最優(yōu)化方法(試題 答案)

1、)()(填空題1.假設(shè)/(%) =2)(：靖)(1 3)(，段)二(是問(wèn)題mindsta11d 0j e /ad = e EminV/(x)s.t.a* I1也。代IaI1d=U,iEd0A1020.用可行方向算法(Zoutendi jk算法或Frank Wolfe算法) 求解下面的問(wèn)題(初值設(shè)為%(0) = (0,0)(0)=(0,0),計(jì)算到式2)X(2)即可)：min / (%) = x2xxs.t3xx x2 0.mi 時(shí)(x)=21X12-x1X2X22-2xist3xi0X20.參考答案一、填空題1. 4%i 2x2 1 （2修 4%2 3）（4:1lxr/12x4x3)4 2(2

2、 4) 0W)Td0.xi-x20,2(x1-x2)二07.F(X)=X122211X2-1)2二、證明題.證明：要證凸規(guī)劃，即要證明目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)且可行域 是凸集。*方面，由于ff二次連續(xù)可微，= 2/V2)=2/正定，根據(jù)凸函數(shù)等價(jià)條件可知目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)。另一方面，約束條件均為線性函數(shù)，假設(shè)任意)()(),那么Vf(x)=W)=V2/ =V抬尸x,y E D x.yED 可行域，那么0g (la)y)=1見(jiàn)(汽)(la)0(y) 0 i C Ihax (lcr)y) = a%(x) (la)%(y) = 0 ieEgI(ax(l-a)y)=ag*I(x)(l-a)g*IW0記hJ(ax

3、(l-a)y)=ahj(x)(-a)hCy)二olEE故ax (lcr)y e D ax(1-a)yED ,從而可行域是凸集。2.證明：要證dd是f f在XX處的一個(gè)可行方向，即證當(dāng)x E D xEDdERndeRn時(shí)，35 0 30,使得x ad E D xadEDa e (0,5尤(0,例當(dāng)IE1iel時(shí)，axbi 0aI7x-bi0ad 0ai1d0,故a；(% ad)bj = ayxb, aad 0aI7(xad)b-a x-biaaI7d09當(dāng)iEElEE時(shí)，axbj = 0aI7x-bI二0a d = 0aad)bj = axbj aad = 0aI1(xad)-bi-aI7x-b

4、IaaI7d=0因此，dd是ff在X處的一個(gè)可行方向。三、計(jì)算題1.解：(p(a) = f(x ad) = (x1 ady)2 2(x2 1出)29或二(x1ad)2(%2ad2)2令(P (a) = 0 w ，(a)=0得d2I 2d2x2 a = T a=a i2di%i2dr 2X寸=(泰) W)=( lx14ar /)第一次迭代：V/(r(0) = (4)w(0)=(24)9dW = V/(%(0) = (4)d(0)(o)=(-2-4)(p(a) = ad)(p(a)= 艮 x(o) ad(o),令(P (a) = 0wf(a)=0,求得olq 5/18a=5/18第二次迭代：4%=

5、%(。)劭於)=(7)9X(1)=x(0)ad（o）二（Vf(X)=(2)9w(I)二()98*)= V )=(2)9d1)=7艮x1)=(.設(shè)連續(xù)可微且V/(x)中 0W)二0,假設(shè)向量d d滿(mǎn)足，那么它是在XX處的一個(gè)下降方向。.向量(123)7(123)關(guān)于3階單位方陣的所有線性無(wú)關(guān)的共輾向量有.設(shè)f:R、RfiR7R(p(a) = f (%。)ad。，)9(q)書(shū) x(Dad),令(P (a) = 09，(a)=0，求得= 1/2a= 1/2,故/)=由X=Xd(i)=(00由于v/(%(2) =(o)w)二(00,故y（2）X（2）為最優(yōu)解。伙% X(k)W)投)d(k)a 0min

6、/(x)=xih(x)=x2-x11=0)=(),故丫(2)/VX(2)為最優(yōu)解。飲% X(k)Vf(X(%Vf(x(k)Md(k)akak0(LI)()TT(0,1)7 (0,-1)T1/21(L1/2)T(1,V2)T(l/2,0)?(l/2,0)T(l/2,l/4)7(-l/2-l/4)T22T (0,0) (0,0)T.解：取初始可行點(diǎn) /。)=(0,0)，4 = 4/。)=2,3.求解等式約束子問(wèn)題min d； +d；- 2d、一 4d?s .t .d、= 0, d? = 0得解和相應(yīng)的Lagrange乘子/。)=(0, OK 4 = (-2,-4了故得%。)=/。)=(0,01，4

7、=43 = 2轉(zhuǎn)入第二次迭代。求解等式約束子問(wèn)題min d； +d； - 2d、一 4d21 = 0得解/(OR wO計(jì)算A _/7rr(1)1%=min 15-i = 1,3M d 0 = J =- ai aai a 2令x(2)= X。)+=(o, 1),4 = 4 U 1 = L 2轉(zhuǎn)入第三次迭代。求解等式約束子問(wèn)題min d； +d； - 2d2d? + 乩=0, d 0得解和相應(yīng)的Lagrange乘子d=(0,0)14 = (2,0尸由于丸20,故得所求二次規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解為x* = %=(0,1)7 ,相應(yīng)的Lagrange乘子為萬(wàn)=(2,0,0)74.解：計(jì)算梯度得V/(x) =

8、 (2%1x2212x2i)/W)=(2x1-x22,2x2-%1)T當(dāng)k = 0k=0時(shí)，x(0) = (0,0)(0)=Q0)V/(x) = (2,oyW)=(-2,0)產(chǎn)y(0)是下面線性規(guī)劃問(wèn)題的解：mi幾 V/(%()y = 2yls工.3y y2 -1 - Qy2 -minV/(x(0)y=-2y13yiy200.解此線性規(guī)劃(作圖法)得y(0) = (2/3,0)7y(0)=(2/3,0)T,于是d(。)= y(%(。)=(2/3,0)Td(0)二 y(0)-x(0)=(2/3,0)T.由線性搜索0 t td)=步#0/0的K-K-T條件為:7.以下約束優(yōu)化問(wèn)題：mm/(x) = xs,t.xA %2 = 1min/(x)=xi222St二1的外點(diǎn)罰函數(shù)為（取罰參數(shù)為).二、證明題(7分8分)1.設(shè)0：RtR-= 1,2,租1gI:RnTR,i=l,2rmi和hi：R“TR,i =叫hIRnR,i=mi1,機(jī)都是線性函數(shù)，證明下面的約束問(wèn)題：min f (x) = E：工,0(%)2 ，iE I = L 小勺G) = 0, j e E = mAmin/(x)=izgz(x)o,iEl= l/-mi)(x)=0,jEE=m