《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》期末復(fù)習(xí)

1、期末復(fù)習(xí)學(xué)了一個學(xué)期的點(diǎn)集拓?fù)?，大家對它?yīng)當(dāng)有了更多的了解，更深刻的認(rèn)識大家掩卷回憶一下，點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的主要內(nèi)容有哪些？沿著什么思路研究？研究手法是什么？下面把這幾個方面的內(nèi)容理一下，僅供參考一、點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的主要內(nèi)容：1一般拓?fù)淇臻g：（1）任何點(diǎn)集只要定義了拓?fù)?，就成了拓?fù)淇臻g任何拓?fù)淇臻g中均有開集、基、閉集、閉包任何點(diǎn)集均可能有凝聚點(diǎn)，任何點(diǎn)均有鄰域指定了順序的元素就成了序列（這些名詞的定義是什么？相互關(guān)系是什么？如何判定？）（2）常見的拓?fù)淇臻g有：度量空間、平庸空間、離散空間、有限補(bǔ)空間、可數(shù)補(bǔ)空間等任何集合均可通過指定開集而構(gòu)成上述空間因此一個集合與不同的拓?fù)洌ㄩ_集族）配對，可以構(gòu)成不同的

2、拓?fù)淇臻g（實(shí)數(shù)集合可能成為上述空間嗎？）（注意：實(shí)數(shù)集合與實(shí)數(shù)空間不同）（3）一般拓?fù)淇臻g均可以有子空間，任意有限個拓?fù)淇臻g均可以構(gòu)成乘積空間任一拓?fù)淇臻g中的一個等價關(guān)系均可以造出商空間（這些空間的拓?fù)涫窃鯓拥?？或基是怎樣的？?有個性的拓?fù)淇臻g：與連通性有關(guān)的空間、各可數(shù)性公理空間、各分離性公理空間、與緊致性有關(guān)的空間、完備度量空間（1）并不是任何空間都可以成為上述空間的只有符合上述空間定義的空間才可以成為上述空間（各類空間之間沒有必然的聯(lián)系）（）及必是上述空間嗎？（）若有兩個空間，之間通過連續(xù)映射聯(lián)系起來，則原象空間的哪些性質(zhì)可以傳遞到象空間？（4）上述空間的哪些性質(zhì)可以遺傳給子空間？（或

3、閉遺傳？）（5）上述空間的哪些性質(zhì)可以是有限可積的？3連通性：（1）4.1的所有定義,定理均要掌握.以應(yīng)對判斷一個空間的連通性.（2兩）種分支的性質(zhì).三)種連通性之間的關(guān)系()及卅的連通性.4可數(shù)性：P.14圖9表5.1()各空間的性質(zhì)(特別，出空間中序列的性質(zhì)及如何構(gòu)造序列？)()哪些常見空間是出血的？是可分的？的？5分離性：(1)P.171圖表6.1各分離性空間的定義及等價命題.()常見空間及朝的分離性.()兀中序列的極限點(diǎn)，爲(wèi)中點(diǎn)集的凝聚點(diǎn)，正規(guī)、完全正則空間與連續(xù)映射的關(guān)系.()遺傳性、有限可積性、連續(xù)映射的保持性等.6緊致性：()90001的圖表.()各空間的定義及等價命題.()緊致

4、性與分離性的關(guān)系.()緊致、可數(shù)緊致的等價命題.()疋中的緊致子集.6)局部緊致、仿緊致只要求定義與聯(lián)系圖.二、思路：不斷剖析卅,將対中的性質(zhì)作為公理搬到一般拓?fù)淇臻g中來.考察具備怎樣的性質(zhì)的拓?fù)淇臻g才能具有與卅相應(yīng)的性質(zhì).及研究各拓?fù)淇臻g的性質(zhì)及這些性質(zhì)的遺傳性、有限可積性、連續(xù)映射的保持性、拓?fù)洳蛔冃?三、研究手法：集合的運(yùn)算與邏輯推理.四、收獲收獲：復(fù)習(xí)了這些內(nèi)容后，對點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)有何了解？研究目的：研究各拓?fù)淇臻g的性質(zhì)及這些性質(zhì)的遺傳性、有限可積性、連續(xù)映射的保持性、拓?fù)洳蛔冃?感受：原來卅具有性質(zhì).提高：對邏輯推理性的證明能力有提高？證明的書寫能力有提高？五、幾個注意點(diǎn):首先，要熟悉所

5、有的定義、定理的內(nèi)容.涉及度量空間，常利用球形鄰域.有限個開集的交是開集,任意個開集的并是開集.有限個閉集的并是閉集,任意個閉集的交是閉集.一個集合的任意個拓?fù)涞慕皇峭負(fù)?即使有限個拓?fù)涞牟⒁部赡懿皇峭負(fù)?拓?fù)淇臻g中任意個緊致閉子集的交還是緊致子集.有限個緊致子集的并還是緊致子集.拓?fù)淇臻g與它的子集的連通性各自獨(dú)立.不是連續(xù)映射所保持的性質(zhì)而是拓?fù)洳蛔兊牡强蛇z傳的有限可積的可分空間不可遺傳但是連續(xù)映射所保持的有限可積的空間閉遺傳不可積但是連續(xù)映射所能保持的緊致空間閉遺傳但是連續(xù)映射所能保持的有限可積的分離性公理空間不是連續(xù)映射所保持的但是拓?fù)洳蛔兊某?guī)空間是閉遺傳外其余均可遺傳除正規(guī)空間,不可積外其余均有限可積均不可商.在A中構(gòu)造序列，可利用在處的鄰域基套%*二，在每個中取一點(diǎn)碼,就構(gòu)成序列若涉及到連續(xù)映射：X-Y,總是將X中的子集映到Y(jié),或?qū)中的子集反射到X.常對一個等式或包含關(guān)系式兩邊同取或/或閉包，并注意利用的習(xí)題或的定理或的定理要對集族仏肌兀構(gòu)造一個單調(diào)上升或單調(diào)下降序列可令陌=叭楓=則小+，他山+分別為單調(diào)