中國東南地區(qū)數(shù)學奧林匹克競賽試題及答案

1、第六屆中國東南地區(qū)數(shù)學奧林匹克競賽試題第一天（2009年7月28日上午8：0012：00）江西南昌1. 試求滿足方程的所有整數(shù)對（張鵬程供題）2. 在凸五邊形中，已知，且四點共圓證明：四點共圓的充分必要條件是（熊斌供題）3. 設，；求證： （唐立華供題）4. 在一個圓周上給定十二個紅點；求的最小值，使得存在以紅點為頂點的個三角形，滿足：以紅點為端點的每條弦，都是其中某個三角形的一條邊（陶平生供題）第六屆中國東南地區(qū)數(shù)學奧林匹克競賽試題第二天（2009年7月29日上午8：0012：00）江西南昌5設的所有排列的集合為；，記，；求（其中表示集合的元素個數(shù)）（熊斌供題）6已知、分別是的外接圓和內切圓

2、；證明：過上的任意一點，都可以作一個三角形，使得、分別是的外接圓和內切圓（陶平生供題）7 設， 其中 ，且 求的最大值和最小值（李勝宏供題）8在88方格表中，最少需要挖去幾個小方格，才能使得無法從剩余的方格表中裁剪出一片形狀如下完整的型五方連塊？ （孫文先供題）1. 試求滿足方程的所有整數(shù)對（張鵬程供題）解： 設整數(shù)對滿足方程 （1），將其看作關于的一元二次方程，其判別式的值應為一完全平方數(shù)； 若，則； 若，則可取，相應的值分別為和 ，它們皆不為平方數(shù)； 因此，僅當時，為完全平方數(shù)若，方程（1）化為， 解得或；若，方程（1）化為 ，解得或綜上可知，滿足原方程的全部整數(shù)對為：2. 在凸五邊形中，

3、已知，且四點共圓證明：四點共圓的充分必要條件是（熊斌供題）證明：必要性：若共圓，則由，得，所以，故得；充分性：記所共的圓為，若，則圓心在的中垂線上，設點關于的對稱點為，則在上，且因，即，所以不共點，且，又由，知，因此，故由，得共圓，即點在上，也即點在上，從而共圓3. 設，；求證： （唐立華供題）證明：先證不能構成三角形的三邊因為，所以 ()()() ,于是 ()()(),故 4. 在一個圓周上給定十二個紅點；求的最小值，使得存在以紅點為頂點的個三角形，滿足：以紅點為端點的每條弦，都是其中某個三角形的一條邊（陶平生供題）解：設紅點集為：，過點的弦有條，而任一個含頂點的三角形，恰含兩條過點的弦，故

4、這條過點的弦，至少要分布于個含頂點的三角形中；同理知，過點的弦，也各要分布于個含頂點的三角形中，這樣就需要個三角形，而每個三角形有三個頂點，故都被重復計算了三次，因此至少需要個三角形再說明，下界可以被取到不失一般性，考慮周長為的圓周，其十二等分點為紅點，以紅點為端點的弦共有條若某弦所對的劣弧長為，就稱該弦的刻度為；于是紅端點的弦只有種刻度，其中，刻度為的弦各條，刻度為的弦共條； 如果刻度為（）的弦構成三角形的三條邊，則必滿足以下兩條件之一：或者；或者；于是紅點三角形邊長的刻度組只有如下種可能：；下面是刻度組的一種搭配：取型各六個，型四個；這時恰好得到條弦，且其中含刻度為的弦各條，刻度為的弦共條

5、；今構造如下：先作型的三角形各六個，型的三角形三個，再用三個型的三角形來補充型六個：其頂點標號為：；型六個：其頂點標號為：；型六個：其頂點標號為：；型三個：其頂點標號為：；型三個：其頂點標號為：（每種情況下的其余三角形都可由其中一個三角形繞圓心適當旋轉而得）這樣共得到個三角形，且滿足本題條件，因此，的最小值為 第六屆中國東南地區(qū)數(shù)學奧林匹克試題解答第二天5設的所有排列的集合為；，記，；求（其中表示集合的元素個數(shù)）（熊斌供題）解：我們一般地證明，若，對于前個正整數(shù)的所有排列構成的集合，若，則下面用數(shù)學歸納法證明：當時，由排序不等式知，集合中的最小元素是，最大元素是又，所以，=共有11=個元素因此

6、，時命題成立假設命題在（）時成立；考慮命題在時的情況對于的任一排列，恒取，得到的一個排列，則由歸納假設知，此時取遍區(qū)間上所有整數(shù)再令，則，再由歸納假設知，取遍區(qū)間上的所有整數(shù)因為，所以，取遍區(qū)間上的所有整數(shù)即命題對也成立由數(shù)學歸納法知，命題成立由于 ，從而，集合的元素個數(shù)為特別是，當時，6已知、分別是的外接圓和內切圓；證明：過上的任意一點，都可作一個三角形，使得、分別是的外接圓和內切圓（陶平生供題）證：如圖，設，分別是的外接圓和內切圓半徑，延長交于，則，延長交于；則，即；過分別作的切線，在上，連，則平分，只要證，也與相切；設，則是的中點，連，則，所以，由于在角的平分線上，因此點是的內心，（這是

7、由于，而，所以，點是的內心）即弦與相切7設， 其中 ，且 求的最大值和最小值（李勝宏供題）解：先證當且僅當時等號成立.因 由哥西不等式:，因為從而 當且僅當時等號成立.再證當時等號成立.事實上，=故，當時等號成立另證：設，若，則；下設，由式，要證，只要證， 注意到，于是等價于即 而由柯西不等式，可得即成立，從而，故，當時等號成立.8在88方格表中，最少需要挖去幾個小方格，才能使得無法從剩余的方格表中裁剪出一片形狀如下完整的型五方連塊？ （孫文先供題）答：至少要如下圖挖去14個小方格如右圖，將88棋盤切為五個區(qū)域中央部份的區(qū)域至少要挖去2個小方格才能使T形的五方塊放不進去。二個打叉的位置是不等同的位置，一個是在角落位置，另一個是內部位置，只挖去其中一個無法避免T置入對于在邊界的四個全等的區(qū)域，每區(qū)域至少要挖去3個小方格才能使T形的五方塊放不進去證明：以右上角的區(qū)域為例，下方T部份