1.3 等可能概型

1、1.3 等可能概型 第一章 一、等可能概型二、幾何概型設是隨機試驗 E 的樣本空間，若滿足以下兩個條件： (a) 有限性 試驗的樣本空間中樣本點總數(shù)有限； (b) 等可能性 每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同，例如：E1：拋硬幣, 觀察哪面朝上= =H, T稱隨機試驗E為等可能概型或古典概型。1. 等可能概型(1) 定義(2) 計算公式若事件A包含k個基本事件，則將兩封信隨機的投入四個郵筒,求: 1) 前兩個郵筒中沒有信的概率, 2) 第一個郵筒中只有一封信的概率。例1解:設 A = “前兩個郵筒中沒有信” B = “第一個郵筒中只有一封信”1)2)擲兩枚骰子，點數(shù)之和為奇數(shù)的概率。答： 1/2例2(

2、3) 計算方法（a）構造A 和的樣本點(當樣本空間S 的元素較少時，先一一列出和A 中的元素，直接利用下面的公式求解（b）用排列組合方法求A 和的樣本點個數(shù)，再利用公式求解預備知識. 加法原理：完成一項工作m類方法，第i類方法有種(i=1, 2, , m)，則完成這項工作共有：種方法。.乘法原理：完成一項工作有m個步驟，第i步有，則完成該項工作一共有：種方法。種方法（i=1, 2, , m ).排列：從n個元素中取出r個元素，按一定順序排成一列，稱為從n個元素里取出r 個元素的排列。(n, r 均為整數(shù)) (rn)進行排列，共有(無放回選取)從n個不同元素中無放回的取出r個種方法。(有放回選取

3、) 從n 個不同元素中有放回地抽取r 個，依次排成一列，稱為可重復排列，一共有 種方法。. 組合從n個元素中無放回取出r個元素，不考慮其順序，組合數(shù)為或,例：袋中有三個球，標號1, 2, 3 任取兩次, 無放回，考慮順序12,13,21,23,31,32 無放回，不考慮順序12,13,23 有放回，考慮順序11,12,13,21,22,23,31,32,33一口袋中裝有10只球, 其中6只藍球, 4只紅球,現(xiàn)從袋中取球兩次, 每次隨機的取一只,分別按有放回和無放回兩種方式取球 ,就以上兩種情況求:1) 取到的兩只都是藍球的概率 ;2) 取到兩只球顏色相同的概率;3) 取到的兩只球中至少有一只是

4、藍球的概率。例310只球, 其中6只藍球, 4只紅球，取球2次2) 3) a) 有放回的抽樣A= 兩只球都是藍球, B= 兩只球都是紅球b) 無放回抽樣1)2) 3) 10只球, 其中6只藍球, 4只紅球，取球2次 袋中有a只白球，b 只紅球，從袋中按不放回與放回兩種方式取m 個球（ ),求其中恰有k 個（ ）白球的概率。例4解: (1) 不放回情形E1: 不考慮順序，一次取 m 個球，記下顏色1:記事件 A 為m個球中有k個白球，則因此超幾何分布(2) 有放回情形E2: 球編號, 任取一球, 記下顏色, 放回去,重復 m 次2:記 B 為取出的 m 個球中有 k 個白球, 則二項分布2. 幾

5、何概型十字路口紅綠燈，周期是60秒，紅燈亮15秒，求一輛汽車恰好遇紅燈的概率。 一片面積為S的樹林有一塊面積為S0的空地，一飛機隨機的往樹林空投一包裹，求包裹落在空地上的概率。例5例6幾何概率模型考慮的是無限多個等可能結果的隨機試驗.首先看下面幾個例子: 已知在10ml的自來水中有一大腸桿菌，隨機取2ml放在顯微鏡下觀察發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的機率。上述三個例題中，樣本空間分別是一維、二維、三維空間，它們分別用長度、面積、體積來度量大小，其共同點是樣本空間的樣本點有無限多個且出現(xiàn)是等可能的。A是樣本空間的一個子集，P(A)與A的位置、形狀無關，而只與A長度、面積、體積成正比。例7 設某個區(qū)域D，面積為S

6、D, 隨機試驗E為向區(qū)域D投點，如果點落入D的任意子區(qū)域A的可能性大小與A的面積SA成正比，與A的位置和形狀沒有關系，稱這一類型的試驗為幾何概型。（1）幾何概型的定義（2）計算公式注意：一般地，某個區(qū)域D可以是線段,平面區(qū)域，空間區(qū)域，對應的SD分別為長度，面積，體積。 (會面問題）甲乙二人約定在7點到12點之間在某地會面，先到者等一個小時后即離去設二人在這段時間內的各時刻到達是等可能的，且二人互不影響，求二人能會面的概率。解：以X，Y分別表示甲，乙二人到達的時刻，8點記為0，則12點記為5，有 0 1 2 3 4 5 y54321.M(X,Y)x即點M落在圖中的陰影部分。所有的點構成一個正方形，即有無限多個結果，且各點是等可能的。例8二人會面的條件是： 0 1 2 3 4