抽樣定理ppt課件

1、抽樣定理空間-帶寬積.抽樣定理的由來和意義實(shí)踐的宏觀物理過程都是延續(xù)變化的，物理量的空間分布也是延續(xù)變化的。 在今天的數(shù)字時(shí)代，延續(xù)變化的物理量要用它的一些離散分布的采樣值來表示，而且這些采樣值的表達(dá)方式也是離散的 這些離散的數(shù)字表示的物理量的含義或者說包含的信息量與原先的延續(xù)變化的物理量能否一樣？ 能否可以由這些抽樣值準(zhǔn)確恢復(fù)一個(gè)延續(xù)的原函數(shù)？ 本書用的是惠特克香農(nóng)Whittaker-Shannon抽樣定理的二維方式 . 函數(shù)的抽樣 最簡(jiǎn)單的抽樣方法是用二維梳狀函數(shù)與被抽樣的函數(shù)相乘 假設(shè)被抽樣的函數(shù)為 ，抽樣函數(shù)可表示為 梳狀函數(shù)是 函數(shù)的集合，它與任何函數(shù)的乘積就是無數(shù)分布在平面 上在

2、， 兩方向上間距為 和 的 函數(shù) 與該函數(shù)的乘積任何函數(shù)與 函數(shù)相乘的結(jié)果依然是 函數(shù)，只是 函數(shù)的“大小要被該函數(shù)在 函數(shù)位置上的函數(shù)值所調(diào)制。換句話說，每個(gè) 函數(shù)下的體積正比于該點(diǎn)函數(shù)的數(shù)值 .抽樣函數(shù).抽樣函數(shù)的頻譜 利用卷積定理和梳狀函數(shù)的傅里葉變換，可計(jì)算抽樣函數(shù)的頻譜 .抽樣函數(shù)的原函數(shù)的復(fù)原圖.奈奎斯特Nyquist抽樣間隔 假設(shè)函數(shù) 是限帶函數(shù)，即它的頻譜僅在頻率平面上一個(gè)有限區(qū)域內(nèi)不為零 假設(shè)包圍該區(qū)域的最小矩形在 和 方向上的寬度分別為 和 欲使圖中周期性復(fù)現(xiàn)的函數(shù)頻譜不會(huì)相互混疊，必需使 或者說抽樣間隔必需滿足 式中表示的兩方向上的最大抽樣間距和通常稱作奈奎斯特Nyqui

3、st抽樣間隔 .原函數(shù)頻譜的復(fù)原 要原函數(shù)的復(fù)原首先要恢復(fù)其頻譜 在滿足奈奎斯特抽樣間隔的情況下，只需用寬度 和 ,位于原點(diǎn)的矩形函數(shù)去乘抽樣函數(shù)的頻譜就可得到原來函數(shù)的頻譜。在頻率域進(jìn)展的這種操作去掉了部分頻譜成份，經(jīng)常稱作“濾波 用頻域中寬度 和 的位于原點(diǎn)的矩形函數(shù)為 濾波過程可寫作 .原函數(shù)的復(fù)原(1)做反變換就可直接得到原函數(shù)根據(jù)卷積定理，在空間域得到對(duì)上式左邊兩個(gè)因子分別進(jìn)展化簡(jiǎn)有 結(jié)果得到無數(shù) 函數(shù)與sinc函數(shù)的卷積和.原函數(shù)的復(fù)原(2)最后卷積的結(jié)果,原函數(shù)為假設(shè)取最大允許的抽樣間隔，即 ，并且 ，那么可見用sinc函數(shù)做為插值函數(shù)可以準(zhǔn)確恢復(fù)原函數(shù)(當(dāng)然要滿足必要的條件)

4、.抽樣定理的意義抽樣定理公式就是由抽樣點(diǎn)函數(shù)值計(jì)算在抽樣點(diǎn)之間所不知道的非抽樣點(diǎn)函數(shù)值，在數(shù)學(xué)上就是插值公式抽樣定理的重要意義在于它闡明，準(zhǔn)確的插值是存在的。也就是說，由插值準(zhǔn)確恢復(fù)原函數(shù)可以在一定條件下實(shí)現(xiàn)一個(gè)延續(xù)的限帶函數(shù)可以由其離散的抽樣序列替代，而不喪失任何信息因此抽樣定理是數(shù)字化社會(huì)的根底，其重要意義怎樣講也不過分 .抽樣定理證明圖解1.抽樣定理證明圖解2.抽樣頻率為奈奎斯特頻率一半時(shí)坐標(biāo)點(diǎn)值和斜率抽樣：既要取其抽樣點(diǎn)上的數(shù)值，由要取其導(dǎo)數(shù)值；交叉抽樣：在抽樣點(diǎn)左右取兩個(gè)抽樣值。.空間帶寬積 假設(shè)限帶函數(shù) 在頻域中 , 以外恒為零，根據(jù)抽樣定理，函數(shù)在空域中的范圍內(nèi)抽樣數(shù)至少為 式中

5、 表示函數(shù)在空域覆蓋的面積, 表示函數(shù)在頻域中覆蓋的面積。在該區(qū)域的函數(shù)可由數(shù)目為 的抽樣值來近似表示。問題：為什么是近似？抽樣定理不是準(zhǔn)確的嗎？ 空間帶寬積 就定義為函數(shù)在空域和頻域中所占有的面積之積： .空間帶寬積的意義空間帶寬積描畫空間信號(hào)如圖象，場(chǎng)分布的信息量，也可用來描畫成象系統(tǒng)、光信息處置系統(tǒng)的信息容量，即傳送與處置信息的才干?？臻g帶寬積決議了圖象最低必需分辨的象素?cái)?shù)，如數(shù)碼相機(jī)的技術(shù)目的空間帶寬積表達(dá)圖象的自在度或自在參數(shù)數(shù) 圖象是實(shí)函數(shù)，每一個(gè)抽樣值為一個(gè)實(shí)數(shù)，自在度為當(dāng)圖象是復(fù)函數(shù)，每一個(gè)抽樣值為一個(gè)復(fù)數(shù)，要由兩個(gè)實(shí)數(shù)表示。自在度增大一倍， .抽樣定理例題1.7假設(shè)二維不變線

6、性系統(tǒng)的輸入是“線脈沖 ，系統(tǒng)對(duì)線脈沖的輸出呼應(yīng)稱為線呼應(yīng) 。假設(shè)系統(tǒng)的傳送函數(shù)為 ，求證：線呼應(yīng)的一維傅里葉變換等于系統(tǒng)傳送函數(shù)沿 軸的截面分布 。 .抽樣定理例題1解證明：線脈沖本質(zhì)上也是二維的函數(shù)，只是沿 方向函數(shù)值不變，是常數(shù)1。系統(tǒng)對(duì)線脈沖的輸出呼應(yīng)，即線呼應(yīng)也是二維的函數(shù)，可表示為線呼應(yīng)的一維傅里葉變換那么為這就是系統(tǒng)傳送函數(shù)沿 軸的截面分布證畢。.抽樣定理例題1解續(xù)這里要留意的一點(diǎn)是 這是二維傅里葉變換的特點(diǎn)，另一個(gè)變量是隱含著的。.抽樣定理例題1.8假設(shè)一個(gè)空間不變線性系統(tǒng)的傳送函數(shù)在頻率域的區(qū)間 ， 之外恒為零，系統(tǒng)輸入為非限帶函數(shù) ，輸出為 。證明，存在一個(gè)由脈沖的方形陣列

7、構(gòu)成的抽樣函數(shù) ，它作為等效輸入，可產(chǎn)生一樣的輸出 ，并請(qǐng)確定 。 這一個(gè)習(xí)題也有重要的實(shí)踐意義，由于通常的光學(xué)成象系統(tǒng)都是空間不變線性系統(tǒng)的限帶低通成象系統(tǒng)。無論輸入函數(shù)能否是空間限帶函數(shù)，其輸出總是限帶函數(shù)。那么在對(duì)非限帶函數(shù)的圖象進(jìn)展成象操作時(shí)，能否可以用原圖象的抽樣來替代就是一個(gè)具有實(shí)踐意義的問題。抽樣定理并沒有給出回答，此題的結(jié)果卻給出了一定的答案，這使我們可以在輸入圖象是非限帶函數(shù)空間圖象時(shí)，也可以進(jìn)展抽樣操作，不影響成象的結(jié)果。 .抽樣定理例題 1.8 解法一此題給出了一個(gè)傳送函數(shù)為限帶函數(shù) 的系統(tǒng)，需求證明兩個(gè)不同的輸入 和 具有相等的輸出 和 ，即要證明這里提供一種逆向的思想，我們可以從與輸入函數(shù)對(duì)應(yīng)的輸出函數(shù)的頻譜中制造出一個(gè)具有一樣輸出頻譜的輸入限帶函數(shù)，這并不困難，進(jìn)一步再對(duì)這樣一個(gè)函數(shù)進(jìn)展抽樣就一定可以得到需求的等效輸入。.抽樣定理例題 1.8 解設(shè)系統(tǒng)的傳送函數(shù)為 ，由于它在頻率域的區(qū)間 ， 之外恒為零，故有 輸入函數(shù)的空間頻譜為 ，輸出函數(shù)的空間頻譜那么可化為新的函數(shù)的空間頻譜可以定義為.抽樣定理例題 1.8 解續(xù)1新的函數(shù)顯然是限帶輸入函數(shù)，且它經(jīng)過同樣系統(tǒng)會(huì)得到同樣的輸出，這樣一個(gè)限帶輸入函數(shù)是可以滿足抽樣定理的，因此可以抽樣得到需求的可作為等效輸入的由脈沖的方形陣列構(gòu)成的抽樣函數(shù)但是上面只得