有限元hansl第七章

1、第七章 四階問題（板的彎曲）在對(duì)中厚板進(jìn)行分析時(shí)，重點(diǎn)將介紹位移和轉(zhuǎn)角各自獨(dú)立插值的板單元，這種板單元考慮了板的剪切變形。而且，彎曲問題可以降階為二階問題來描述。（對(duì)插值函數(shù)要求CO連續(xù)）在常見的工程結(jié)構(gòu)中，板或板梁結(jié)構(gòu)較為普遍；有限元分析中板可分為薄板和中厚板；對(duì)薄板分析時(shí)采用了克?；舴颍↘irchhoff）假設(shè)： 板中面上任一點(diǎn)（x, y）允許有三個(gè)位移分量，其中面內(nèi)位移u、v 構(gòu)成一平面應(yīng)力問題（二階問題）。橫向位移則構(gòu)成一個(gè)四階問題（彎曲問題）。對(duì)于線性問題（小撓度），這兩個(gè)問題之間沒有耦合?？梢苑謩e進(jìn)行研究，再將結(jié)果迭加。7-1 薄板小撓度彎曲的基本方程x,uy,vz,w圖z,wxy

2、圖q(x,y)MxxyMxyMxyMy設(shè)板中面的橫向位移（撓度）為w (x, y) 1. 幾何關(guān)系中面法線繞 x, y 軸的轉(zhuǎn)角(7-1-1)(7-1-2)曲率2. 彈性關(guān)系(7-1-3)(7-1-4) 3. 平衡方程板在單位面積上受到的橫向載荷為q(x,y)， z,wxy圖q(x,y)MxxyMxyMxyMy(7-1-5)以位移 w 為基本未知量的平衡方程 (7-1-6)四階橢圓型方程雙調(diào)和方程 橢圓型方程?雙調(diào)和方程?調(diào)和方程?圖ns4. 邊界條件設(shè)邊界的切線方向?yàn)?s 。外法線方向?yàn)?n 則可將邊界條件分為四類:(1) 撓度 w 的邊界條件(7-1-7)(2) 轉(zhuǎn)角邊界條件(7-1-8)

3、(7-1-9)(7-1-10)(3) 彎矩邊界條件 (4) 剪力邊界條件7- 2 有限元解法1. 廣義解 在所有滿足強(qiáng)制性邊界條件(即關(guān)于w, 的邊界條件)和協(xié)調(diào)條件（ 在上連續(xù)）的可能位移中使總勢(shì)能泛函 取駐值的位移 w 稱為板彎曲問題在 Ritz 意義下的廣義解。 廣義解的容許空間：H2()2. 收斂條件位移場(chǎng)應(yīng)滿足以下條件: （）在單元內(nèi)連續(xù)；（）包括足夠的剛體位移模式 （） 能夠描述任何一種常曲率狀態(tài) nsoxy圖（4） 協(xié)調(diào)條件 四階問題要求穿過單元邊界時(shí) 連續(xù)。但如果沿邊界的局部坐標(biāo)系 n s 考察。若穿過單元邊界時(shí) w 連續(xù)，則一定連續(xù)。故協(xié)調(diào)條件更恰當(dāng)?shù)奶岱☉?yīng)是：穿過單元邊界時(shí)

4、w（位移）和（轉(zhuǎn)角）連續(xù)。 上述四個(gè)條件為有限元解收斂到真實(shí)解的充分條件，其中條件（1）（3）為必要條件。不滿足條件（）的單元，只有能夠通過分片檢驗(yàn)時(shí)才能保證收斂性。 為了同時(shí)保證位移和轉(zhuǎn)角的協(xié)調(diào)性，一般采用Hermite型插值。這樣至少可以保證節(jié)點(diǎn)處的協(xié)調(diào)性。既便如此。我們將會(huì)看到：實(shí)現(xiàn)協(xié)調(diào)性仍然是一件困難的事。 7- 3 十二自由度矩形元（元）nnnnyxo圖節(jié)點(diǎn): 取矩形的四個(gè)角點(diǎn)。1. 單元和節(jié)點(diǎn)參數(shù)單元： 邊與 x、y 軸平行的矩形；節(jié)點(diǎn)參數(shù)：2. 單元位移場(chǎng)(7-3-1)其中（廣義坐標(biāo)）可由個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)唯一定出。12 對(duì)結(jié)點(diǎn)參數(shù)12 個(gè)代數(shù)方程12 個(gè)待定系數(shù)nnnnyxo圖3. 收

5、斂性分析 位移場(chǎng)為 x、y 的四次多項(xiàng)式。完全到 x、y 的三次項(xiàng)。故收斂條件（1）（3）可以滿足。下面分析協(xié)調(diào)性。以-邊為例。 (7-3-1) （2）沿、邊轉(zhuǎn)角 是 y 的三次函數(shù)，不能僅由節(jié)點(diǎn)、處剩下的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù) 所決定。故沿不協(xié)調(diào)。 沿 2-3 邊的位移函數(shù): （1） 沿-邊：x = 常數(shù)。位移 w 是 y 的三次多項(xiàng)式。可以完全被節(jié)點(diǎn)、處的四個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù) 所決定。故沿邊位移 w 是協(xié)調(diào)的。 沿 2-3 邊的轉(zhuǎn)角函數(shù): 在廣義解 wH3() 的情況下可以在理論上證明有限元解的收斂性。23可以決定出沿邊3線性變化的、協(xié)調(diào)的 ， 在節(jié)點(diǎn)處 為零，且仍然包括 y 的二次項(xiàng)和三次項(xiàng)，而其中的偶次

6、項(xiàng)對(duì)通過分片檢驗(yàn)是不利的，但是由于單元是形狀十分規(guī)則的矩形，仍然可以通過分片檢驗(yàn)； 元是出現(xiàn)較早的一種單元，雖然它不滿足轉(zhuǎn)角協(xié)調(diào)條件，但可以保證收斂性，加上它的單元?jiǎng)偠染仃嚨脑乜梢杂镁_的解析表達(dá)式求得。這種單元在自編程序中得到廣泛應(yīng)用。7- 4 十六自由度矩形單元（元）實(shí)現(xiàn)協(xié)調(diào)條件的一個(gè)辦法是引入高階導(dǎo)數(shù)做為節(jié)點(diǎn)參數(shù) nnnnyxo圖6節(jié)點(diǎn): 取矩形的四個(gè)角點(diǎn)。單元： 邊與 x、y 軸平行的矩形；節(jié)點(diǎn)參數(shù)：1. 單元和節(jié)點(diǎn)參數(shù)2. 單元位移場(chǎng)(7-4-1)其中（廣義坐標(biāo)）可由6個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)唯一定出。16 對(duì)結(jié)點(diǎn)參數(shù)16 個(gè)代數(shù)方程16 個(gè)待定系數(shù) 3. 收斂性分析nnnnyxo圖6(7-4-

7、1) 位移場(chǎng)是 x、y 的六次多項(xiàng)式，完全到 x、y 的三次項(xiàng)。對(duì)于x 和 y 每一個(gè)變量而言，次數(shù)不超過三，這項(xiàng)剛好構(gòu)成 x、y 的雙三次多項(xiàng)式。顯然，收斂條件所要求的（1）（3）得到滿足。 （1）沿邊 x 常數(shù)，w 是y 的三次函數(shù)； （2） 是 y 的三次函數(shù)； （3）沿邊 w 和 都滿足協(xié)調(diào)要求。 在節(jié)點(diǎn)處不能保證高階導(dǎo)數(shù)連續(xù)（例如板的材料、厚度有突變）在強(qiáng)制邊界條件的邊界上與高階導(dǎo)數(shù)有關(guān)的節(jié)點(diǎn)參數(shù)如何處理？不利因素：7- 5 常矩三角元(Morley元)nsoxy圖節(jié)點(diǎn): 、 位于三個(gè)角點(diǎn) 、 位于各邊中點(diǎn)。 單元： 任意三角形；節(jié)點(diǎn)參數(shù)：1. 單元和節(jié)點(diǎn)參數(shù)2. 單元位移場(chǎng)(7-5

8、-1)在單元內(nèi)曲率和扭率為常數(shù)，故稱為常矩三角元。 由 定出6個(gè)待定系數(shù)。. 收斂性討論nsoxy圖對(duì)于Morley元僅在廣義解的可微性比較好(wH4() )的情況下證明了它的收斂性，對(duì)單元的形狀則不必加以限制。 （1）單元位移場(chǎng) w 為 x、y 的完全二次多項(xiàng)式。收斂條件所要求的（1）（3）得滿足。 （2）沿-邊 w 是 s 的二次函數(shù)，不能僅由w1、w2 所決定；（3） 是 s 的一次函數(shù)，不能僅由 所決定。(7-5-1) 沿-邊按線性變化，平均值為 ，它的不協(xié)調(diào)性不會(huì)成為通過分片檢驗(yàn)的障礙。 w1、w2 可以決定沿邊界線性變化的、協(xié)調(diào)的 ，在節(jié)點(diǎn)處為零， 仍然是 s 的二次函數(shù)，偶次項(xiàng)對(duì)

9、通過分片檢驗(yàn)是不利的。7-6 九自由度三角元（ Zienkiewicz 三角元）nsoxy圖 8(7-6-1)由 定出9個(gè)待定系數(shù)。節(jié)點(diǎn): 、 位于三個(gè)角點(diǎn)單元： 任意三角形；節(jié)點(diǎn)參數(shù)：1. 單元和節(jié)點(diǎn)參數(shù)2. 單元位移場(chǎng)解決辦法是：放棄上述限制，直接構(gòu)造各節(jié)點(diǎn)參數(shù)的形函數(shù)。借助面積坐標(biāo) 優(yōu)點(diǎn)：是剛體位移和常應(yīng)變條件可以明顯地得到滿足。缺陷： x2y 與 xy2 項(xiàng)系數(shù)相等的做法使單元的九個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)之間實(shí)際上是不獨(dú)立的。Oxy圖9M(x,y)（1）面積坐標(biāo)和求導(dǎo)公式 設(shè)單元三個(gè)節(jié)點(diǎn)的序號(hào)為、為單元內(nèi)一點(diǎn)。三角形的面積點(diǎn)的面積坐標(biāo) 節(jié)點(diǎn)的面積坐標(biāo)為：（，）節(jié)點(diǎn)的面積坐標(biāo)為：（，）節(jié)點(diǎn)的面積坐標(biāo)為

10、：（，）點(diǎn)的面積坐標(biāo)（L1、L2、L3）和總體坐標(biāo)（ x、y ）之間存在著線性關(guān)系（7-6-2）求導(dǎo)關(guān)系(7-6-3)(7-6-4)（2） 位移場(chǎng)和形函數(shù)結(jié)點(diǎn)參數(shù)： 其中：位移場(chǎng)：(7-6-5 )形函數(shù)的表達(dá)式為： 單元位移場(chǎng) w 是x、y 的三次多項(xiàng)式 。 w 不可能是 x、y的完全三次多項(xiàng)式。 能否精確地表達(dá)任何一種按 x、y 二次多項(xiàng)式分布的位移場(chǎng)? 的系數(shù)3. 收斂性分析nsOxy圖10( 只需要分析協(xié)調(diào)性 ) 以邊為例，設(shè)此邊與x軸夾角為，建立局部坐標(biāo)系ns。 w 是 s 的三次函數(shù) 位移 w 協(xié)調(diào) ;是 s 的二次函數(shù) 不協(xié)調(diào)。線性函數(shù)： 在節(jié)點(diǎn)、處為零，且是 s 的二次函數(shù)。偶次

11、項(xiàng)對(duì)通過分片檢驗(yàn)是不利的。 圖 只有當(dāng)所劃分的三角形單元的三條邊與三個(gè)已知方向平行時(shí)才能通過“分片檢驗(yàn)” (圖)，在廣義解 w H() 的情況下可以從理論上證明有限元解的收斂性。在一定的條件下可以保證有限元解的收斂性。 nsoxy圖nsoxy圖 8(Morley元)（Zienkiewicz 三角元）7-7 二十一自由度三角元（Argyris三角元）nsoxy圖節(jié)點(diǎn): 、 位于三個(gè)角點(diǎn)， 4 、5 、6 邊中點(diǎn)。單元： 任意三角形；節(jié)點(diǎn)參數(shù)：1. 單元和節(jié)點(diǎn)參數(shù)2. 單元位移場(chǎng)（7-7-1）3. 協(xié)調(diào)性分析nsoxy圖(邊 )w 是 s 的五次函數(shù) 是 s 的四次函數(shù) 位移 w 和轉(zhuǎn)角 都滿足協(xié)

12、調(diào)性要求。 高階導(dǎo)數(shù)做為節(jié)點(diǎn)參數(shù)也有其不利的一面 分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)時(shí)有可能導(dǎo)致未知數(shù)個(gè)數(shù)過多、計(jì)算量過大。7- 8 線性曲率協(xié)調(diào)三角元（單元） 這是一族單元，這族單元不引入高階導(dǎo)數(shù)做為節(jié)點(diǎn)參數(shù)。而是在單元內(nèi)再次利用“分片插值”的方法實(shí)現(xiàn)協(xié)調(diào)條件。 1. 基本單元 (LCCT-12)nsoxy圖 13節(jié)點(diǎn): 、 位于三個(gè)角點(diǎn)， 4 、5 、6 邊中點(diǎn)。單元共有個(gè)自由度（外自由度）。稱為L(zhǎng)CCT12 oxy圖14o在單元內(nèi)再取一個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)0 結(jié)點(diǎn)參數(shù)：將原三角形分成三個(gè)子三角形。 oo 每個(gè)三角形共有個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)，對(duì)于三角形 它們是： 在每個(gè)子三角形內(nèi)可以假設(shè)位移w 是 x、y 的完全三次多項(xiàng)式； 這樣的

13、位移場(chǎng)可以描述每個(gè)子三角形的任何一種剛體位移和常曲率狀態(tài)； 整個(gè)單元的剛體位移和常曲率條件也可以得到滿足。. 協(xié)調(diào)性分析o子三角形, 沿原單元的邊 w 是 s 的三次函數(shù) 是 s 的二次函數(shù) 位移和轉(zhuǎn)角都滿足協(xié)調(diào)條件 。onsons邊 w 是 s 的三次函數(shù) 是 s 的二次函數(shù) 無(wú)法確定一個(gè)二次函數(shù)。oooons 在單元內(nèi)部（包括子三角形內(nèi)部和子三角形之間）w 連續(xù)，沿單元的三條邊 協(xié)調(diào)，但子三角形之間 還未滿足協(xié)調(diào)要求。 4. 約束條件和內(nèi)自由度凝聚設(shè)點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)。 (7-8-1)附加三個(gè)強(qiáng)制 條件：子三角形之間也協(xié)調(diào)。(7-8-1)消去內(nèi)自由度，（靜凝聚）子三角形之間協(xié)調(diào)。LCCT1

14、2單元的位移場(chǎng)的特征歸納如下：（iii）可以描述任何一種剛體位移和常曲率狀態(tài)。（i）在每個(gè)子三角形內(nèi)w 是 x、y 的三次多項(xiàng)式；（ii）單元之間以及子單元之間滿足 w 和 的協(xié)調(diào)條件；有限元解的收斂。5. LCCT12族的其它單元圖 LCCT-11 (a)LCCT-10 (b)LCCT-9 (c)LCCT1單元 LCCT10 單元 LCCT9 單元 LCCT單元比LCCT12單元多加了三個(gè)約束，剛度增加、因此精度低于LCCT12單元。 6. LCCT1單元圖圖靜凝聚法消去個(gè)內(nèi)自由度個(gè)外自由度進(jìn)入總體平衡方程。個(gè)LCCT1單元組合成四邊形單元。共有個(gè)自由度。 內(nèi)自由度個(gè); 外自由度個(gè)，稱為單元。 協(xié)調(diào)單元，沒有取高階導(dǎo)數(shù)做為節(jié)點(diǎn)參數(shù)，精度也比較好。缺點(diǎn)是單元分析過程比較復(fù)雜，程序相當(dāng)長(zhǎng)，自編程序較為困難。 用個(gè)LCCT9單元拼成一個(gè)四邊形單元（圖）。這個(gè)單元也只有個(gè)外自由度，表面上與Q19單元十分類似，但精度較后者低，好處是僅需要凝聚個(gè)內(nèi)自由度，化費(fèi)機(jī)時(shí)比Q19少。 z,woy