三角恒等變換（輔優(yōu)講義）

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)專(zhuān)題一 三角恒等變換一、【知識(shí)梳理】：1兩角和與差的三角函數(shù)公式2二倍角公式： sin 22sin cos ； tan 2eq f(2tan ,1tan2).cos 2cos2sin22cos2112sin2；3公式的變形與應(yīng)用(1)兩角和與差的正切公式的變形tan tantan()(1tan tan)；tan tantan()(1tan tan)(2)升冪公式：1cos 2cos2eq f(,2)；1cos 2sin2eq f(,2).(3)降冪公式：sin2eq f

2、(1cos 2,2)；cos2eq f(1cos 2,2).(4)其他常用變形sin 2eq f(2sin cos ,sin2cos2)eq f(2tan ,1tan2)；cos 2eq f(cos2sin2,cos2sin2)eq f(1tan2,1tan2)；1sin eq blc(rc)(avs4alco1(sinf(,2)cosf(,2)eq sup12(2)；taneq f(,2)eq f(sin ,1cos )eq f(1cos ,sin ).4輔助角公式asin bcos eq r(a2b2)sin()，其中cos eq f(a,r(a2b2)，sin eq f(b,r(a2b2

3、).5角的拆分與組合(1)已知角表示未知角 例如，2()()，2()()，()()， eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(,3).(2)互余與互補(bǔ)關(guān)系：例如，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)eq f(,2).(3)非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角：例如，154530，754530.三、方法歸納總結(jié)：1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)遵循的三個(gè)原則(1

4、)一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過(guò)看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式(2)二看“函數(shù)名稱(chēng)”，看函數(shù)名稱(chēng)之間的差異，從而確定使用的公式，常見(jiàn)的有“切化弦”(3)三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，常見(jiàn)的有“遇到分式要通分”等2三角函數(shù)求值的類(lèi)型及方法(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來(lái)看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系解題時(shí)，要利用觀(guān)察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)

5、上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時(shí)要壓縮角的取值范圍備注：在求值的題目中，一定要注意角的范圍，要做到“先看角的范圍，再求值”四、典例剖析：題型一、【公式順用、逆用、變用】例1、(2015課標(biāo)2)sin 20cos 10cos 160sin 10()Aeq f(r(3),2) B.eq f(r(3),2) Ceq f(1,2) D.eq f(1,2)2(2013四13)設(shè)sin 2sin ，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)，則tan 2的值是_3、【2016年全國(guó)課標(biāo)】若 ，則 （ ）(A)

6、(B) (C) 1 (D) 4、(2013浙江，6)已知R，sin 2cos eq f(r(10),2)，則tan 2_5(2012四川4)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，延長(zhǎng)BA至E，使AE1，連接EC，ED，則sinCED()A.eq f(3r(10),10) B.eq f(r(10),10) C.eq f(r(5),10) D.eq f(r(5),15)專(zhuān)題二、【三角恒等變換】例2、1（1）、eq f(2cos10sin20,sin70)=_ （2）、：=_（3）、(tan5cot5)eq f(cos70,1sin70)_. （4）、 eq f(cos 40,cos 25r(1sin 4

7、0)_.變式：（1）、(2013重慶9)4cos 50tan 40()A.eq r(2) B.eq f(r(2)r(3),2) C.eq r(3) D2eq r(2)1（2)、eq f(r(3)tan 123,（4cos2122）sin 12)_.專(zhuān)題三：【湊角應(yīng)用】例3、已知0eq f(,4)eq f(3,4)，求的值知識(shí)小結(jié)：解決的關(guān)鍵在于把“所求角”用“已知角”表示(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”(3)常見(jiàn)的配角技巧：2eq

8、 f(,2)；()；()；eq f(1,2)()()；eq f(1,2)()()；eq f(,4)eq f(,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4).變式1、若0eq f(,2)，eq f(,2)eq f(3,2)，coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(1,3)，coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(,2)eq f(4,5)，則coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)_.變式2、【2015江蘇高考】已知，則的值為_(kāi).變式3、已知0eq f(,4)，0eq f(,4)且3sinsin(2),4taneq f

9、(,2)1tan2eq f(,2)，求的值分析：由eq f(,2)的關(guān)系可求出的正切值再依據(jù)已知角和2構(gòu)造，從而可求出的一個(gè)三角函數(shù)值，再據(jù)的范圍，從而確定.評(píng)析：首先由4taneq f(,2)1tan2eq f(,2)的形式聯(lián)想倍角公式求得tan，再利用角的變換求tan()，據(jù)、的范圍確定角.求角的問(wèn)題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇一個(gè)三角函數(shù)值，再依據(jù)范圍求角，兩步必不可少題型四、【三角恒等變換的綜合運(yùn)用】1、【2005全國(guó)1理】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為（ ） C A2B C4D2(13課標(biāo)15)設(shè)當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)sin x2cos x取得最大值，則cos_3、【2015高考天津理15】已知函數(shù)，(I)求最小正周期；(II)求在區(qū)間上的最大值和最小值.4、【2014廣東16】已知函數(shù)f(x)Asineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)，xR，且feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,12)eq f(3,2).求A的值； 若f()f()eq f(3,2)，eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，求feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4).【點(diǎn)撥】解題(1)的關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用平方關(guān)系及誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化；解題(2)的關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化或利用“切化弦”；解題(3)的思路是由f