數(shù)學文化——立體幾何22題

1、-. z.數(shù)學文化立體幾何22題1、塹堵【編號第1題】1【2016春校級月考】九章算術中，將底面是直角形的直三棱柱稱之為塹堵，*塹堵的三視圖如下圖，俯視圖中虛線平分矩形的面積，則該塹堵的外表積為A4+2B2C4+4D6+4【考點】由三視圖求面積、體積【分析】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個放倒的直三棱柱，由三視圖求出幾何元素的長度，由面積公式求出幾何體的外表積【解析】：根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個放倒的直三棱柱ABCABC，底面是一個直角三角形，兩條直角邊分別是、斜邊是2，且側棱與底面垂直，側棱長是2，所以幾何體的外表積S=2+22+2=6+4，應選：D【點評】此題考察三視圖求幾何體的外表積，

2、由三視圖正確復原幾何體是解題的關鍵，考察空間想象能力【編號第2題】2【2016模擬】九章算術中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為塹堵，*塹堵的三視圖如下圖，俯視圖中虛線平分矩形的面積，則該塹堵的側面積為A2B4+2C4+4D6+4【考點】由三視圖求面積、體積【分析】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個放倒的直三棱柱，由三視圖求出幾何元素的長度，由面積公式求出幾何體的側面積【解析】：根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個放倒的直三棱柱ABCABC，底面是一個直角三角形，兩條直角邊分別是、斜邊是2，且側棱與底面垂直，側棱長是2，所以幾何體的側面積S=4+4，應選：C【點評】此題考察三視圖求幾何體的側面積，由三

3、視圖正確復原幾何體是解題的關鍵，考察空間想象能力2、商鞅銅方升【編號第3題】3【2016校級模擬】中國古代數(shù)學名著九章算術中記載了公元前344年商鞅督造一種標準量器商鞅銅方升，其三視圖如下圖單位：寸，假設取3，其體積為12.6立方寸，則圖中的*為A1.2B1.6C1.8D2.4【考點】由三視圖求面積、體積【分析】由三視圖知，商鞅銅方升由一圓柱和一長方體組合而成利用體積求出*【解析】：由三視圖知，商鞅銅方升由一圓柱和一長方體組合而成由題意得：1，5.4*31+ 22*=12.6，*=1.6應選：B【點評】此題考察三視圖，考察體積的計算，確定直觀圖是關鍵3、鱉臑【編號第4題】4【2015秋校級月考

4、】九章算術中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，如圖，在鱉臑PABC中，PA平面ABC，ABBC，且AP=AC=1，過A點分別作AEPB于E、AFPC于F，連接EF當AEF的面積最大時，tanBPC的值是ABCD【考點】直線與平面垂直的判定【分析】由可證AE平面PBC，PC平面AEF，可得AEF、PEF均為直角三角形，由得AF=，從而AE2+EF2=AF2=，當且僅當AE=EF時，取=，解得當AE=EF=時，AEF的面積最大，即可求得tanBPC=的值【解析】：顯然BC平面PAB，則BCAE，又PBAE，則AE平面PBC，于是AEEF，且AEPC，結合條件AFPC得PC平面AEF，所以

5、AEF、PEF均為直角三角形，由得AF=，而AE2+EF2=AF2=，當且僅當AE=EF時，取=，所以，當AE=EF=時，AEF的面積最大，此時tanBPC=，應選：B【點評】此題主要考察了直線與平面垂直的判定，不等式的解法及應用，同時考察了空間想象能力、計算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題【編號第5題】5【2015秋期末】九章算術中將底面的長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為蟞臑在如下圖的陽馬PABCD中，側棱PD底面ABCD，且PD=CD=BC，則當點E在以下四個位置：PA中點、PB中點、PC中點、PD中點時分別形成的四面體EBCD中，蟞臑有A

6、1個B2個C3個D4個【考點】直線與平面垂直的性質【分析】分情況討論：1當點E在PC中點時，證明BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形，即可得出結論；2當點E在PA中點時：以D為原點，分別以DA，DC，DP為*，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，設PD=DC=BC=1，則可求BC，BE，EC三邊長不滿足勾股定理，可得EBC不是直角三角形，故故四面體EBCD不是蟞臑3當點E在PB中點時：易證BCE不是直角三角形同上，可得四面體EBCD不是蟞臑4當點E在PD中點時：由BC平面ECD，DE平面DBC，可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形，即四面體EBCD是一個

7、鱉臑【解答】證明：1當點E在PC中點時：因為PD底面ABCD，所以PDBC，因為ABCD為正方形，所以BCCD，因為PDCD=D，所以BC平面PCD，因為DE平面PCD，所以BCDE，因為PD=CD，點E是PC的中點，所以DEPC，因為PCBC=C，所以DE平面PBC，由BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形，即四面體EBCD是一個鱉臑，其四個面的直角分別是BCD，BCE，DEC，DEB；2當點E在PA中點時：如圖，以D為原點，分別以DA，DC，DP為*，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，設PD=DC=BC=1，則：C0，1，0，B1，1，0，D0，0，0，

8、E，0，可求：BC=1，BE=，EC=，三邊長不滿足勾股定理，可得EBC不是直角三角形，故故四面體EBCD不是蟞臑3如以下圖當點E在PB中點時：易證BCE不是直角三角形同上，故四面體EBCD不是蟞臑4如以下圖當點E在PD中點時：由BC平面ECD，DE平面DBC，可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形，即四面體EBCD是一個鱉臑應選：B【點評】此題考察線面垂直的判定與性質，考察學生分析解決問題的能力，屬于中檔題4、羨除【編號第6題】6【2016一?！吭诰耪滤阈g中，將有三條棱互相平行且有一個面為梯形的五面體稱之為羨除，現(xiàn)有一個羨除如下圖，面ABC、面ABFE、面CDEF均為等腰梯形，ABCDEF

9、，AB=6，CD=8，EF=10，EF到面ABCD的距離為3，CD與AB間的距離為10，則這個羨除的體積是A110B116C118D120【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積【分析】將幾何體分解成一個直棱柱和兩個一樣的不規(guī)則幾何體，將三個幾何體改變位置組合成一個直棱柱進展計算【解析】：過A作APCD，AMEF，過B作BQCD，BNEF，垂足分別為P，M，Q，N，將一側的幾何體放到另一側，組成一個直三棱柱，底面積為=15棱柱的高為8，所以V=158=120應選：D【點評】此題考察了不規(guī)則幾何體的體積計算，將不規(guī)則幾何體補成規(guī)則幾何體是常用解題方法5、圓周率相關【編號第7題】7【2012】我國古代數(shù)學名

10、著九章算術中開立圓術曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑，開立圓術相當于給出了球的體積V，求其直徑d的一個近似公式d人們還用過一些類似的近似公式根據(jù)=3.14159.判斷，以下近似公式中最準確的一個是AdBdCdDd【考點】進展簡單的演繹推理【分析】根據(jù)球的體積公式求出直徑，然后選項中的常數(shù)為，表示出，將四個選項逐一代入，求出最接近真實值的那一個即可【解析】：由V=，解得d=設選項中的常數(shù)為，則=選項A代入得=3.375；選項B代入得=3；選項C代入得=3.14；選項D代入得=3.142857由于D的值最接近的真實值應選D【點評】此題主要考察了球的體積公式及其估算，同時考

11、察了計算能力，屬于中檔題【編號第8題】8【2016春月考】我國數(shù)學史上有一部堪與歐幾里得幾何原本媲美的書，這就是歷來被尊為算經之首的九章算術，其中卷第五商功有一道關于圓柱體的體積試題：今有圓堡，周四丈八尺，高一丈一尺，問積幾何？其意思是：含有圓柱形的土筑小城堡，底面周長是4丈8尺，高1丈1尺，問它的體積是多少？假設取3，估算小城堡的體積為A1998立方尺B2012立方尺C2112立方尺D2324立方尺【考點】旋轉體圓柱、圓錐、圓臺【分析】根據(jù)周長求出城堡的底面半徑，代入圓柱的體積公式計算【解析】：設圓柱形城堡的底面半徑為r，則由題意得2r=48，所以r=8尺又城堡的高h=11尺，所以城堡的體積

12、V=r2h=64112112立方尺應選：C【點評】此題考察了圓柱的體積計算，屬于根底題【編號第9題】9【2016校級模擬】九章算術卷5商功記載一個問題今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺問積幾何？答曰：二千一百一十二尺術曰：周自相乘，以高乘之，十二而一這里所說的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為周自相乘，以高乘之，十二而一就是說：圓堡瑽圓柱體的體積為：V=底面的圓周長的平方高則由此可推得圓周率的取值為A3B3.14C3.2D3.3【考點】排序問題與算法的多樣性【分析】由題意，圓柱體底面的圓周長20尺，高4尺，利用圓堡瑽圓柱體的體積V=底面的圓周長的平方高，求出V，再建立方程組，即可求出圓周率的取值【解

13、析】：由題意，圓柱體底面的圓周長20尺，高4尺，因為圓堡瑽圓柱體的體積V=底面的圓周長的平方高，所以V=2024=，所以所以=3，R=，應選：A【點評】此題考察圓柱體底面的圓周長、體積的計算，考察學生的計算能力，屬于中檔題【編號第10題】10【2016校級一?！烤耪滤阈g是我國數(shù)學史上堪與歐幾里得幾何原本相媲美的數(shù)學名著其第五卷商功中有如下問題：今有圓堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺，問積幾何？這里所說的圓堢壔就是圓柱體，其底面周長是4丈8尺，高1丈1尺，問它的體積是多少？假設取3，估算該圓堢壔的體積為A1998立方尺B2012立方尺C2112立方尺D2324立方尺【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積【分

14、析】根據(jù)周長求出圓堢壔的底面半徑，代入圓柱的體積公式計算【解析】：設圓柱形圓堢壔的底面半徑為r，則由題意得2r=48，所以r=8尺，又圓堢壔的高h=11尺，所以圓堢壔的體積V=r2h=64112112立方尺應選：C【點評】此題考察了圓柱的體積計算，屬于根底題6、牟合方蓋相關【編號第11題】11【2016一模】徽在他的九章算術注中提出一個獨特的方法來計算球體的體積：他不直接給出球體的體積，而是先計算另一個叫牟合方蓋的立體的體積徽通過計算，牟合方蓋的體積與球的體積之比應為后人導出了牟合方蓋的體積計算公式，即V牟=r3V方蓋差，r為球的半徑，也即正方形的棱長均為2r，為從而計算出V球=r3記所有棱長

15、都為r的正四棱錐的體積為V正，棱長為2r的正方形的方蓋差為V方蓋差，則=ABCD【考點】球的體積和外表積【分析】計算出V方蓋差，V正，即可得出結論【解析】：解：由題意，V方蓋差=r3V牟=r3r3=r3，所有棱長都為r的正四棱錐的體積為V正=r3，所以=，應選：C【點評】此題考察新定義，考察體積的計算，考察學生分析解決問題的能力，比擬根底【編號第12題】12【2016春校級月考】我國古代數(shù)學家利用牟合方蓋如圖甲找到了球體體積的計算方法它是由兩個圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共局部形成的幾何體圖乙所示的幾何體是可以形成牟合方蓋的一種模型，其直觀圖如圖丙，圖中四邊形是為表達其直觀性

16、所作的輔助線當其正視圖和側視圖完全一樣時，它的正視圖和俯視圖分別可能是Aa，bBa，dCc，bDc，d【考點】簡單空間圖形的三視圖【分析】根據(jù)中牟合方蓋的幾何特征，分別判斷它的正視圖和俯視圖形狀，可得答案【解析】：當牟合方蓋的正視圖和側視圖完全一樣時，它的正視圖為：a俯視圖為：b應選：A【點評】此題考察的知識點是簡單空間圖形的三視圖，難度不大，屬于根底題【編號第13題】132012我國古代數(shù)學家利用牟合方蓋如圖甲找到了球體體積的計算方法牟合方蓋是由兩個圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共局部形成的幾何體圖乙所示的幾何體是可以形成牟合方蓋的一種模型，它的主視圖是ABCD【考點】簡單組

17、合體的三視圖【分析】根據(jù)主視圖的定義，得出圓柱以及立方體的擺放即可得出主視圖為3個正方形組合體，進而得出答案即可【解答】：利用圓柱直徑等于立方體邊長，得出此時擺放，圓柱主視圖是正方形，得出圓柱以及立方體的擺放的主視圖為兩列，左邊一個正方形，右邊兩個正方形，應選：B【點評】此題主要考察了幾何體的三視圖；掌握主視圖是從幾何體正面看得到的平面圖形是解決此題的關鍵【編號第14題】14【2016四?！磕埠戏缴w是我國古代數(shù)學家徽在研究球的體積的過程中構造的一個和諧優(yōu)美的幾何體它由完全一樣的四個曲面構成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上，好似兩個扣合牟合在一起的方形傘方蓋其直觀圖如圖1，圖2中四邊形是為表

18、達其直觀性所作的輔助線當其正視圖和側視圖完全一樣時，它的正視圖和俯視圖分別可能是Aa，bBa，cCc，bDb，d【考點】簡單空間圖形的三視圖【分析】相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上，好似兩個扣合牟合在一起的方形傘方蓋根據(jù)三視圖看到方向，可以確定三個識圖的形狀，判斷答案【解析】：因為相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上，好似兩個扣合牟合在一起的方形傘方蓋所以其正視圖和側視圖是一個圓，因為俯視圖是從上向下看，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上所以俯視圖是有2條對角線且為實線的正方形，應選：A【點評】此題很是新穎，三視圖是一個?？嫉娜荩瑢τ趲缀误w，他描述的應該熟悉，想想出它的樣子，才能夠作對此題【編

19、號第15題】152015春麻城市校級期中徽在他的九章算術注中提出一個獨特的方法來計算球體的體積：他不直接給出球體的體積，而是先計算另一個叫牟合方蓋的立體的體積徽通過計算，牟合方蓋的體積與球的體積之比應為4：，即V牟：V球=4：也導出了牟合方蓋的體積計算公式，即V牟=r3V方蓋差，從而計算出V球=記所有棱長都為r的正四棱錐的體積為V正，則AV方蓋差V正BV方蓋差=V正CV方蓋差V正D以上三種情況都有可能【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積【分析】計算出V方蓋差，V正，即可得出結論【解析】：由題意，V方蓋差=r3V牟=r3=r3，所有棱長都為r的正四棱錐的體積為V正=r3，所以V方蓋差V正應選：A【點評

20、】此題考察新定義，考察體積的計算，考察學生分析解決問題的能力，比擬根底【編號第16題】16【2016校級模擬】牟合方蓋是我國古代數(shù)學家徽在研究球的體積的過程中構造的一個和諧優(yōu)美的幾何體它由完全一樣的四個曲面構成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上，好似兩個扣合牟合在一起的方形傘方蓋其直觀圖如圖，圖中四邊形是為表達其直觀性所作的輔助線當其主視圖和側視圖完全一樣時，它的俯視圖可能是ABCD【考點】簡單空間圖形的三視圖【分析】相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上，好似兩個扣合牟合在一起的方形傘方蓋根據(jù)三視圖看到方向，可以確定三個識圖的形狀，判斷答案【解析】：因為相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上，好似

21、兩個扣合牟合在一起的方形傘方蓋所以其正視圖和側視圖是一個圓，因為俯視圖是從上向下看，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上所以俯視圖是有2條對角線且為實線的正方形，應選：B【點評】此題考察了幾何體的三視圖，屬于根底題7、米谷粒分問題【編號第17題】17【2015】我國古代數(shù)學名著九章算術有米谷粒分題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒夾谷28粒，則這批米夾谷約為A134石B169石C338石D1365石【考點】隨機抽樣和樣本估計總體的實際應用【分析】根據(jù)254粒夾谷28粒，可得比例，即可得出結論【解析】：由題意，這批米夾谷約為1534169石，應選：B【點評

22、】此題考察利用數(shù)學知識解決實際問題，考察學生的計算能力，比擬根底【編號第18題】18【2016三?！课覈糯鷶?shù)學名著數(shù)學九章中有云：今有木長二丈四尺，圍之五尺生其下，纏木兩周，上與木齊，問長幾何？其意思為圓木長2丈4尺，圓周為5尺，藤從圓木的底部開場向上生長，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問藤最少長多少尺注：1丈等于10尺A29尺B24尺C26尺D30尺【考點】多面體和旋轉體外表上的最短距離問題【分析】由題意，圓柱的側面展開圖是矩形，一條直角邊即木棍的高長24尺，另一條直角邊長52=10尺，利用勾股定理，可得結論【解析】：由題意，圓柱的側面展開圖是矩形，一條直角邊即木棍的高長24尺，另一條直

23、角邊長52=10尺，因此藤長=26尺應選：C【點評】此題考察旋轉體外表上的最短距離問題，考察學生的計算能力，正確運用圓柱的側面展開圖是關鍵7、祖暅原理【編號第19題】19聯(lián)想祖暅原理，計算曲線y=ln*與y=ln*+1以及y=1所圍成的封閉區(qū)域的面積為【分析】此題考察的知識點是簡單線性規(guī)劃的應用，我們要先畫出曲線y=ln*與y=ln*+1以及y=1所圍成的封閉區(qū)域，然后分析平面區(qū)域的形狀，進而利用祖暅原理求出封閉區(qū)域的面積【解析】曲線y=ln*與y=ln*+1以及y=1所圍成的封閉區(qū)域如下圖：由祖暅原理我們易得：該不規(guī)則圖形的面積等于一個底為1，高為2的矩形面積故S=21=2故答案為：2【編號第20題】20在平面上，將兩個半圓弧和、兩條直線和圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影局部記D繞y軸旋轉一周而成的幾何體為，過作的水平截面，所得截面面積為，試利用祖暅原理、一個平放的圓柱和一個長方體，得出的體積值為_【解析】根據(jù)提示，一個半徑為1，高為的圓柱平放，一個高為2，底面面積的長方體，這兩個幾何體與放在一起，根據(jù)祖暅原理，每個平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即的體積值為【考點定位】考察旋轉體組合體體積的計算，重點考察空間想象能力，屬難題?！揪幪柕?1題】21