初中畢業(yè)生學業(yè)考試中進行推理能力考查的一些思考(共8頁)

1、初中畢業(yè)生學業(yè)考試中進行推理能力考查(koch)的一些思考210013 江蘇教育(jioy)學院 章 飛在現(xiàn)實生活和科學研究中，人們需要把握事物之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，為此，需要通過一些現(xiàn)象或者已知的判斷作出新的推斷，這個過程就是一個推理的過程。因而推理能力是公民素質(zhì)的一個重要方面，是義務教育階段的一個重要目標。毋庸置疑，數(shù)學在發(fā)展學生推理能力方面，具有十分重要的作用。因此，數(shù)學課程標準把推理能力作為一個十分重要的數(shù)學教學目標。當然，同樣(tngyng)也成為學業(yè)考試的一個十分重要的課程目標。那么，推理能力的內(nèi)容有哪些，又如何進行推理能力的考查呢？從其內(nèi)容組成上看，推理能力包括演繹推理能力（邏輯

2、推理）和合情推理能力（如歸納、類比、統(tǒng)計推斷等），它們都是數(shù)學發(fā)展中不可缺少的兩種既不同又互補的推理能力，在數(shù)學學習中它們往往協(xié)同作用，因而它們都是推理能力考查的主體內(nèi)容。具體的，其內(nèi)容包括，能通過觀察、實驗、歸納、類比等活動獲得數(shù)學猜想；能對所做出的猜想進行適當?shù)淖糇C，能進行一些簡單的嚴密的邏輯論證，并有條理地表達自己的證明，與他人交流；能對他人結論進行合理的質(zhì)疑等。推理能力的發(fā)展，既可以在空間與圖形的教學中，也可以借助數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計與概率，甚至日常生活等領域，因此考查推理能力的現(xiàn)實載體也必將是多樣的。下面分別就合情推理、邏輯推理等談談推理能力考查的一些具體做法。當然，這幾者的考查應是一個整

3、體，只是為了描述的方便，將它們分開討論，并在各個部分各有側重而已。1在歸納、類比等活動過程中考察學生的合情推理能力歸納與類比等合情推理能力，在科學發(fā)現(xiàn)和學生發(fā)展中具有不可替代的作用，因此，應關注學生合情推理能力的考查。演繹是一個從一般到特殊的推理過程，而歸納是一個從特殊到一般的概括過程，類比是從具體到具體的遷移過程。因此，在合情推理能力的考查時，可以設計一些歸納性、類比性的活動，讓學生經(jīng)歷一個觀察、試驗等活動過程，在活動中通過對大量特殊情形的觀察猜想出一般情形的結論，或者通過一些簡單對象的研究推移猜想出有關復雜對象的結論，獲得有關猜想。當然，歸納和類比活動的目的是探索事物的內(nèi)在規(guī)律，因此，所選

4、背景一般應具有普遍性；研究的對象十分廣泛，可以是一個幾何圖形、一個代數(shù)式，也可以是一個具體的數(shù)學方法、一個數(shù)學規(guī)律等。具體考查時，可以設計成客觀題，如例1；但為了能夠洞察學生獲得結論的過程(guchng)以及歸納和類比過程中的具體方法，一般多設計成主觀題。在主觀題設計時，可以設計一些問題串，明確要求學生在幾個特殊情形或具體情形研究的基礎上歸納或類比出一般結論，如例2；也可以直接要求學生研究一般的規(guī)律，但學生在一般規(guī)律的尋求(xnqi)中，可能需要借助于對一些特殊情形或一些簡單的具體情形的思考，如例2中可以刪去第（2）問，直接求第（3）問AnBnCnDn的面積，顯然(xinrn)，后者要求學生具

5、備一種歸納的主動意識，因而要求更高。例1 （04重慶北碚21）如圖1所示，用同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設矩形地面，請觀察下圖：則第n個圖形中需用黑色瓷磚塊 .（用含n的代數(shù)式表示）圖1圖2例2 （04貴陽26）如圖2，四邊形ABCD中，AC=6，BD=8且ACBD順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1；再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點，得到四邊形A2B2C2D2如此進行下去得到四邊形AnBnCnDn .（1）證明：四邊形A1B1C1D1是矩形；（2）寫出四邊形A1B1C1D1和四邊形A2B2C2D2的面積；（3）寫出四邊形AnBnCnDn的面積；（4）求四邊形

6、A5B5C5D5的周長.選擇用以進行歸納或類比的載體可以是多方面的，既可以是空間與圖形的，也可以是數(shù)與代數(shù)的或者統(tǒng)計與概率的。CABZA1S2S3S1圖3例3 我們在學習勾股定理時構造(guzo)了下面的模型：ABC是直角三角形，其中(qzhng)C是直角(zhjio)，分別以RtABC的三邊為邊向外作三個正方形，面積分別用S1，S2，S3表示，那么我們有：S1S2S3。如果我們分別以RtABC的三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S1，S2，S3表示，請你確定S1，S2，S3之間的關系并加以證明。小明說，如果分別以RtABC三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別用S1，S2，S3表示，

7、為了使S1，S2，S3之間仍然具有上述關系，所作三角形應當具有相似的關系，你認為他的說法對嗎？你能構造一個模型，即以RtABC三邊為邊向外作三個圖形，使得三個圖形的面積具有上述關系嗎？具體做一做。圖4評析：類比能力的考查形式可以是多樣的。如本題第一問從題目中的正方形類比到正三角形，要求學生對結論進行類比；而第三問要求學生構造模型，是另一種情況的類比：對條件進行類比，這一步要求更高，學生需要對第二問提供的信息“相似”有充分的理解，同時，學生構造模型的不同也體現(xiàn)出學生的創(chuàng)造力和類比能力的差異，比如有的學生可能類比到三角形的特殊情況：等腰直角三角形，有的可能類比到一般的正多邊形，也可能有學生類比到半

8、圓（以三邊為直徑作圓），類比半圓學生思維的發(fā)散水平就相對高一些。例4（04大連第25題）閱讀材料，解答問題。材料：“小聰設計的一個電子游戲是：一電子跳蚤從這P1(3，9)開始，按點的橫坐標依次增加1的規(guī)律，在拋物線上向右跳動，得到點P2、P3、P4、P5(如圖4所示)。過P1、P2、P3分別作P1H1、P2H2、P3H3垂直于x軸，垂足為H1、H2、H3，則即P1P2P3的面積為1?！眴栴}：求四邊形P1P2P3P4和P2P3P4P5的面積(要求：寫出其中一個四邊形面積的求解過程，另一個直接寫出答案)；圖5猜想四邊形Pn1PnPn+1Pn+2的面積，并說明理由(利用圖5)若將拋物線改為(i wi

9、)拋物線，其它條件(tiojin)不變，猜想四邊形Pn1PnPn+1Pn+2的面積(min j)(直接寫出答案)評析：本題選擇了一個函數(shù)問題為背景，借助文字和圖像先給出一個解題模式，要求學生進行適當?shù)恼蜻w移和歸納推理，同時在本題的解決過程中，需要學生進行一定的閱讀理解和代數(shù)運算，因而較好的考查了學生的閱讀理解能力、代數(shù)計算能力、遷移運用能力和歸納推理能力。當然，經(jīng)過計算，本題幾種特殊情況的計算結果都是1，因而歸納的難度不是很大。因此，歸納過程的明晰程度、所歸納結論的外在特征、學生對歸納背景的熟悉程度等因素直接影響著試題的難度和有效性，因此在設計考查學生歸納能力的有關試題時，應注意分析上述三者

10、，并據(jù)此調(diào)控試題的難度，保證試題的有效性。此外，也可以嘗試借助計算器進行一定的歸納活動。例5、試通過計算器計算來探討與（n3）的大小關系.評點：與（n3）有怎樣的大小關系呢？學生事先并不知道這就要借助計算器計算出若干對特殊的值進行比較，得出猜想，例如，通過計算，等等，我們可以歸納出。題目沒有給學生指明具體的探索方法，因而要求借助工具進行大膽的嘗試、歸納猜測、更多的數(shù)據(jù)驗證確認等活動，較好地考查了學生的歸納能力和意識。類似的，有：例6：借助計算器探索的結果。2 使用多種形式多角度考查邏輯推理能力考查學生的邏輯推理能力，過去已經(jīng)作過比較多的嘗試。因此，在命題中可以有很多豐富的形式。考查的形式，既可

11、以是證明題，也可以是計算求解題；考查的知識背景，既可以以空間與圖形為背景，也可以以數(shù)與代數(shù)為考查的背景。圖6例7 （04貴陽23）同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形嗎？如果是，請給出證明（要求畫出圖形，寫出已知、求證、證明）；如果不是，請給出反例（只需畫圖說明）.例8（04南寧26（3）若梯形ABCD為等腰梯形，面積不變，請設計一種(y zhn)花壇圖案，即在梯形內(nèi)找到一點P，使得APBDPC且SAPD=SBPC，并說出你的理由(lyu)。評析：本題是一個求解題，但確定P點的過程(guchng)，實際上是一個根據(jù)邏輯分析的過程，因而本題同樣考察了學生的邏輯推理能力。例9（04寧安25）寧安市

12、與哈爾濱市兩地相距360千米,甲車在寧安市,乙車在哈爾濱市,兩車同時出發(fā),相向而行,在A地相遇,為節(jié)約費用（兩車相遇并換貨后,均需按原路返回出發(fā)地）,兩車換貨后,甲車立即按原路返回寧安市,設每車在行駛過程中速度保持不變,兩車間的距離（千米）與時間（小時）的函數(shù)關系如圖所示,根據(jù)提供的信息,回答下列問題：求甲、乙兩車的速度。評析：本題一改傳統(tǒng)行程問題中要求學生列方程解應用題的一貫形式，需要學生通過觀察出函數(shù)圖像中兩條直線斜率不同的情況（或者）推斷出換貨后乙車停止運動這一結論，然后進行計算，考察學生的推理能力。圖7對于證明，既可以呈現(xiàn)一個完整的命題要求學生進行嚴格的證明（如例7），也可以更具開放性

13、，給學生更多的空間和自主性，如可以要求學生通過觀察自主尋找結論并進行證明（如例10、例11），也可以要求學生自己構造符合條件的命題并進行判別或證明（如例12）。例10 如圖7，AB=AC，D、E分別是線段AC、AB上的點，且AD=AE，BD交CE于F，試在圖中找出3對全等三角形和3個等腰三角形，并對其中一個結論給出證明。例11（04四地聯(lián)考19）如圖8，平行四邊形ABCD中，AEBD，CFBD，垂足分別為E、F。（1）寫出圖中每一對你認為全等的三角形；（2）選擇（1）中的任意一對進行證明。例12（04南寧21）如圖9，下面四個條件中，請你以其中兩個為已知條件，第三個為結論，推出一個正確的命題（

14、只需寫出一種情況）。 AE=AD，AB=AC，OB=OC，B=C 已知： 求證(qizhng)： 證明(zhngmng)：此外，還可以呈現(xiàn)一定的活動(hu dng)過程，要求對活動過程中的現(xiàn)象進行解釋，或者對所得到的結論進行證明。圖8圖9圖10例13 如圖10，D、E、F分別是ABC三邊的中點，線段DE、EF、FD將ABC分成4個小三角形，小明說利用這個圖形可以證明三角形的內(nèi)角和定理，你估計他是怎么想的，試寫出相應的證明過程。圖11例14 小明說，如圖，沿著三條虛線對折可以將三角形ABC的三個內(nèi)角集中到D處，從而可以驗證三角形的內(nèi)角和定理。你知道圖中的E、F點是如何確定的，你能利用該圖證明三角

15、形內(nèi)角和定理嗎？試寫出相應得已知、求證與證明過程。例15 借助沒有刻度的直尺，小明按照下圖的順序作出了角A的平分線AB，請寫出其作圖順序，并說明他這樣做的道理。 圖 12 圖13當然(dngrn)，由于課程標準中已經(jīng)降低了幾何證明的難度要求，因此在命制有關試題時，應注意控制試題的難度。3 借助對已有現(xiàn)象或推理(tul)過程的質(zhì)疑，考查學生的推理意識和評判質(zhì)疑能力質(zhì)疑是學生理性思考的重要表現(xiàn)，因此在學業(yè)評價中可以呈現(xiàn)一些現(xiàn)象或者一些問題的解決方案，要求學生對現(xiàn)象或者方案作出自己的評判，以考查學生評判質(zhì)疑能力。下面(xi mian)是幾個案例。例16 有人這樣證明三角形的內(nèi)角和是1800：圖14如

16、圖，D是三角形ABC內(nèi)一點，連接AD、BD、CD，它們將三角形ABC分成了3個小的三角形。因此有：三個小三角形內(nèi)角和的和比ABC的內(nèi)角和多3600。如果設三角形的內(nèi)角和是x0，則有：x0+x0+x0=x0+3600，易解得x=180.你認為這個證法正確嗎？說說你的理由。例17 （1）用一條直線可以將一個正方形分成兩個全等的部分，如下圖。將正方形分成兩個全等的圖形的直線還有很多，試在圖上另作出兩條以上這樣的直線。（2）將圓分成兩個全等圖形的直線有多少條，試在圖上作出幾條這樣的直線。圖15（3）將長方形分成兩個全等圖形的直線又有多少條呢？他們有什么共同的特征呢？ （4）小明發(fā)現(xiàn)，上面的三個圖形都是軸對稱圖形，而且將它們分成全等的兩部分的直線都有兩條以上。因此，他認為，對于平面的任何軸對稱圖形，都存在兩條以上的直線，可以將這個軸對稱圖形分成全等的兩個部分。你認為他的觀點正確嗎？說說你的理由。例18 王老師讓同學計算：“當a0.35，b-0.28時，求代數(shù)式的值”時，小明指出，題目中所給的條件“a0.35，b-0.28”是多余的。他的說法有道理嗎？當然，正