差分方程內(nèi)容提要

1、僅供個(gè)人參考For personal use only in study and research; not for commercial use差分方程 內(nèi)容提要 一、差分及差分方程1、差分 設(shè)yt在區(qū)間0,收)上定義。記yt =y(t)，其中t = 0,1,2,L .稱% =%中一yt =y(t+i)y(t), t=o,i,2,L為y(t)在時(shí)刻t的一階差分(習(xí)慣上把t以時(shí)間計(jì))，稱A2yt =Ayt書-Ayt 即一階差分的差分為 y(t)在時(shí)刻t的二階差分。高于二階的差分可依此類推。2(由 &yt = yt 書一 yt,知 & yt Ayt 書 一 Ayt yws 一 2yt書 + yt

2、, k : k!一般Akyt =淤見書小,見= (-1)i!弘北工，t =0,1,2,L ) 1 i!(k-i)!2、差分方程設(shè)乂在區(qū)間0,+道)上定義，稱包含有自變量t,未知函數(shù)yt(yt = y(t)及其一階差分“的方程邛(tyt,Ayt ,=, t = 0,1,2,L(1)為一階差分方程，或者稱包含有t,yt及yt書的方程中。，乂，弘中)=0, t=0,1,2,L(2)為一階差分方程。如果把函數(shù)y(t)(t =0,1,2,L )代入差分方程(1)或(2),能使方程(1)或(2)對(duì)t=0,1,2,L均為恒等式，稱 y(t)(t = 0,1,2,L )為差分方程(1)或(2)的解。一階差分方

3、程的一般解包含有一個(gè)任意常數(shù)，任意常數(shù)取特定值的解稱為特解，確定特解的條件y(0) = V。稱為定解條件二階及高于二階的差分方程、一般解、特解類似定義。形如yt1ayt =f(t)或yt 2 a(t)yt 1 a2(t)yt =f (t)的方程分別稱作一階或二階線性差分方程，其中a1(t),a2, f (t) C,t 0O線性差分方程(齊次、非齊次)的解的性質(zhì)與線性微分方程(齊次、非齊次)的解的性 質(zhì)完全一樣。二、一階常系數(shù)線性差分方程1、齊次方程yt+ayt=0t= 0,1,L2a為，常數(shù)僅供個(gè)人參考由迭代法易知齊次方程的一般解為yt=C(_a)t,t =1,2,3,L滿足條件 y(0)=%

4、 的特解為 yt=y0(a)t, t=1,2,3,L2、非齊次方程乂書 +ayt = f (t), t =0,1,2,3,L，故非齊次方程的一般解為yt =C(a)t+Yt,t =1,2, L ,其中C(-a)t是對(duì)應(yīng)齊次方程 乂+ayt =0的一般解，丫是原非齊次方程的一個(gè)特解(取V。=0的情形)。3、求特解Yt的待定系數(shù)法(對(duì)特殊的f(t)(1)f(t) =b (常數(shù))。方程為yt.+ayt =b, t =0,1,2,3,Lb如果a#1,萬程有形式特解 Yt = A (待定常數(shù))，代入方程，可求得 A =1 ab(a 0 1),從而 Yt =, t =1,2,3, L1 a如果a = 1

5、,方程有形式特解Yt = At。代入方程，可求出 A。f(t) =b0 +bt ,方程為 yt+ + ayt =b0 +bt , t =0,1,2,L如果a # -1 ,方程有形式特解 丫 = B0 + B1t ；如果a = 1 ,方程有形式特解 Yt = t(B0 + Bt)。f(t) =bd,(b,d 為常數(shù))，方程為 yt由+ayt=bd; t=0,1,2,L如果a # d ,方程有形式特解 Y = Ad, ；如果a = d ,方程有形式特解 Yt =t Adtf(t) =b(cost +b2sint,其中卜也不同日寸為0,方程為yt+ + ayt =b1cos6t +b2sin6t,

6、t =0,1,2,L22記 D = (a +cos) +sin。如果D # 0 ,方程有形式特解 Y = B1 cos t + B2 sin 01 ；如果D = 0 ,方程有形式特解 Y =t(B1cos皿+ B2sint)(D =0 等價(jià)于 since =0,a +cos =0),此時(shí) cos =1或1 ,同時(shí) a = _1 或 1。如對(duì)差分方程 yt4+yt =2cosnt+3sinnt , t=0,1,2,L ,8=n,sin n =0,cos n =-1,a =1,D = 0,此時(shí)方程有形式特解Yt =t(Bi cosnt+B2sinnt),其中 BB?待定常數(shù)。代入原方程，一定可以求

7、出B1,B2。)典型例題分析一、填空題1、設(shè) yt =2t2 5 ,貝U A2yt =。解：按差分的定義，yt=yt yt, A2yt = Ayt書一4乂，故.2y yt = (yt42yt書)一(yt書-yt) = ytH22yt書+ yt。已知 yt=2t25,有 yt +=2(t+1)25, 乂也=2(t+2)25 ,所以A2yt =2(t +2)2 -5-22(t +1)2 -5 + (2t2 5) = 4。2、方程yt書5yt =0的一般解是。方程yt書5yt =2t的一般解是 。解：方程yt書5乂 =0是齊次的，即其一般解為7 =CS ,其中C是任意常數(shù)。方程yt+-5yt =2t

8、是非齊次的，其一般解為弘=K + Y,其中y =C5t是對(duì)應(yīng)齊次方程的一般解，丫是原非齊次方程的一個(gè)特解。因?yàn)榇祟}中，a =51,f (t) =2t ,可設(shè)Yt = B0 + B1t，代入原方程中，有Bo +B(t+1)5(R +Bt)=2t ,即(一4B0 + B)4Bt=2t ,_1 _1.1、可得 YBo +Bi =0,-4Bi =2,求出 Bo =-，Bi =，所以 Yt =(1+4t),8281原非齊次方程的一般解為yt = C5t 1 (1 + 4t)。83、已知yt =3et是二階差分方程 yt+ayt 口 = et的解，則a=。解：由差分方程的解的概念，知把yt =3et代入方

9、程的左端后，對(duì)Vte N結(jié)果應(yīng)等于et ,因?yàn)?(乂 斗+ayt片與=3et* + a et，= 3et(e+ ae)1令 3e (e+ae,)=e ,即 3(e + ae,)=1,故 a = e( e)4、已知 巴t) =2t,W(t) =T 3t是方程乂中+ p(t)yt = f (t)的兩個(gè)特解，則 p(t)=， f(t)=解：由非齊次方程的解的性質(zhì)，知中(t)-甲(t) = 3t是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，從而yt =tt 1也是齊次方程的解，故有 (t+1)+p(t) t = 0,知p(t)= t再由中(t) =2是原方程的解，知2、方程“ 3yt= 4的一般解是()。解：首先排除(B),

10、因?yàn)閥t =3 -4中不含任意常數(shù)其次按齊次方程yt +ayt=0的一般解公式乂 =C(-a),，知所給方程的對(duì)應(yīng)齊次方程 的一般解應(yīng)是 耳=C3t，故排除(C)。最后考察(A) , (D)中的Y =2中哪一個(gè)是原非齊 次方程的一個(gè)特解。由于 23父2 = 4, (-2)-3x(-2) -4,故排除(D),選(A)。3、差分方程yt+ yt =sint有一個(gè)特解是()。分析：對(duì)差分方程 yt書+ayt = f (t),當(dāng)右端函數(shù)f(t)為時(shí)，首先要檢驗(yàn)D =(a +cos0)2 +sin2是否為零，才能確定其形式特解 丫。如果D #0 , 取 Y = B1sin8t + B2 cost ；如果

11、 D = 0 ,取 Yt =t( B1sin0t 十 B2 cost )。又 D = 0 當(dāng)且 僅當(dāng) a = -cos = 1,sin 切=0成立。解：由所給方程知0=1, sin800,故原方程有一個(gè)形式特解是Y = B1 sint + B2 cost,選(C)。4、差分方程yt+yt = -3cos*有一個(gè)形式特解是()。解：由所給方程知 a = -1,8=n ,有2 = - cos0 ,sin=0 ,故2. 2D=(a+cosco) +sin 切=0,原方程有一個(gè)形式特解 Y =t (B1 cos nt 十 B2 sin nt )(按題 3 的分析)，選(D)三、計(jì)算題1、求方程yt書一

12、5yt =3的一般解。解：首先求出對(duì)應(yīng)齊次方程的一般解yt =C5t (a = -5)。因?yàn)樵匠逃叶撕瘮?shù)f(t) =3t(d =3), a+d=5+3=0,故可設(shè)原非齊次方程的一個(gè)形式特解為Y = A.3,代入原方程，有A 3t卡-5A 3t =3t,1-11 t消去3t ,求出A = N = 3t ,原方程的一般解為 yt =C5t 3t2222、求方程yt由4乂 =22t的一般解。解：對(duì)應(yīng)齊次方程1卡4yt = 0的一般解為 yt = C4t (a = Y),原方程右端函數(shù)f (t) =22t =4(d =4),因?yàn)閍 + d =0 ,可設(shè)原方程的一個(gè)形式特解為Yt = At 4t，代入

13、原方程，有 A(t +1)4t+-4 At 4t =4，1消去4t ,有4A =1,A= ,Y =14,所以原方程一般解為4冗3、求方程yt由一 yt =2sin t的一般解。2解：對(duì)應(yīng)齊次方程白一般解為yt =C(a = 1)。原非齊次方程右端函數(shù)f(t) = 2sint,2ji0=,因?yàn)閟ince =1=0,從而 2可設(shè)原方程的一個(gè)形式特解為Yt = B cost + B2 sint ,代入原方程，有 TOC o 1-5 h z 22JI冗JIJIJtB1 cos (t +1) + B2sin (t +1) (B1 cost + B2sin t) = 2sin t ,22222JJE31即

14、-(B1 +B2)sin t 十(一B1 十 B2)cos t = 2sin t ,222B1 + B2 = 2, B + B2 = 0,B = B2 = 1 ,JITtJTJI所以Yt =-cos-t -sin t ,原方程一般解為 yt =C costsin t。22226、設(shè)某產(chǎn)品在時(shí)間t時(shí)的價(jià)格Pt,總供給R與總需求Qt三者之間有關(guān)系(*)Rt =2pt 1,Qt =-4* 5,Rt =Q,t =0,1,2,L試推出Pt滿足的差分方程，并求滿足定解條件p(0)= po的特解。解：由條件(*)可推出2r =R1=Qt1=(pt二十5)1,即Pt +2*=2,此即為pt滿足的一階差分方程(a = 2 # -1),其一般解為t 2pt =C(2)3滿足定解條件p(0) = p0的特解為pt =(p0 -2)(-2)t +-。33僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken