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文檔簡介
1、 課題導入 觀察它們有什么樣的特征?鸚鵡螺殼 我們發(fā)現(xiàn)上面幾個圖形和函數(shù)圖象都具有對稱性,有的關(guān)于直線對稱,有的關(guān)于點呈中心對稱,有的有特殊的對稱性,那么在我們數(shù)學領(lǐng)域里,我們會研究函數(shù)圖象的某對稱性!1.3.2 奇偶性 教學目標 理解函數(shù)的奇偶性及其幾何意義;學會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì);學會判斷函數(shù)的奇偶性.知識與技能過程與方法 通過函數(shù)奇偶性概念的形成過程,培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力,滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想情感態(tài)度與價值觀 通過函數(shù)的奇偶性教學,培養(yǎng)學生從特殊到一般的概括歸納問題的能力 教學重難點 重點難點函數(shù)的奇偶性及其幾何意義.判斷函數(shù)的奇偶性的方法與格式.o3-2221
2、-113觀察下圖圖像有什么共同的特征呢?o3-2221-113 這兩個函數(shù)的圖像都關(guān)于y軸對稱f(x)=x2x-3-2-101230149149相應的兩個函數(shù)值對應表是如何體現(xiàn)這些特點的呢?x-3-2-101230123123由此得到f(-x)=(-x)2=x2 ,即f(-x)=f(x)由此得到 ,即f(-x)=f(x) 從函數(shù)值對應表可以看到互為相反數(shù)的點的縱坐標有什么關(guān)系? 即相應兩個函數(shù)值相同 對于R內(nèi)任意的一個x,都有f(-x)=(-x)2=x2 =f(x),這時我們稱函數(shù)f(x)=x2 為偶函數(shù).函數(shù)的奇偶性的定義 一般地,如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=
3、f(x),那么稱函數(shù)y=f(x)偶函數(shù).知識要點o3-2221-113-1-2-3觀察下圖圖像有什么共同的特征呢?o3-2221-113-1-2-3f(x)=x 兩個函數(shù)的圖像都關(guān)于原點對稱.f(x)=xx-3-2-101230-1-2-3149f(x)=x3x-3-2-101230-1-8-271827相應的兩個函數(shù)值對應表是如何體現(xiàn)這些特點的呢?由此得到f(-x)=-x=-f(x) ,即f(-x)=-f(x).由此得到f(-x)=- x3 =-f(x),即f(-x)=-f(x).當自變量x取一對相反數(shù)時,相應的函數(shù)值f(x)也是一對相反數(shù). 從函數(shù)值對應表可以看到互為相反數(shù)的點的縱坐標有什
4、么關(guān)系? 對于R內(nèi)任意的一個x,都有f(-x)=-x=-f(x),這時我們稱函數(shù)f(x)=x為奇函數(shù).函數(shù)的奇偶性的定義 一般地,如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么稱函數(shù)y=f(x)奇函數(shù).知識要點 1、函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì). 2、由函數(shù)的奇偶性定義可知,函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是,對于定義域內(nèi)的任意一個x,則x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量(即定義域關(guān)于原點對稱)注意o3-2221-113o3-2221-113o3-2221-113-2-3o3-2221-11321f(x)=x奇偶函數(shù)圖象的性質(zhì): 奇
5、函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱. 反過來,如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱, 那么這個函數(shù)為奇函數(shù). 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.反過來,如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,那么這個函數(shù)為偶函數(shù).知識要點奇偶函數(shù)圖象的性質(zhì)可用于: 判斷函數(shù)的奇偶性. 簡化函數(shù)圖象的畫法.注意(1)判斷函數(shù) 的奇偶性.(2)如圖是函數(shù) 圖像的一部分,能否根據(jù)f(x)的奇偶性畫出它在y 軸左邊的圖像嗎? yx0(1)奇函數(shù)(2)根據(jù)奇函數(shù)的圖 像關(guān)于原點對稱例1 說出下列函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)f(x)=x4 _ f(x)= x -1 _ f(x)=x _奇函數(shù)f(x)=x -2 _偶函數(shù) f(x)=x5 _f(x
6、)=x -3 _ 結(jié)論:一般的,對于形如 f(x)=x n 的函數(shù), 若n為偶數(shù),則它為偶函數(shù).若n為奇數(shù),則它為奇函數(shù).例2 判斷下列函數(shù)的奇偶性: 解:(1) 因為 所以f(x)是奇函數(shù).因為 f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),所以f(x)是偶函數(shù).因為 ,所以f(x)是偶函數(shù).判斷奇偶性,只需驗證f(x)與f(-x)之間的關(guān)系.所以就談不上與f(-3)相等了,由于任意性受破壞。所以它沒有奇偶性.(5)函數(shù)的定義域為-3,3),故f(3)不存在,同上可知函數(shù)沒有奇偶性.故函數(shù)沒有奇偶性.解:(4)當x=-3時,由于,故f(3)不存在, 定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要
7、但不充分條件。(1) 先求定義域,看是否關(guān)于原點對稱.(2) 再判斷f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:知識要點例3:判定下列函數(shù)是否為偶函數(shù)或奇函數(shù).解:(1)對于函數(shù)f(x)=5x,其定義域為(-,+ )對于定義域中的每一個x,都有f(-x) = -5x = -f(x)所以函數(shù)f(x)=5x為奇函數(shù).(2)對于函數(shù) 的定義域為:(-,+ )對于定義域中的每一個x,都有且所以函數(shù) 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(3)對于函數(shù) 的定義域為xx0 對于定義域中的每一個x,都有 所以函數(shù) 是奇函數(shù).(4)對于函數(shù)f(x)=3的定義域為(-,+ ) 對于定
8、義域中的每一個x,都有f(-x)=3=f(x),所以函數(shù)f(x)=3是偶函數(shù).奇函數(shù)偶函數(shù)既奇又偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)(5)f(x)=0.(5)對于函數(shù)f(x)=0的定義域為(-,+ )對于定義域中的每一個x,都有f(-x)=0=f(x)=-f(x),所以函數(shù)f(x)=0既是偶函數(shù)也是奇函數(shù).根據(jù)奇偶性, 函數(shù)可劃分為四類:1.一次函數(shù)y=kx+b是奇函數(shù)嗎?2.反比例函數(shù)是奇函數(shù)嗎?3.二次函數(shù)一定是定義在R上的偶函數(shù)嗎?4.函數(shù)的定義域?qū)瘮?shù)有沒有影響?5.有沒有函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),請舉出一例?6.有沒有一個函數(shù)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù),也請舉出一例?課后思考一下,做一做吧!例4 判斷函
9、數(shù) 是否具有奇偶性?解:當a=0時, 此時函數(shù)f(x)為奇函數(shù).當a0時, 此時f(x)=f(-x),f(x)=-f(x)都不能在定義域內(nèi)恒成立,即函數(shù) 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).例5 已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上奇函數(shù),當 求(1)f(-1) ; (2)若t0,求f(t).1、兩個定義:對于f(x)定義域內(nèi)的任意一個x, 如果都有f(x)=-f(x) f(x)為奇函數(shù) 如果都有f(x)=f(x) f(x)為偶函數(shù)2、兩個性質(zhì): 一個函數(shù)為奇函數(shù) 它的圖象關(guān)于原點對稱 一個函數(shù)為偶函數(shù) 它的圖象關(guān)于y軸對稱 課堂小結(jié) 3.判斷函數(shù)奇偶性的步驟和方法: 先看定義域是否關(guān)于原點對稱, 然后在找
10、f(x)與f(-x)間的關(guān)系4.奇函數(shù),偶函數(shù)作一些簡單運算后會出現(xiàn)一些規(guī)律: 奇+奇=奇 偶+偶=偶 奇X奇=偶 偶X偶=偶5.已知函數(shù)性質(zhì),求其它區(qū)間上函數(shù)的解析式 課堂練習 1.判斷函數(shù) 的奇偶性.解: 定義域為R f(x)為奇函數(shù).解(1)4-x20 |x+2|1 -2x2 x-1且x-3-2x 2且x -1定義域為-2,-1) (-1,22.判斷函數(shù) 的奇偶性(1)求函數(shù)的定義域;(2)判斷函數(shù)的奇偶性(2)且f(x) -f(x),所以說此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)oyx3.已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),它在y軸右邊的圖象如圖,畫出y=f(x)在 y軸左邊的圖象.4.已知函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).求證:f(x)=0證明:因為 f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)所以f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x)所以f(x)= -f(x)所以2f(x)=0即f(x)=0. 這樣的函數(shù)有多少個呢? 有無數(shù)個,因為f(x)只是解析式的特征,若改變其函數(shù)的定義域,顯然函數(shù)就不同了,例如:f(x)=0,x-3,3,與f(x)=0,x -1,1.5.判斷函數(shù)f(x)=kx+b的奇偶性解:當b=0時,f(-x)=-f(x),則f(x)是奇函數(shù);當b0時,f(x) -f(x)且f(-x)f(x)所以說f(x)不是奇函數(shù)也不是偶
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