi)容分析1.學習目標描述（知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀）知識與技能： 能綜合利用幾何和代數(shù)的知識求解橢圓和雙曲線的離心率問題；過程與方法： 體會數(shù)形結合、分類討論、函數(shù)與方程、轉化與化歸等數(shù)學思想方法。情感態(tài)度與價值觀：通過對離心率的教學，可以培養(yǎng)學生分析問題，解決問題的能力；以及逆向思維思考問題的思維習慣2. 學習內(nèi)容與重難點分析項目內(nèi)容教學重點求解圓

2、錐曲線離心率的取值和范圍問題的基本方法。自主探究、小組合作教學難點在于如何建立不等關系定離心率的取值范圍.展示交流、質(zhì)疑釋疑二、學習者特征分析（說明學生的已有知識基礎、學習習慣等信息）本課的學習者是高三學生，經(jīng)過高一高二訓練，學生已熟練的掌握的圓錐曲線的定義，典型例題和常規(guī)方法。學生學習較積極，學習態(tài)度良好。高一高二一直由我任教，學生完全適應我的教學習慣。采用學案復習的方法，學案已提前一天由學生做好。上課只需加強說明和一題多解或者延伸教學。三、學習環(huán)境選擇1學習環(huán)境選擇（ B ）A.簡易多媒體教室 B.交互式電子白板 C.網(wǎng)絡教室 D.移動學習環(huán)境四、流程規(guī)劃與活動設計（描述整體教學環(huán)節(jié)規(guī)劃，

3、按順序說明每一環(huán)節(jié)中教學內(nèi)容、呈現(xiàn)方式、教師活動、學生活動以及設計意圖等）教學過程：典例探究：一、求離心率相關1、定義法。直接求出a、c，求解e 已知標準方程或a、c易求時，可用離心率公式例1、橢圓的離心率為（ ）A B. C. D.解析：橢圓中，離心率為，選A。變式1、若橢圓的離心率為，則m= 8/3或3/2 【設計意圖】先定性判斷橢圓的焦點位置，再定量計算橢圓的離心率。很多學生會把焦點在y軸上的情況漏掉。2、 變用公式，整體求出e 。 根據(jù)題設條件，找出a、b、c的一次關系式，進而求出e例2、已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于（ ）A BCD解已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍

4、， ，橢圓的離心率，選D變式2、若雙曲線=1的漸近線與方程為的圓相切，則此雙曲線的離心率為 【答案】23、方程法。構造a、c的齊次式，解出e 根據(jù)題設條件，借助a、b、c之間的關系，構造出a、c的齊次式，進而得到關于e的方程，通過解方程得出離心率e的值。例3 設雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(0ab)的半焦距為c，直線L過(a,0)，(0,b)兩點.已知原點到直線的距離為eq f(eq r(3),4)c，則雙曲線的離心率為( )A.2 B.eq r(3) C.2或eq f(2eq r(3),3) D.eq f(2eq r(3),3) 解析：由已知，直線L的方程為bx+ay

5、 -ab=0.由點到直線的距離公式，得 eq f(ab,eq r(a2+b2)eq f(eq r(3),4)c，又c2=a2+b2, 4ab=eq r(3)c2,兩邊平方，得16a2(c2a2)=3c4.兩邊同除以a4，并整理，得 3e4-16e2+16=0.yBAFxO解得 e24或e2eq f(4,3).又0a2，e24，e2.故選A.變式3、如圖，橢圓的左焦點、上頂點與右頂點恰好構成以為直角頂點的直角三角形，求此橢圓的離心率.解：為直角三角形，.，將代入，整理得.兩邊同除以得，（舍去）.【設計意圖】一般來說，求橢圓（或雙曲線）的離心率，只需要由條件得到一個關于基本量a，b，c，e的一個方

6、程，就可以從中求出離心率但如果選擇方法不恰當，則極可能“小題”大作，誤入歧途。許多學生認為用一些所謂的“高級”結論可以使結果馬上水落石出，一針見血，其實不然，對于這類題，用最淳樸的定義來解題是最好的，此時無招勝有招！如例4.4、數(shù)形結合。利用“焦點三角形” 橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點、構成的三角形為 “焦點三角形”.在橢圓中，；在雙曲線中，. 解法一（大多數(shù)學生的解法）解：由于為等腰直角三角形，故有，而，所以，整理得等式兩邊同時除以，得，即，解得，舍去因此，選D解法二（采用離心率的定義以及橢圓的定義求解）解：如右圖所示，有故選D【設計意圖】以上兩種方法都是很好的方法，解法一是高手的解法，靈活

7、運用了“通徑”這個二級結論，使題目迎刃而解，但計算量偏大，耗時較長；而解法二則是老手，整個過程沒有任何高級結論，只運用了最簡單的、人人皆知的“定義”，通過幾個簡單的步驟即可。正所謂此時無法勝有法！變式4.設、分別為雙曲線的左、右焦點.若在雙曲線右支上存在點，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的離心率為 分析：由題意可知PF2=2c 且到直線的距離為2a，F(xiàn)1F1P為等腰三角形，所以PF1=，又因為PF1-PF2=2a，所以a+c=2b，同除以得解得5、比例性質(zhì)法 焦點的三角形中，若已知兩個角，可用正弦定理及比例性質(zhì)來求e例5、已知M為橢圓上一點，是其兩個焦點。且，則橢圓的離心率

8、為 答案二、求離心率的取值范圍.一般來說，求橢圓（或雙曲線）的離心率的取值范圍，通?？梢詮膬蓚€方面來研究：一是考慮幾何的大小，例如線段的長度、角的大小等；二是通過設橢圓（或雙曲線）點的坐標，利用橢圓（或雙曲線）本身的范圍，列出不等式離心率是描述圓錐曲線性質(zhì)的一個關鍵量，它是一個比值，它與圓錐曲線的大小無關，只與其形狀有關在橢圓中，離心率越大，橢圓越扁平，離心率越小，橢圓越圓，橢圓離心率的取值范圍e(0，1)；在雙曲線中，離心率越大，雙曲線的形狀從扁狹逐漸變得開闊，即雙曲線的“張口”逐漸增大，雙曲線離心率的取值范圍e(1，)；在拋物線中，離心率e11、利用圓錐曲線相關性質(zhì)建立不等關系求解.例6、

9、雙曲線（a0,b0）的兩個焦點為F1、F2,若P為其上一點，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）A.(1,3)B.C.(3,+)D.分析 求雙曲線離心率的取值范圍需建立不等關系，題設是雙曲線一點與兩焦點之間關系應想到用雙曲線第一定義.如何找不等關系呢？ 解析1：|PF1|=2|PF2|,|PF1|PF2|=|PF2|=，|PF2|即所以雙曲線離心率的取值范圍為，故選B.【設計意圖】本題建立不等關系是難點，如果記住一些雙曲線重要結論（雙曲線上任一點到其對應焦點的距離不小于）則可建立不等關系使問題迎刃而解. 解析2：設，當點在右頂點處，利用三角函數(shù)有界性【設計意圖】根據(jù)第一

10、定義結合余弦定理將離心率轉化為角的函數(shù)，再利用三角函數(shù)求最值解析3：也可用三角形的三邊關系求解，但注意取等條件如圖，在中(后者在與重合時取等)，又，則且，【設計意圖】和焦點三角形相關的問題可以考慮用三角形三邊關系來建立不等式2、運用數(shù)形結合建立不等關系求解例7、已知雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（ ）A B. C.D.解析 欲使過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率， ，即即即故選C.【設計意圖】此處利用雙曲線幾何性質(zhì)，用所給定直線和漸近線的關系確定漸近線斜率范圍

11、，從而求出離心率范圍3、運用函數(shù)思想求解離心率例8、設，則雙曲線的離心率e的取值范圍是A B. C. D. 解析：由題意可知，故選B.4、運用判別式建立不等關系求解離心率例9：在橢圓上有一點M，是橢圓的兩個焦點，若，求橢圓的離心率.解析: 由橢圓的定義，可得 又，所以是方程的兩根，由， 可得，即所以，所以橢圓離心率的取值范圍是【設計意圖】層層遞進，求離心率范圍的幾種常見題型，逐步加深概念的理解，靈活應用已學知識進而求出深層次問題，提高學生的能力。三、一道求離心率范圍的典型范例及其探究引例、若橢圓短軸端點為滿足，求橢圓離心率。【設計意圖】試圖讓學生用運動的觀點獲得點落在短軸端點時，該橢圓半焦距、

12、短半軸長的相等關系，得到的結論。典型范例、在橢圓上有一點，若，求橢圓離心率取值范圍?！驹O計意圖】本題試圖讓學生用運動的觀點，承接引例的解題思路獲得動點在橢圓上時，進而得到的結論變式1、已知是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，且，求橢圓離心率e的取值范圍。分析：如果我們考慮幾何的大小，我們發(fā)現(xiàn)當M為橢圓的短軸的頂點B1（或B2）時F1PF2最大（需要證明），從而有0F1PF2F1 B1F2根據(jù)條件可得F1 B1F260，易得 eq f(c,a) eq f(1,2)故 eq f(1,2)e1證明，在F1PF2中，由余弦定理得，當且僅當PF1PF2時，等號成立，即當M與橢圓的短軸的頂點B1（或B2）時F1MF2最大【設計意圖】如果通過設橢圓上的點P(x，y)，利用橢圓本身的范圍，也可以求出離心率e的范圍在本題中，運用此法可以做，但比較復雜（關鍵是點P的坐標不易表示）因此，在解題過程中要注意方法的選擇變式2、在橢圓內(nèi)有一點，且，求橢圓離心率取值范圍。分析：利用圓的幾何性質(zhì)判定軌跡為圓，再利用橢圓和圓的幾何性質(zhì)解題一般地，時點總在橢圓內(nèi)部；時點有4個在橢圓上；時有2個在橢圓上，就是橢圓短軸的兩個端點【設計意圖】本題意在希望學生通過直角三角形直角頂點的軌跡是一個以斜邊為直徑的圓的知識點，獲得當橢圓