2.1.3函數(shù)的單調(diào)性課件

1、2.1.3 函數(shù)的單調(diào)性 教學(xué)目標(biāo) 知識與技能過程與方法 理解函數(shù)的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x，學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì) 通過實(shí)例，使學(xué)生體會到函數(shù)的最大（?。┲?，實(shí)際上是函數(shù)圖象的最高（低）點(diǎn)的縱坐標(biāo)，因而借助函數(shù)圖象的直觀性可得出函數(shù)的最值，有利于培養(yǎng)以形識數(shù)的解題意識 利用函數(shù)的單調(diào)性和圖象求函數(shù)的最大（?。┲?，解決日常生活中的實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性情感態(tài)度與價值觀 教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)函數(shù)的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x.難點(diǎn)利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大（?。┲?問題1畫出f(x)=x的圖像，并觀察其圖像。2、在區(qū)間 _上，隨著x的增大，f(x)的值隨著 _. o5-5-55f

2、(x)=x1、從左至右圖象上升還是下降 _?上升增大1、在區(qū)間 _ 上，f(x)的值隨著x的增大而 _.問題2畫出 的圖像，并觀察圖像.o5-5-552、 在區(qū)間 _ 上，f(x)的值隨著x的增大而 _. (-,0(0,+)減小增大 對于二次函數(shù) ，我們可以這樣描述“在區(qū)間 上，隨x的增大，相應(yīng)的f(x)也隨著增大”. 在區(qū)間 上，任取兩個 ，得到，當(dāng)時，有這時，我們就說函數(shù) 在區(qū)間 上是這增函數(shù).xy21013 （1）對于函數(shù)y= f(x) ，若在區(qū)間 I 上，當(dāng)x1時, y1; 當(dāng) x2時, y3 , 能說在區(qū)間 I 上函數(shù)值 y 隨自變量 x的增大而增大嗎?思考 （2）對于函數(shù)y= f(

3、x) ，若在區(qū)間 I 上，當(dāng)x1, 2, 3, 4, 時, 相應(yīng)地 y1, 3, 4, 5，能說在區(qū)間 I 上函數(shù)值y 隨自變量x 的增大而增大嗎？思考xy103421234xyx10 x2x3xny1y2y3ynx應(yīng)該取區(qū)間I內(nèi)所有實(shí)數(shù) (3) 對于函數(shù)y= f(x)若 區(qū)間I 上有n個數(shù)x1 x2x3 xn，它們的函數(shù)值滿足: y1 y2y3 yn時，能說在區(qū)間 I 上 y 隨 x 的增大而增大嗎 ？思考若x取無數(shù)個呢? 能否仿照前面的描述，說明函數(shù) 在區(qū)間(-,0上是減函數(shù)嗎？ 在區(qū)間(-,0 上，任取兩個 ，得到，當(dāng)時，有這時，我們就說函數(shù) 在區(qū)間 上是這減函數(shù).函數(shù)單調(diào)性的概念： 一

4、般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù),如圖1 .1增函數(shù)知識要點(diǎn) 一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2 ，當(dāng)x1f(x2) ，那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù) ,如圖2.yx0 x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)圖1yx0 x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)圖2 1、函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì). 2 、必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；當(dāng)x

5、1x2時，總有f(x1)f(x2) 分別是增函數(shù)和減函數(shù).注意在某區(qū)間上，減函數(shù)圖象下降。 增函數(shù)圖象上升xyoxyo 如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.函數(shù)的單調(diào)性定義例1 下圖是定義在區(qū)間-4,5上的函數(shù)y=f (x)，根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？12345-1-2-3-4-2-323o解：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有-4，-2)，-2，-1)，-1，1)，1，3)，3，5,其中y=f (x)在區(qū)間-4，-2)， -1，1)， 3，5上是增

6、函數(shù)，在區(qū)間-2，-1)， 1，3)上是減函數(shù). 例2 物理學(xué)中的玻意耳定律 告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時，壓強(qiáng)p將增大,試用函數(shù)單調(diào)性證明之.分析：按題意就是證明函數(shù) 在區(qū)間 上是減函數(shù).證明：根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)V1，V2是定義域(0，+)上的任意兩個實(shí)數(shù)，且V1V2，則由V1，V2 (0，+)且V10, V2- V1 0又k0,于是所以，函數(shù) 是減函數(shù).也就是說，當(dāng)體積V減少時，壓強(qiáng)p將增大.取值定號作差變形結(jié)論用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟是：（1）取值（2）作差變形（3）定號（4）判斷根據(jù)單調(diào)性的定義得結(jié)論 即取 是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值且 即求 ，通過因式分解、配方、有理

7、化等方法 即根據(jù)給定的區(qū)間和 的符號的確定 的符號例 求證：函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)增函數(shù)，則證明：在區(qū)間（0，+）上任取兩個值 且 又因?yàn)?， ，所以說 即函數(shù) 在區(qū)間（0，+）上是單調(diào)增函數(shù).若把區(qū)間改為 ,結(jié)論變化嗎 ? 思考自己動手做一下吧若把函數(shù)改為結(jié)論變化嗎？探究畫出反比例函數(shù) 的圖象 1 這個函數(shù)的定義域是什么？ 2 它在定義域I上的單調(diào)性怎樣？證明你的結(jié)論xy0 xx0分兩個區(qū)間(0，+)， （- ，0）來考慮其單調(diào)性.函數(shù)f(x)=1/x 在(0，+)上是減函數(shù).f(x1)- f(x2)=由于x1,x2 得x1x20,又由x10所以f(x1)- f(x2)0, 即f(x1) f

8、(x2).證明：（1）在區(qū)間(0，+)上，設(shè)x1,x2是(0，+)上任意兩個實(shí)數(shù)，且x1x2，則（2）在區(qū)間（- ，0）上，同理可得到函數(shù)f(x)=1/x 在（- ，0）上是減函數(shù)。綜上所述，函數(shù)f(x)=1/x 在定義域上是減函數(shù).下列兩個函數(shù)的圖象： 圖1ox0 xMyyxox0圖2M觀 察 觀察這兩個函數(shù)圖象，圖中有個最高點(diǎn)，那么這個最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫什么呢？思考 設(shè)函數(shù)y=f(x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為M，則對函數(shù)定義域內(nèi)任意自變量x，f(x)與M的大小關(guān)系如何？思考f(x) M(0)=1O122、存在0，使得(0)=1.1、對任意的 都有(x)1.1是此函數(shù)的最大值知識要點(diǎn)M是函數(shù)y=

9、 f (x)的最大值（maximum value）： 一般地，設(shè)函數(shù)y= f (x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對于任意的x I，都有f (x) M;（2）存在 ，使得 . 一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果實(shí)數(shù)M滿足：（1）對于任意的的xI，都有f(x) M;（2）存在 ，使得 ，那么我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值（minimun value）. 能否仿照函數(shù)的最大值的定義，給出函數(shù)y=f(x)的最小值的定義呢？思考 函數(shù)的最大值是函數(shù)值域中的一個元素嗎？思考是 如果在函數(shù)f(x)定義域內(nèi)存在x1和 x2，使對定義域內(nèi)任意x都有 成立，由此你能得到什么結(jié)論？如果函數(shù)f(x)的最大值是b，最小值是a，那么函數(shù)f(x)的值域是a，b嗎？思考函數(shù)f(x)在定義域中既有最大值又有最小值.探究:函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)的最值