統(tǒng)計學(xué)常用的公式總結(jié)—均值、方差和指數(shù)等

1、統(tǒng)計學(xué)常用的公式總結(jié)均值、方差和指數(shù)等均值(概念要點)1.集中趨勢的測度值之一2.最常用的測度值3.一組數(shù)據(jù)的均衡點所在4.易受極端值的影響5. 用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不能用于定類數(shù)據(jù)和定序數(shù)據(jù)均值(計算公式)設(shè)一組數(shù)據(jù)為：X1 ，X2 ， ，XN 簡單均值的計算公式為設(shè)分組后的數(shù)據(jù)為：X1 ，X2 ， ，XK 相應(yīng)的頻數(shù)為： F1 ， F2， ，F(xiàn)K加權(quán)均值的計算公式為均值(數(shù)學(xué)性質(zhì))1.各變量值與均值的離差之和等于零 2. 各變量值與均值的離差平方和最小眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系對稱分布 均值= 中位數(shù)= 眾數(shù)左偏分布均值 中位數(shù) 眾數(shù)右偏分布眾數(shù) 中位數(shù) 均值數(shù)據(jù)類型與集中趨勢測度值表4-4 數(shù)

2、據(jù)類型和所適用的集中趨勢測度值數(shù)據(jù)類型定類數(shù)據(jù) 定序數(shù)據(jù)定距數(shù)據(jù)定比數(shù)據(jù)適用的測度值眾數(shù)中位數(shù)均值均值四分位數(shù)眾數(shù)調(diào)和平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)幾何平均數(shù)四分位數(shù) 中位數(shù)四分位數(shù)眾數(shù)總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差(計算公式)未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：方差的計算公式標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差(計算公式)未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：方差的計算公式標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式離散系數(shù)(概念要點和計算公式)1.標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比2.消除了數(shù)據(jù)水平高低和計量單位的影響3.測度了數(shù)據(jù)的相對離散程度4.用于對不同組別數(shù)據(jù)離散程度的比較5. 計算公式為偏態(tài)與峰度分布的形狀扁平分布尖峰

3、分布偏態(tài)峰度左偏分布右偏分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布比較！偏態(tài)(概念要點)1.數(shù)據(jù)分布偏斜程度的測度2.偏態(tài)系數(shù)=0為對稱分布3.偏態(tài)系數(shù) 0為右偏分布4.偏態(tài)系數(shù) 0為左偏分布5. 計算公式為峰度(概念要點)1.數(shù)據(jù)分布扁平程度的測度2.峰度系數(shù)=3扁平程度適中3.偏態(tài)系數(shù)3為尖峰分布5. 計算公式為時間序列的分類時間序列平均數(shù)序列絕對數(shù)序列相對數(shù)序列時期序列時點序列時間序列的分類絕對數(shù)時間序列一系列絕對數(shù)按時間順序排列而成時間序列中最基本的表現(xiàn)形式反映現(xiàn)象在不同時間上所達(dá)到的絕對水平分為時期序列和時點序列時期序列：現(xiàn)象在一段時期內(nèi)總量的排序時點序列：現(xiàn)象在某一瞬間時點上總量的排序相對數(shù)時間序列一系列

4、相對數(shù)按時間順序排列而成平均數(shù)時間序列一系列平均數(shù)按時間順序排列而成絕對數(shù)序列的序時平均數(shù)（計算方法）計算公式：【例】 根據(jù)表中的國內(nèi)生產(chǎn)總值序列，計算各年度的平均國內(nèi)生產(chǎn)總值 時期序列絕對數(shù)序列的序時平均數(shù)（計算方法） 時點序列 間隔不相等Y1Y2Y3YnY4Yn-1T1T2T3Tn-1絕對數(shù)序列的序時平均數(shù)（計算方法） 計算步驟計算出兩個點值之間的平均數(shù) 用相隔的時期長度 (Ti ) 加權(quán)計算總的平均數(shù)絕對數(shù)序列的序時平均數(shù)（計算方法）當(dāng)間隔相等(T1 = T2= = Tn-1)時，有 時點序列間隔相等Y1Y2Y3YnYn-1 相對數(shù)序列的序時平均數(shù)（計算方法）先分別求出構(gòu)成相對數(shù)或平均數(shù)

5、的分子ai和分母 bi 的平均數(shù)再進(jìn)行對比，即得相對數(shù)或平均數(shù)序列的序時平均數(shù) 基本公式為增長量（概念要點）報告期水平與基期水平之差，說明現(xiàn)象在觀察期內(nèi)增長的絕對數(shù)量有逐期增長量與累積增長量之分逐期增長量報告期水平與前一期水平之差計算形式為：i=Yi-Yi-1 (i =1,2,n)累積增長量報告期水平與某一固定時期水平之差 計算形式為：i=Yi-Y0 (i=1,2,n)各逐期增長量之和等于最末期的累積增長量 平均增長量（概念要點）1. 觀察期內(nèi)各逐期增長量的平均數(shù)2. 描述現(xiàn)象在觀察期內(nèi)平均增長的數(shù)量3. 計算公式為環(huán)比發(fā)展速度與定基發(fā)展速度（要點）環(huán)比發(fā)展速度報告期水平與前一期水平之比定基發(fā)

6、展速度報告期水平與某一固定時期水平之比環(huán)比發(fā)展速度與定基發(fā)展速度（關(guān)系）觀察期內(nèi)各環(huán)比發(fā)展速度的連乘積等于最末期的定基發(fā)展速度 兩個相鄰的定基發(fā)展速度，用后者除以前者，等于相應(yīng)的環(huán)比發(fā)展速度增長速度（要點）增長量與基期水平之比又稱增長率說明現(xiàn)象的相對增長程度有環(huán)比增長速度與定期增長速度之分計算公式為環(huán)比增長速度與定基增長速度（要點）環(huán)比增長速度基報告期水平與前一時期水平之比定基增長速度報告期水平與某一固定時期水平之比平均發(fā)展速度（要點）觀察期內(nèi)各環(huán)比發(fā)展速度的平均數(shù)說明現(xiàn)象在整個觀察期內(nèi)平均發(fā)展變化的程度通常采用幾何法(水平法)計算計算公式為年度化增長率（要點）增長率以年來表示時，稱為年度化增

7、長率或年率可將月度增長率或季度增長率轉(zhuǎn)換為年度增長率計算公式為m 為一年中的時期個數(shù)；n 為所跨的時期總數(shù)季度增長率被年度化時，m 4 月增長率被年度化時，m 12當(dāng)m n 時，上述公式就是年增長率速度的分析與應(yīng)用（增長1%絕對值）速度每增長一個百分點而增加的絕對量用于彌補(bǔ)速度分析中的局限性計算公式為甲企業(yè)增長1%絕對值500/1005萬元乙企業(yè)增長1%絕對值60/100萬元時間序列的構(gòu)成要素與模型（要點）構(gòu)成因素長期趨勢 (Secular trend )季節(jié)變動 (Seasonal Fluctuation )循環(huán)波動 (Cyclical Movement )不規(guī)則波動 (Irregular

8、Variations )模型 乘法模型：Yi = Ti Si Ci Ii 加法模型：Yi = Ti + Si + Ci + Ii 線性模型法（概念要點與基本形式）現(xiàn)象的發(fā)展按線性趨勢變化時，可用線性模型表示線性模型的形式為 時間序列的趨勢值 t 時間標(biāo)號 a趨勢線在Y 軸上的截距 b趨勢線的斜率，表示時間 t 變動一個單位時觀察值的平均變動數(shù)量線性模型法（a 和 b 的最小二乘估計）趨勢方程中的兩個未知常數(shù) a 和 b 按最小二乘法(Least-square Method）求得根據(jù)回歸分析中的最小二乘法原理使各實際觀察值與趨勢值的離差平方和為最小最小二乘法既可以配合趨勢直線，也可用于配合趨勢曲

9、線根據(jù)趨勢線計算出各個時期的趨勢值線性模型法（a和b的最小二乘估計）1. 根據(jù)最小二乘法得到求解 a 和 b 的標(biāo)準(zhǔn)方程為取時間序列的中間時期為原點時有 t=0，上式可化簡為解得：解得：相關(guān)關(guān)系的測度（相關(guān)系數(shù)） 樣本相關(guān)系數(shù)的計算公式或化簡為最小二乘法 （ 和 的計算公式） 根據(jù)最小二乘法的要求，可得求解 和 的標(biāo)準(zhǔn)方程如下樣本決定系數(shù) （判定系數(shù) r2 ）回歸平方和占總離差平方和的比例反映回歸直線的擬合程度取值范圍在 0 , 1 之間 r2 1，說明回歸方程擬合的越好；r20，說明回歸方程擬合的越差判定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即r2(r)2指數(shù)的概念和性質(zhì)（概念要點）指數(shù)的概念廣義：任何兩

10、個數(shù)值對比形成的相對數(shù)狹義：用于測定總體各變量在不同場合下綜合變動的一種特殊相對數(shù)指數(shù)的性質(zhì)相對性：總體變量在不同場合下對比形成的相對數(shù)不同時間上對比形成的指數(shù)稱為時間性指數(shù)不同空間上對比形成的指數(shù)稱為區(qū)域性指數(shù)綜合性：反映一組變量在不同場合下的綜合變動平均性：指數(shù)是總體水平的一個代表性數(shù)值指數(shù)的分類指數(shù)的分類按計算形式劃分按內(nèi)容劃分按項目多少劃分?jǐn)?shù)量指數(shù)質(zhì)量指數(shù)按對比場合劃分時間指數(shù)區(qū)域指數(shù)簡單指數(shù)加權(quán)指數(shù)個體指數(shù)綜合指數(shù)指數(shù)的分類（數(shù)量指數(shù)與質(zhì)量指數(shù)）數(shù)量指數(shù)反映物量變動水平如產(chǎn)品產(chǎn)量指數(shù)、商品銷售量指數(shù)等質(zhì)量指數(shù)反映事物內(nèi)含數(shù)量的變動水平如價格指數(shù)、產(chǎn)品成本指數(shù)等指數(shù)的分類（個體指數(shù)與綜

11、合指數(shù)）個體指數(shù)反映單一項目的變量變動如一種商品的價格或銷售量的變動綜合指數(shù)反映多個項目變量的綜合變動如多種商品的價格或銷售量的綜合變動權(quán)數(shù)的確定（要點）根據(jù)現(xiàn)象之間的聯(lián)系確定權(quán)數(shù)計算數(shù)量指數(shù)時，應(yīng)以相應(yīng)的質(zhì)量為權(quán)數(shù)計算質(zhì)量指數(shù)時，應(yīng)以相應(yīng)的物量為權(quán)數(shù)確定權(quán)數(shù)的所屬時期可以都是基期，也可以都是報告期或某一固定時期使用不同時期的權(quán)數(shù)，計算結(jié)果和意義不同取決于計算指數(shù)的預(yù)期目的確定權(quán)數(shù)的具體形式可以是總量形式，也可以采取比重形式主要取決于所依據(jù)的數(shù)據(jù)形式和計算方法加權(quán)綜合指數(shù)(概念要點)通過加權(quán)來測定一組項目的綜合變動有加權(quán)數(shù)量指數(shù)和加權(quán)質(zhì)量指數(shù)數(shù)量指數(shù)測定一組項目的數(shù)量變動如產(chǎn)品產(chǎn)量指數(shù)，商品銷

12、售量指數(shù)等質(zhì)量指數(shù)測定一組項目的質(zhì)量變動如價格指數(shù)、產(chǎn)品成本指數(shù)等因權(quán)數(shù)不同，有不同的計算公式基期變量值加權(quán)的綜合指數(shù)(要點和計算公式) 將作為權(quán)數(shù)的各變量值固定在基期也被稱為拉氏指數(shù)或L式指數(shù)計算公式為質(zhì)量指數(shù)：數(shù)量指數(shù)： 可以消除權(quán)數(shù)變動對指數(shù)的影響報告期變量值加權(quán)的綜合指數(shù)(要點和計算公式) 將作為權(quán)數(shù)的各變量值固定在報告期也被稱為帕氏指數(shù)，或簡稱為P式指數(shù) 計算公式為質(zhì)量指數(shù)：數(shù)量指數(shù)： 不能消除權(quán)數(shù)變動對指數(shù)的影響基期總量加權(quán)的平均指數(shù)(要點和計算公式) 以基期總量為權(quán)數(shù)對個體指數(shù)加權(quán)平均計算形式上采用算術(shù)平均形式計算公式為質(zhì)量指數(shù)：數(shù)量指數(shù)：報告期總量加權(quán)的平均指數(shù)(要點和計算公式

13、) 以報告期總量為權(quán)數(shù)對個體指數(shù)加權(quán)平均計算形式上采用調(diào)和平均形式計算公式為質(zhì)量指數(shù)：數(shù)量指數(shù)：總量指數(shù)(概念要點) 由兩個不同時期的總量對比可以是實物總量對比，如糧食總產(chǎn)量指數(shù)可以是價值總量對比，稱為價值指數(shù)，如工業(yè)總產(chǎn)值、產(chǎn)品總成本、商品銷售額指數(shù)一般形式個體總量指數(shù)：綜合總量指數(shù)：指數(shù)體系(概念要點)由總量指數(shù)及其若干個因素指數(shù)構(gòu)成的數(shù)量關(guān)系式總量指數(shù)等于各因素指數(shù)的乘積總量的變動差額等于各因素指數(shù)變動差額之和兩個因素指數(shù)中通常一個為數(shù)量指數(shù)，另一個為質(zhì)量指數(shù)各因素指數(shù)的權(quán)數(shù)必須是不同時期的加權(quán)綜合指數(shù)體系 (要點及公式) 因所用權(quán)數(shù)時期不同，有不同的指數(shù)體系比較常用的是基期權(quán)數(shù)加權(quán)的數(shù)量指數(shù)和報告期權(quán)數(shù)加權(quán)的質(zhì)量指數(shù)形成的指數(shù)體系指數(shù)體系可表示為相對數(shù)關(guān)系 絕對數(shù)關(guān)系加權(quán)平均指數(shù)體系 (要點及公式) 因所用總量權(quán)數(shù)所屬時期不同，有不同的指數(shù)體系常用的是基期總量加權(quán)算術(shù)平均數(shù)量指數(shù)和報告期總量加權(quán)調(diào)和平均質(zhì)量指數(shù)形成的指數(shù)體系 絕對數(shù)關(guān)系 相對數(shù)關(guān)系利用指數(shù)體系分析平均數(shù)變動 (要點及公式) 通過兩個不同時期的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)之比反映現(xiàn)象平均水平的變動通過對加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的分解，分析影