《線性代數(shù)》學習指導矩陣的特征值與特征向量(43P)

1、第五章 矩陣的特征值與特征向量內(nèi)容提要1 . 特征值和特征向量定義1 設是數(shù)域P上的n階矩陣，若對于數(shù)域P中的數(shù)，存在數(shù)域P上的非零n維列向量X，使得 則稱為矩陣A的特征值，稱X為矩陣A屬于（或?qū)冢┨卣髦档奶卣飨蛄孔⒁猓?）是方陣； 2）特征向量 X 是非零列向量； 3）方陣 與特征值 對應的特征向量不唯一 4）一個特征向量只能屬于一個特征值. = 2 * Arabic 2特征值和特征向量的計算計算矩陣A的特征值與特征向量的步驟為：（1） 計算n階矩陣A的特征多項式EA；（2） 求出特征方程EA的全部根，它們就是矩陣A的全部特征值；（3） 設1 ，2 ， ，s 是A的全部互異特征值。 對于

2、每一個i，解齊次線性方程組0，求出它的一個基礎(chǔ)解系，該基礎(chǔ)解系的向量就是A屬于特征值i的線性無關(guān)的特征向量，方程組的全體非零解向量就是A屬于特征值i的全體特征向量. = 3 * Arabic 3 特征值和特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1 （1）若X是矩陣A屬于特征值的特征向量，則kX（）也是A屬于的特征向量； （2）若是矩陣A屬于特征值的特征向量，則它們的非零線性組合也是A屬于的特征向量； （3）若A是可逆矩陣，是A的一個特征值，則是A1的一個特征值，是A*的一個特征值； （4）設是n階矩陣A的一個特征值，f（x）= amxm + am-1xm-1 + + a1x + a0為一個多項式，則是f（A）的一個

3、特征值。性質(zhì)2（1） （2） 性質(zhì)3 n階矩陣A和它的轉(zhuǎn)置矩陣有相同的特征值性質(zhì)4 n階矩陣A 不同的特征值所對應的特征向量線性無關(guān)4. 相似矩陣定義2 設A、B為n階矩陣，若存在可逆矩陣P，使得P1P 則稱A與B相似。記作AB. 并稱P為相似變換矩陣. 矩陣的相似關(guān)系是等價關(guān)系，滿足：1 反身性：AA. 2 對稱性：若A，則A. 3 傳遞性：若A，B 則 A.5矩陣相似的性質(zhì)：設A、B為n階矩陣，若AB，則 （1） ； （2） ；（3）A、B 有相同的跡和特征多項式，相同的特征值；（4） A，B或者都可逆或者都不可逆. 當A，B都可逆時，； （5）設f（x）= amxm + am-1xm-1

4、 + + a1x + a0 為一個多項式，則 f（A） f（B） ； 6n階矩陣A相似對角化的條件（1）n階矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量.（2）n階矩陣A與對角陣相似的充要條件是A的每個k重特征值恰好對應有k個線性無關(guān)的特征向量.注（1）與單位矩陣相似的 n 階矩陣只有單位陣 E 本身，與數(shù)量矩陣 kE 相似的 n 階方陣只有數(shù)量矩陣 kE本身（2）有相同特征多項式的矩陣不一定相似。7n階矩陣A相似對角化的方法（1）解特征方程，求出的全部特征值，設是重根（2）對每個特征值，解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系；（3）令可逆矩陣 則8.實對稱矩陣的特征值和特征向量8.

5、 = 1 * Arabic 1實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)實對稱矩陣的不同特征值對應的特征向量是正交的對于任意一個n階實對稱矩陣A，都存在一個n階正交矩陣Q，使得為對角陣8.2 用正交變換法化實對稱陣為對角陣的步驟 1） 解特征方程求出對稱陣的全部的特征值（根），設是重根；2）對每個特征值，解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系3）將基礎(chǔ)解系正交單位化，得正交 單位向量組4）令可逆矩陣則 = 2 * CHINESENUM3 二重點難點 = 1 * GB1 矩陣的特征值和特征向量 矩陣的特征值與特征向量的定義、性質(zhì)與求法；矩陣的特征值與跡、矩陣行列式的關(guān)系. = 2 *

6、Arabic 2 相似矩陣與矩陣對角化矩陣對角化的必要條件與充分條件；矩陣對角化的判定與對角化的方法；矩陣對角化的應用. = 3 * Arabic 3 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)，實對稱矩陣正交相似于對角陣的化法.三學習要求理解矩陣的特征值、特征向量的概念，掌握矩陣特征值的性質(zhì)，掌握求矩陣特征值和特征向量的方法.理解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質(zhì)，掌握矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法.掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì).掌握實對稱陣化為正交相似對角陣的方法.四典型題分析 例1 設A是四階矩陣，已知則A的伴隨矩陣的一個特征值是_分

7、析：考慮根據(jù)可得A的一個特征值，再根據(jù)A與其伴隨矩陣的關(guān)系即可求解.解 由于，于是有是A的一個特征值.又由于易知 由，所以是A的一個特征值，則是的特征值，因此的一個特征值是例2 已知三階矩陣A=有三個線性無關(guān)的特征向量，則參數(shù)=_分析 三階矩陣A有三個線性無關(guān)的特征向量，則A可以對角化，可通過先求特征根中的重根再代入即可求得解 矩陣A的特征多項式為 解得矩陣A的特征值為因為A有個線性無關(guān)的特征向量，所以A可以對角化，則其二重根有兩個線性無關(guān)的特征向量。于是，對作初等變換，有例設矩陣 A、B 均為階矩陣，則矩陣A與B相似的充分條件是：A與B有相同的特征值.A與B有相同的特征向量.A與B和同一矩陣

8、相似.與相似.分析 A與B有相同的特征值不一定相似，因為不一定能找到可逆矩陣，使 （ = 2 * ALPHABETIC B） 顯然，易舉反例 （ = 3 * ALPHABETIC C）由相似的傳遞性可知正確 （ = 4 * ALPHABETIC D）舉反例：設 顯然相似，但是矩陣A與B不相似解 選(A)例4設矩陣，其行列式，又的伴隨矩陣有一個特征值，屬于的一個特征向量為，求的值 .分析 本題可根據(jù)特征值和特征向量的定義求得未知參數(shù).解 根據(jù)題設可得： 兩邊同時左乘得 ： 即所以有由此可得： 解得：由于 又得：因此：例5：設矩陣 ，已知有3個線性無關(guān)的特征向量，是的二重特征值，試求可逆矩陣，使得

9、為對角陣.分析 根據(jù)有3個線性無關(guān)的特征向量，是的二重特征值，代入，即可求出中未知參數(shù)。解 因為有3個線性無關(guān)的特征向量，是的二重特征值，所以的屬于的線性無關(guān)的特征向量必有2個 ，故秩 即：于是解得：矩陣 先求的特征值：最后解得可逆矩陣：例6設階矩陣 .() 求的特征值和特征向量;() 求可逆矩陣, 使得為對角矩陣.解 () 當時， ,得的特征值為，對，解得，所以的屬于的全部特征向量為(為任意不為零的常數(shù))對， 得基礎(chǔ)解系為，故的屬于的全部特征向量為(是不全為零的常數(shù))當時，,特征值為，任意非零列向量均為特征向量() 當時，有個線性無關(guān)的特征向量，令，則當時，對任意可逆矩陣, 均有 【注】本題

10、通過考查矩陣的特征值和特征向量而間接考查了行列式的計算, 齊次線性方程組的求解和矩陣的對角化等問題, 屬于綜合性的題. 另外,本題的解題思路是容易的, 只要注意矩陣中含有一個未知參數(shù), 從而一般要討論其不同取值情況.例7設是階矩陣A的兩個不同的特征值，是A的屬于的特征向量，試證明不是A的特征向量.分析 該結(jié)論用定義即可證明，為敘述方便運用反證法.證明 用反證法。設是的屬于特征值的特征向量，則 因為是屬于特征值的特征向量，且，則有：代入上式，有： 于是 即 由于屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)，故 從而 與已知矛盾，所以不是A的特征向量.五習題解析 習題7.11. (1) 若A2 = E，證明A

11、的特征值為1或1;(2) 若A2 = A，證明A的特征值為0或1.證明（1）（2）2. 若正交矩陣有實特征值，證明它的實特征值為1或 1.證明3求數(shù)量矩陣A=aE的特征值與特征向量.解所以：特征值為a(n重), A屬于a的特征向量為 k1(1,0,0)T + k2(0,1,0)T + kn(0,0,1)T ，(k1, k2, , kn不全為0)4求下列矩陣的特征值與特征向量.（1） （2）（3）（4）解（1）A屬于特征值1的全部特征向量為k(1,0,0)T ，(k0)A屬于特征值2的全部特征向量為k(1，2，1)T，(k0)解（2）將其代入，求得特征向量：，不全為零 解（3）代入，求得特征向量

12、：A屬于特征值-1的全部特征向量為k(1,-1,0)T ，(k0)；A屬于特征值1的全部特征向量為k(1,-1,1)T ，(k0)；A屬于特征值3的全部特征向量為k(0,1,-1)T ，(k0)解（4）特征值為-1，-1，-1；A屬于特征值-1的全部特征向量為k(1,1,-1)T ，(k0)解（5）設為的任一特征值，的屬于的特征向量為：，則 于是 而故 =0，因為特征向量，所以 ，即矩陣的所有特征值為0. 解得基礎(chǔ)解系：特征值為0（n重）；A屬于n重特征值0的全部特征向量為：k1+ k2+ + kn1（ k1，k2，kn1不全為零）解 (1）(2）6. 已知12是矩陣的一個特征值，求a的值.解

13、7. 已知X = 是矩陣A = 的一個特征向量.求k及X所對應的特征值.解 習題7.2判斷習題7.1第4題中各矩陣能否與對角矩陣相似.如果相似，求出相似變換矩陣與對角矩陣.1）2）二重根有兩個線性無關(guān)的特征向量，可以對角化.相似變換矩陣為 對角陣為3）矩陣有三個互異的特征值，故可以對角化. 對角陣為4）不能對角化.5），所以可以對角化.2判斷下列矩陣是否與對角陣相似，若相似，求出可逆矩陣P,使為對角陣.（1） （2）解 (1) 代入解得對應的特征向量分別為：所以：可逆矩陣 解 (2)3設A是一個3階矩陣，已知A的特征值為1，1，0，A屬于這3個特征值的特征向量分別為求A.解 A有三個互異的特征

14、值，所以可以對角化.4計算解 ，5設 A與B相似.求a,b的值；求可逆矩陣P,使=B.解 1）A與B相似，故A與B有相同的特征多項式，即： （2）最后解得可逆矩陣使得6. 設A =與對角陣相似，求x，y滿足的條件.解由于與對角矩陣相似，7設A與B相似，f（x）= a0 xn + a1xn1 + + an1x + an（a0 0），證明 f（A）與 f（B）相似證明故f（A）與 f（B）相似8若A與B相似，C與D相似，證明 與 相似.證明習題7.31求正交矩陣Q，使為對角陣.(1) （2）解 （1）先求特征值和特征向量解得特征向量：于是構(gòu)成正交矩陣 ,解（2）先求特征值和特征向量單位化于是構(gòu)成正

15、交矩陣 2已知 = 6，= 3是實對稱矩陣A的三個特征值，A的屬于 = 3的特征向量為X2 = ， X3 = ，求A的屬于= 6的特征向量及矩陣A 解 令的屬于的特征向量為：且A的屬于的特征向量為：解 （1）的另一特征值為0，令其相應的特征向量為，滿足習題七(A)一、填空題1已知3階矩陣A的特征值為1，3，-2，則A-E的特征值為 , 的特征值為 的特征值為 .解 A-E的特征值為A的特征值減1，故A-E的特征值為0，2，-3.的特征值為2n階矩陣A的特征值為1，2 ，3 ， ，n ，則 .解3. 已知3階矩陣A的特征值為1，3，5，則= .解4. 設A為3階方陣，且，則= ， = ，= .解

16、由題意知：5若3階方陣A與B相似，A的特征值為，則= . 解6已知3階矩陣A-1的特征值為1，2，3，則的特征值為 . 解7. 已知矩陣的特征值為1,2,3,則x= .解8. 已知3階矩陣A的特征值為1，3，2，則的特征值為 .解9. 設A，B均為3階方陣，A 的特征值為1，2，3，= 1，則= . 解10. 設 有相同的特征值，則a= ， b = .解有相同的特征值，即11. 已知矩陣A的各行元素之和為2,則A有一個特征值為 .解顯然A有一個特征值為212已知0是的一個特征值，則a= . 解 由于0是的一個特征值，則：，即，即二、單項選擇題1. 若4階方陣A與B相似，A的特征值為，則（ ）.

17、 (A) 24 (B) -24 (C) -32 (D) 32解 選(A)2. 設A為n階矩陣,為A的一個特征值,則A的伴隨矩陣的一個特征值為( ).解 3. 設A為n階矩陣, X為A屬于的一個特征向量, 則與A相似的矩陣B=P-1AP的屬于的一個特征向量為( ).(A) PX (B) P-1X (C) P TX (D) P nX解4. 已知X = 是矩陣A = 的一個特征向量,則a,b的值分別為( ).(A) 5, 2 (B) -1, 3 (C) 1, -3 (D) -3, 1解選(D)5. 下列結(jié)論正確的是( ).X1, X2是方程組()X=O的一個基礎(chǔ)解系, 則k1X1+k2X2是A的屬于

18、的全部特征向量,其中k1, k2 是全不為零的常數(shù)A, B有相同的特征值, 則A與B相似如果=0, 則A至少有一個特征值為零若同是方陣A與B的特征值, 則也是A+B的特征值解(C) 正確 （D）顯然不是A+B的特征值6. 設1 ，2是矩陣A的兩個不相同的特征值，是A的分別屬于1 ，2的特征向量，則（ ）.（A）對任意k1 0 ，k2 0 ，k1 + k2都是A的特征向量（B）存在常數(shù)k1 0 ，k2 0 ，使k1 + k2是A的特征向量（C）當k1 0 ，k2 0時 ，k1 + k2不可能是A的特征向量（D）存在唯一的一組常數(shù)k1 0 ，k2 0 ，使k1 + k2是A的特征向量解（A）顯然不

19、成立；（B）不存在；（C）正確；（D）不存在.所以選（C）7. 與矩陣相似的矩陣是（ ）. 解是二重根，將分別代入,只有在(C)中，故選(C)8. 下列矩陣中,不能相似對角化的是( ).解 答案(C)中，是三重特征值，代回中，顯然(C)不能對角化.9. 若A與B相似，則（ ）.（A） （B） （C） A=B （D） A*= B*解 因為存在可逆矩陣,使則選(B)10. 設向量=（a1 ，a2 ， ，an）T ，=（b1 ，b2 ， ，bn）T都是非零向量，且滿足條件T= 0，記n階矩陣A =T,則( ). (A) A是可逆矩陣 (B) A2不是零矩陣 (C) A的特征值全為0 (D) A的特征

20、值不全為0解故的特征值全為零，而若設A的特征值為，則的特征值為，顯然有 選(C) (B)1設3階矩陣A的特征值為1，2，3，對應的特征向量分別為解（1）由題意 （2）化為線性方程組形式求解，得增廣矩陣（3）解2設A為4階方陣，且，=9，（1）求的一個特征值；（2）的一個特征值.解（1）由已知：（2）3已知向量X = 是可逆矩陣A = 的伴隨矩陣的一個特征向量，求a,b與X所對應的特征值解 兩邊同乘以 得解得：4. A是n階正交矩陣，證明1是A的特征值.證明5. 設A是正交矩陣，證明故是的特征值，也是的特征值.6已知矩陣解7，已知A可相似對角化，求與它相似的對角陣和An.解 先求A的特征值：是二重特征值，則有：解得特征向量解得特征向量：所以得相似變換矩陣：8設A是3階方陣，A有3個不同的特征值1，2，3，對應的特征向量依次為令證明：線性無關(guān).解線性無關(guān)，（它們是不同特征值所對應的特征向量）故有：由于 （范德蒙行列式結(jié)論）所以方程只有零解.即線性無關(guān)9若A與B相似且A可逆，證明：A*與B*相似.證明