§41多元線性回歸分析§42決策模型

1、課題第四章概率統(tǒng)計(jì)模型多元線性回歸分析決策模型教學(xué)內(nèi)容多元線性回歸分析隨機(jī)決策模型的基本原理與解法，及應(yīng)用舉例。教學(xué)目標(biāo)掌握多元線性回歸分析的基本原理和建模的基本過程。能夠運(yùn)用多元回歸分析模型解決實(shí)際問題并進(jìn)行模型分析。掌握決策模型的計(jì)算方法，能夠運(yùn)用決策模型解決實(shí)際問題并進(jìn)行模型分析教學(xué)重點(diǎn)多元線性回歸分析的基本原理，基本過程及其計(jì)算方法。掌握隨機(jī)決策模型的基本原理和建模的基本過程。掌握決策模型的計(jì)算方法。實(shí)際建模訓(xùn)練教學(xué)難點(diǎn)多元線性回歸分析的基本原理及其數(shù)值計(jì)算、運(yùn)用模型解決實(shí)際問題隨機(jī)決策模型的基本原理及其決策準(zhǔn)則的確定雙語教學(xué)內(nèi)容、安排Linear regression analysi

2、s線性回歸分析Multivariate regression analysis 多元回歸分析decision analysis決策分析Decision rule決策規(guī)則Decision tree決策樹教學(xué)手段、措施采用多媒體教學(xué)的形式。以電子課件為主，粉筆黑板相結(jié)合為輔，使學(xué)生能夠 充分利用課堂有效的時(shí)間了解盡可能多的相關(guān)知識(shí),并結(jié)合啟發(fā)式教學(xué).作業(yè)、后記教學(xué)過程及教學(xué)設(shè)計(jì)備注多元線性回歸分析一.問題提出水泥凝固時(shí)放出熱量問題：某種水泥在凝固時(shí)放出的熱是y （J / g）與水泥中 下列4種化學(xué)成分有關(guān)。氣：3CaO - Al2O3 的成分（%）:3CaOSi的成分（%）x :4CaOAl OF

3、e O的成分（%）32 33 3x4 : 2CaO - SiO2 的成分（%）現(xiàn)記錄了 13組數(shù)據(jù)，列在表4 1中，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，試研究y與X ,X ,x ,x四種成份的關(guān)系。1234表4 1編號(hào)x1(%)x 2(%)x3(%)x 4(%)y (J / g)172666021291552311568204113184757526336115592273711768131224492541822102147426111402334121166912131068812回歸分析 就是數(shù)理統(tǒng)計(jì) 中研究相關(guān)關(guān) 系的一種數(shù)學(xué) 方法，它就是通 過大量的試驗(yàn) 或觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)變 量之間關(guān)系的 統(tǒng)計(jì)規(guī)律。在現(xiàn)實(shí)生

4、活中，變量與變量之間經(jīng)常存在一定的關(guān)系，一般來說，變量之間的關(guān) 系可以分為兩大類，一類是確定性的關(guān)系，這種關(guān)系通常用函數(shù)來表示。例如，已知 圓的半徑r，那么圓的面積S與半徑r的關(guān)系就可用函數(shù)關(guān)系：S =2來表示，這 時(shí)如果取定了r的值，S的值就會(huì)完全確定了。另一類是非確定性關(guān)系，例如，人的 體重與身高之間的關(guān)系就是非確定性關(guān)系，一般來說，身高越高，體重越大，但是身 高相同的人體重往往是不相同的。再如，鋼材的強(qiáng)度與鋼材中含某種元素的含量，纖 維的拉伸倍數(shù)與強(qiáng)度，降雨量、氣溫、施肥量與農(nóng)作物的產(chǎn)量等均屬于這種關(guān)系。變 量之間的這種非確定性關(guān)系通常稱為相關(guān)關(guān)系。二.多元線性回歸分析模型為了研究方便，

5、我們考慮一個(gè)變量受其他變量影響時(shí)，把這變量稱為因變量，記 為Y，其他變量稱為自變量，記為X，這時(shí)相關(guān)關(guān)系可記作= f (x )+(41)其中f (x)為當(dāng)X = x時(shí)，因變量Y的均值，即f (x)= E(Y I X = x)稱f G)為Y對(duì)X的回歸函數(shù)，8為Y與f G)的偏差，它是隨機(jī)變量，并假定 E G)=0?；貧w函數(shù)可以是一元函數(shù)，也可以是多元函數(shù)，即= f (x1, x 2,x ) + e(42)其中 f (x ,x ,x ) = E(Y I X = x ,X = x，X = x )為 m 元回歸函 12m11 22mm數(shù)，統(tǒng)稱為多元回歸函數(shù)。若回歸函數(shù)f (x ,x ,x )中，m =

6、 1且f (x ,x，,x )是線性函數(shù)，則稱12m12mf (x)為是一元線性回歸函數(shù)；m 1且f (x ,x，,x )是多元線性函數(shù)，則稱其為12m多元線性回歸函數(shù)；若回歸函數(shù)f (氣,x 2,xm)是非線性函數(shù)，則稱其為非線性回 歸函數(shù)。對(duì)非線性回歸，經(jīng)常采用線性化的方法來處理。所以，目前研究最多的是線 性回歸問題，且假定X1,X2,乂以和丫均服從正態(tài)分布。回歸分析的任務(wù)就是要求 出滿足式(42)的回歸函數(shù)f (x :x ,x )，從而對(duì)所研究的相關(guān)關(guān)系做出所需的 12m預(yù)測(cè)和控制。多元回歸模型的應(yīng)用是相當(dāng)廣泛的，例如，某種商品的銷售量可能受收入水平、 風(fēng)俗習(xí)慣、產(chǎn)品質(zhì)量、價(jià)格、宣傳廣告

7、等多種因素的影響；某種產(chǎn)品的質(zhì)量可能受生 產(chǎn)該產(chǎn)品時(shí)的溫度、濕度、壓力、原材料的質(zhì)量和有害成分的含量等影響；工人的勞 動(dòng)生產(chǎn)率可能受學(xué)歷、智力水平、情緒的穩(wěn)定性和才能等因素的影響；某城市的用水 量可能與該城市的人口數(shù)及工業(yè)總產(chǎn)值有關(guān)。諸如此類的關(guān)系，可以通過多元回歸分 析模型進(jìn)行研究。例如，在水泥凝固時(shí)放出熱量問題中，可建立線性回歸模型(4-3)Y = b + b x + b x + b x + b x + TOC o 1-5 h z 01 12 23 34 4其中 E() = 0,D() =g。而b ,b ,b ,b ,b和。2是未知參數(shù)，為了估計(jì)這些參數(shù)，將表4 1的值代入模 01234型

8、(43)，得線性模型f y = b + b x + b x + b x + b x +(4-4)J i 01 i12 i 23 i 34 i 4i|E( ) = 0,Cov( , ) =8 b2,(，,j = 1,13)、 ii j ij一般地，多元線性回歸模型可表示為：Y = b + b x + b x + b x + b x +(4-5)01 12 23 34 4其中，x , x， x是自變量，b為常數(shù)，b , b , -, b為回歸系數(shù)，12 m012 mb ,b ,b ,b皆為未知，統(tǒng)稱b ,b ,b ,b為回歸參數(shù)，一旦回歸參數(shù)確定，則 012m012m多元線性回歸模型就完全確定，一

9、般假定隨機(jī)誤差 N(0,c2)。為了得到回歸參數(shù)的估計(jì)值，就要對(duì)變量進(jìn)行觀測(cè)，假設(shè)對(duì)變量的n(n m)次 獨(dú)立觀測(cè)數(shù)據(jù)為：(y ,x ,x ,x ),i = 1,n，則這些觀測(cè)數(shù)據(jù)應(yīng)滿足式(4一 i i1 i 2im5)，即有y = b + b x + b x + b x + b x +101 112 123 134 141(4-6)y = b + b x + b x + b x + b x +201 212 223 234 242y = b + b x + b x + b x + b x + n 01 n12 n 23 n34 n 4 nf11x112x121xx2122：:1xxn1n 2

10、ij)T , P = (b , b，, b ) T , =( , , , 8 ) T， 01m12nX =其中 E(.) = 0,Cov(.,8 .) = 8*2,(i, j = 1,.,n), 若記y = (y , y，:yXnm 屹(m+1)則多元線性回歸的數(shù)學(xué)模型式(4 6)可以寫成矩陣形式Y(jié) = XP+S(4 7)其中 E(S) = 0,Var(s) =b 21。參數(shù)的最小二乘估計(jì)為了獲得參P的估計(jì)，我們采用最小二乘法，即選擇P，使Q( P) = W S2 = T s = (Y - XP) T (Y - XP)(48)i=1達(dá)到最小。將Q G)對(duì)P求導(dǎo)數(shù)并令其為零，得票=-2 XT (

11、Y - XP) = 0即 XtXP = XtY。記L = XtX，貝gLP = XtY(4 9)方程(4 9)稱為正規(guī)方程，其中X為n x (m +1)階矩陣，一般假定 rank(X) = m +1，由線性代數(shù)理論可知，L = XtX為滿秩矩陣，它的秩 rank(L) = m +1，則正規(guī)方程(49)有唯一解，記作P = L-1 XtY(410)我們來證明(410)式中日為參數(shù)向量P的最小二乘法估計(jì)量，現(xiàn)用矩陣形 式來敘述其證明步驟。從式(4 8)知，對(duì)任意的PQ = (Y - XP) T (Y - XP)則有(Y - XP) t (Y - XP) = (Y - X P) + X (P-P )

12、t (Y - X P) + X (P-P)=(Y - X P) t (Y - X P) + (P-P) tXtX (P-P) +(Y - X P) tX (P-P) +(P-P) tXt (Y - X P) (Y - X P) t (Y - X P)上述證明過程中應(yīng)用了如下結(jié)果：(P-P) tXtX (P-P) = X (P-P )t X (P-P) 0(Y - X P) tX (P-P) = (YtX-P XtX )(P-P) = (YtX - YtX )(P-P) = 0至此，在|L|。0時(shí)，證明了式(410)中的P是P的最小二乘法估計(jì)量。在實(shí)際工作中，常稱y=芬+bx +bx為經(jīng)驗(yàn)線性回

13、歸方程。011m m最小二乘法估計(jì)量的性質(zhì)首先我們?cè)诩俣‥(S) = 0,Var(S) =。2七的條件下，探討一下由式(4-10)確 定P的最小二乘法估計(jì)最6的性質(zhì)P是P的線性無偏估計(jì)量。證：由于P = L-1 XtY，每一個(gè)都是y，y的線性組合，因而是b的線i1ni i性估計(jì)量，此時(shí)稱P是P的線性估計(jì)量。E (p) = E (L-i XtY ) = L-i XtE (Y) = L-i XtE (X。+) =L-i Xt Xp + E (&) = L-i XtXP = pi(2)即 E(b) = b , (i = 1,m)。性質(zhì)2告 訴我們，用最小 二乘法求出的 諸回歸系數(shù) b ,b ,b ,

14、b0 i 2 m 之間存在相關(guān) 性，進(jìn)一步可以 證明。的協(xié)方差矩陣為。2L-i，即D(b.) = 2 c iiiCov(b,b ,) = 2c ,(i, j = 0,i,2,m +1)其中 L-i = C =(c.)八Cov(p, P) = E Fa （m, n 一 m 1）時(shí)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為回歸效果顯著;否則認(rèn)為回歸效果不顯著。（2）單個(gè)回歸系數(shù)為零的檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）該檢驗(yàn)即某個(gè)自變量是否對(duì)因變量有顯著性影響的檢驗(yàn)。在多元回歸分析中可能出現(xiàn)y與所有自變量的總體是有相關(guān)關(guān)系的，但y與某個(gè)特定的x則可能無關(guān)，即X對(duì)y并不起作用或者已被其他的X的作用所代替，為此 iii設(shè)m個(gè)原假設(shè)H : b = 0

15、, i = 1,2，,m若H 0i為真，統(tǒng)計(jì)量btt（n m 1）, i = 1,2, . . ., m ii而當(dāng)H0i不成立時(shí)，|tj有變大的趨勢(shì)，因而應(yīng)取雙側(cè)拒絕域，故當(dāng)t, t （n m 1）時(shí)，否定H .，即認(rèn)為x對(duì)y是有作用的，若某幾個(gè)X是有作用即若匕為真，統(tǒng)計(jì)量的，而另幾個(gè)七是不起作用的，則應(yīng)從回歸方程中刪除那些不起作用的自變量。 單個(gè)回歸系數(shù)是否為零，也可以用F檢驗(yàn)，b2F =1F(1, n m 1), i = 1,2,mi C 2 S 2 ii拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為七對(duì)y的影響是顯著的;否則故當(dāng) F F (1, n 一 m 1)時(shí)認(rèn)為%對(duì)y的影響是不顯著的。對(duì)的區(qū)間估計(jì)因而氣的1-

16、a置信區(qū)間為，十 b； 一 b由于七-i- t(n m 1)，芒s(b d , b + d )、i i i i TOC o 1-5 h z 其中_d = t (n m 1) . yc - s2 y的95%預(yù)測(cè)區(qū)間近似為( 一 2S, y + 2s)，其中000八 44y = b 0 + 外 x + b 2 x HF b mx多元線性回歸分析模型的推廣1)多項(xiàng)式回歸分析模型類似于模型(4 5)，由自變量多項(xiàng)式的隨機(jī)項(xiàng)組成的回歸模型稱為多項(xiàng)式回歸 模型，它的一般形式為：= b + b x + b x2 + b xm +e初看模型(4 13) 不不是線性回歸:因自變量中含有冪函數(shù)，但由于未知參數(shù) x

17、i, i = 1,m都是線性出現(xiàn)的，因此，令模型的共同特 點(diǎn)是未知參數(shù) 都是以線性形 式出現(xiàn)，所以都 可以采用恒等 變換，像模型(4 13)化為模型 (414) 一樣 化為多元線性 回歸模型。x = x, x = x 2,x = xm 則模型(413)就變成為多元線性歸模型：= b + b x + b x + b x +s01 12 2m m從而多項(xiàng)式回歸模型可以用多元線性回歸模型的計(jì)算公式和檢驗(yàn)方法。多項(xiàng)式回 歸還有許多推廣的形式，例如：Cy = b + b x + b x2 + b xm + TOC o 1-5 h z 012m xy = b + b x + b x2+ bxm+ c In

18、 xy = Exp(b + b x + bx2+ bxm)y = Exp(b + b x + bx2+ bxm + )y = Exp(b + b x + bx2+ bxm)x2)廣義線性回歸模型廣義線性回歸模型的一般形式為：y = f (b + b F (x , x ,，x ) FF b F (x , x ,，x )01112mp p 12m其中：y = f(y0)是一個(gè)不含未和參數(shù)的一元函數(shù)，有反函數(shù)：y 0 = g(y)F = (x ,x，,x )(j = 1,2，,p)是x ,x，,x的不含未知參數(shù)的多元函數(shù)。 j 12m12m廣義線性回歸模型的回歸系數(shù)的確定主要是從自變量氣,x2，,x

19、和回變量y以及n組觀察值(X , X ,x , y ), i = 1,2,n TOC o 1-5 h z i1i 2im i出發(fā)，用最小二乘法求出b ,b,b的估計(jì)b,b ,b，使得01p01pQ = W g(y ) - (b + b F (X ,x ,x ) + + b F (x , x ,x )201 1i1i 2imp pi1i 2imi=1達(dá)到最小。此時(shí)也就是令t = F ( x , x ,，x )l p p 12m則Y=b +bt+bt ，這樣就把廣義線性回歸模型化為多元線性回歸模型。 01 1p p和 Mathematica 求解1) MATLAB 命令命令格式b,bint,r,r

20、int,stats=regress(Y,X,alpha)，其中輸入向量 X，Y 的 排列方式分別為1, X , X ,xy 11221m11, X , X ,XY=y21222 m2j1, X , X ,. .,Xyn1n2 . . nmnX =alpha為顯著性水平(缺省時(shí)設(shè)定為)。輸出向量b b為回歸系數(shù)的估計(jì)值，即輸出向量bint為回歸系數(shù)估計(jì)值的置信區(qū)間；輸出向br為殘差向量； 輸出向brint為殘差向量的置信區(qū)間；輸出向量stats = (R2,F,P)t，它是一個(gè)3維向量，用于檢驗(yàn)回歸模型的統(tǒng)計(jì)量， 其中第一個(gè)分量R 2中的R是相關(guān)系數(shù)，第二個(gè)分量是F統(tǒng)計(jì)量，第三個(gè)分量是與統(tǒng) 計(jì)量

21、F對(duì)應(yīng)的概率P，當(dāng)P alpha時(shí)拒絕原假設(shè)H0，說明回歸模型成立。2) Mathematica 命令即可調(diào)入線性回歸Mathematica 中鍵入命令 F （4.8） = 3.838進(jìn)一步可得F 10 05（4.8） = 7.006 /所以回歸效果是高度顯著的。決策模型一.問題提出決策是人們?cè)谏詈凸ぷ髦衅毡榇嬖诘囊环N活動(dòng)，是為解決當(dāng)前或未來可能發(fā)生 的問題，選擇最佳方案的一種過程。比如，某人決定要到某地出差，而天氣預(yù)報(bào)可能 有寒流，考慮出差是否要帶棉大衣，帶上棉大衣無寒流是個(gè)累贅，若不帶又可能遇上 寒流而挨凍，到底帶不帶這就要他作出決策；又如生產(chǎn)某種產(chǎn)品的工廠，若對(duì)此種產(chǎn) 品的市場(chǎng)需求不是

22、很了解，生產(chǎn)的數(shù)量太小，影響企業(yè)收入，生產(chǎn)的數(shù)量達(dá)大，又勢(shì) 必造成產(chǎn)品積壓，影響資金周轉(zhuǎn)，給企業(yè)造成損失，到底生產(chǎn)多少為宜這就需要有關(guān) 人員通過市場(chǎng)調(diào)查后作出決策。所以，小到個(gè)人生活，大至企業(yè)經(jīng)營(yíng)以及國(guó)家的政治 經(jīng)濟(jì)問題，都需要決策。本節(jié)介紹決策的一些基本術(shù)語中和常見的兩種決策方法。例1 某公司為了擴(kuò)大市場(chǎng)，要舉辦一個(gè)產(chǎn)品展銷會(huì)，會(huì)址打算選擇甲、乙、 丙三地;獲利情況除了與會(huì)址有關(guān)系外，還與天氣有關(guān)，天氣分為晴、陰、多雨三種， 據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，估計(jì)三種天氣情況可能出現(xiàn)的概率分別為，其收益情況如表42, 現(xiàn)要通過分析，確定會(huì)址，使收益最大。表4 1自然氣情天況狀態(tài)益概率N2（陰）N 1 （晴）N3

23、 成雨）狀態(tài)概率自然益況N（晴）表4 1天N（陰）氣雨）N3成情a址方案_P =1P =2P =3A （甲地）4611A （乙地）542A（丙地）62決策的概念和類型在決策問題中，把面臨的幾種自然情況叫自然狀態(tài)或客觀條件，簡(jiǎn)稱狀態(tài)或條件，出現(xiàn)。把% A 2, A3稱為行動(dòng)方案或策略， 中后三行數(shù)字稱為益損值，根據(jù)這些數(shù) 它們構(gòu)成的矩陣 TOC o 1-5 h z 如例1中的N,N ,N就是各種不同的自然狀態(tài)，這些是不可控因素，但只能有一種 123些是可控因素，由決策者決定。表426 2 1.2同，有時(shí)也叫效益值或損失值，由叫做決策的益損矩陣或風(fēng)險(xiǎn)矩陣。P , P , P是各狀態(tài)出現(xiàn)的概率。12

24、3一般地，如決策問題的可控因素（即行動(dòng)方案）用A （i = 1,2,m）表示，狀態(tài) i用N （j = 1,2，,n）表示，在N狀態(tài)下采用A.行動(dòng)方案的風(fēng)險(xiǎn)值用a表示，N狀 jjiijj態(tài)出現(xiàn)的概率用P,表示，則可根據(jù)n的大小和Pj的信息情況，將決策問題分為三類:確定型決策、風(fēng)險(xiǎn)型決策和不確定型決策。7當(dāng)n=1時(shí)，決策問題就是確定型的，我們主要計(jì)論風(fēng)險(xiǎn)型和不確定型的決策問題。風(fēng)險(xiǎn)決策問題當(dāng)n 1，且各種自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率p （i = 1,2,n）可通過某種途徑獲得時(shí)的i決策問題就是風(fēng)階決策問題。如例1就是風(fēng)險(xiǎn)決策問題，對(duì)于這類問題，我們介紹兩 種決策準(zhǔn)則和相應(yīng)的解決方法。1）最大可能準(zhǔn)則由概率論

25、知識(shí)，一個(gè)事件的概率就是該事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小，概 率越大，事件發(fā)生的可能性就越大?；谶@種思想，在風(fēng)險(xiǎn)決策中我們選擇一種發(fā)生 概率最大的自然狀態(tài)來進(jìn)行決策，而不顧及其他自然狀態(tài)的決策方法，這就是最大可 能準(zhǔn)則。這個(gè)準(zhǔn)則的實(shí)質(zhì)是將風(fēng)險(xiǎn)型決策問題轉(zhuǎn)化為確定型決策問題的一種決策方 法。若對(duì)例1按最大可能準(zhǔn)則進(jìn)行決策，則因?yàn)樽匀粻顟B(tài)N2出現(xiàn)的概率p2 = 0.50最 大，因此就在這種自然狀態(tài)下進(jìn)行決策，通過比較可知，采取氣行動(dòng)方案獲利最大。 因此，采用A方案是最優(yōu)決策。1應(yīng)該指出，如果各自然狀態(tài)的概率較接近時(shí)，一般不使用這種決策準(zhǔn)則。2）期望值準(zhǔn)則（決策樹法）如果把每個(gè)行動(dòng)方案看作隨機(jī)變

26、量，在每個(gè)自然狀態(tài)下的效益值看作隨機(jī)變量的 取值，其概率為自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率，則期望值準(zhǔn)則就是將每個(gè)行動(dòng)方案的數(shù)學(xué)期望計(jì)算出來，視其決策目標(biāo)的情況選擇最優(yōu)行動(dòng)方案。若對(duì)例1按期望值準(zhǔn)則進(jìn)行決策，則需要計(jì)算各行動(dòng)方案的期望收益，事實(shí)上E(A ) = 4 x 0.2 + 6 x 0.5 +1 x 0.3 = 4.1E(A2) = 5 Xo.2 + 4 x 0.5 +1.5 x 0.3 = 3.45E (A3) = 6 x 0.2 + 2 x 0.5 +1.2 x 0.3 = 2.56顯然，E(A)最大，所以采取行動(dòng)方案A1最佳，即選擇甲地舉辦展銷會(huì)效益最大。值得注意的是，為了形象直觀地反映決策問題

27、未來發(fā)展的可能性和可能結(jié)果所作 的預(yù)測(cè)而采用的決策樹法就是按期望值準(zhǔn)則進(jìn)行決策的一種方案。以例1來說明其決 策步驟。例1的決策樹如圖41所示，其中：表示決策點(diǎn)，從它引出的分枝叫方案分枝，其數(shù)目就是方案數(shù)O表示機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)，從它引出的分支叫概率分支，每條概率分支代表一種自 然狀態(tài)，并標(biāo)有相應(yīng)狀態(tài)發(fā)生的概率。稱為末稍節(jié)點(diǎn)，右邊數(shù)字表示各方案在不同自然狀態(tài)下的益損值。+4+6.+1+5+4.+6+2+晴 P (N= 陰 P (n2)= 多雨P(guān)(N3)=晴P皿)= 陰 P (n2)= 多雨P(guān) (N3)=晴 P (%)= 陰P (電)= 多雨P(guān) (N3)=圖4-1 決策樹計(jì)算各機(jī)會(huì)節(jié)的期望值，并將結(jié)果標(biāo)在節(jié)

28、點(diǎn)止方，再比較各機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)上標(biāo)值的大小， 進(jìn)行決策，在淘汰方案分枝上標(biāo)“ + + ”號(hào)，余下方案即為最優(yōu)方案，最優(yōu)方案的期 望值標(biāo)在決策點(diǎn)的上方。本便A1上方標(biāo)值為最大，因此選定方案A1，其收益數(shù)值的 期望為。11此例只包括一個(gè)決策點(diǎn)，稱為單級(jí)決策問題。在有些實(shí)際問題中將包括兩個(gè)或兩 個(gè)以上的決策點(diǎn)，稱為多級(jí)決策問題，可利用同樣的思路進(jìn)行決策。例2某工程采用正常速度施工，若無壞天氣的影響，可確保在30天內(nèi)按期完成 工程，但據(jù)天氣預(yù)報(bào)，15天后天氣肯定變壞，有40%的可能出現(xiàn)陰雨天氣，但這不 會(huì)影響工程進(jìn)度，有50%的可能遇到小風(fēng)暴，而使工期推遲15天；另有10%的可能 遇到大風(fēng)暴而使工期推遲20

29、天。對(duì)于以上可能出現(xiàn)的情況，考慮兩種方案：（1）提前加班，確保工程在15天內(nèi)完成，實(shí)施此方案需增加額外支付18 000元。（2）先維持原定的施工進(jìn)度，等到15天后根據(jù)實(shí)際出現(xiàn)的天氣狀況再作對(duì)策：a）若遇陰雨天，則維持正常進(jìn)度，不必支付額外費(fèi)用。b）若遇小風(fēng)暴，則有下述兩個(gè)供選方案：一是抽空（風(fēng)暴過后）施工，支付 工程延期損失費(fèi)20 000元，二是采用應(yīng)急措施，實(shí)施此措施可能有三種結(jié) 果：有50%的可能減少誤工期1天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用24 000 元；30%的可能減少誤工期2天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用18 000元;有 20%的可能減少誤工期3天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用12 000元

30、。c）若遇大風(fēng)暴，則仍然有兩個(gè)方案可供選擇：一是抽空進(jìn)行施工，支付工程 的延期損失費(fèi)50 000元;二是采取應(yīng)急措施，實(shí)施此措施可能有三種結(jié)果： 有70%的可能減少誤工期2天，支付延期損失費(fèi)及應(yīng)急費(fèi)用54 000元;有 20%可能減小誤工期3天，支付延期損失費(fèi)及應(yīng)急費(fèi)用46 000元;有10% 的可能減少誤工期4天，支付延期損失費(fèi)及應(yīng)急費(fèi)用38 000元。試進(jìn)行決策，選擇最佳行動(dòng)方案。解 （1）據(jù)題意畫出決策樹，如圖42。14正常速度A小風(fēng)暴大風(fēng)暴19忡一C提前加班 18000陰雨（）減少務(wù)工1天（） 減少務(wù)工2天（） 減少務(wù)工3天（） 24000 18000 12000應(yīng)急抽空施工 2000

31、050000抽空施工 50000減少務(wù)丁 2天（）F減少務(wù)丁 3天（）減少務(wù)丁 4天（） 5400046000 50000圖4-2 決策樹（2）計(jì)算第一級(jí)機(jī)會(huì)點(diǎn)E,F的損失費(fèi)用期望值E （E） = 0.5 x 24000 + 0.3 x 18000 + 0.2 x 12000 = 19800E （F） = 0.7 x 54000 + 0.2 x 46000 + 0.1 x 38000 = 50800將19800和50800標(biāo)在相應(yīng)的機(jī)會(huì)點(diǎn)上，然后在第一級(jí)決策點(diǎn)C,D外分別進(jìn)行方案比 較：首先考察C點(diǎn)，其應(yīng)急措施支付額外費(fèi)用的期望值較少，故它為最佳方案，同時(shí) 劃去抽空施工的方案分枝，再在C上方標(biāo)

32、明最佳方案期望損失費(fèi)用19800元;再考慮 處的情況，應(yīng)急措施比抽空施工支付的額外費(fèi)用的期望值少，故劃去應(yīng)急措施分枝， 在D上方標(biāo)上50000元。計(jì)算第二級(jí)機(jī)會(huì)點(diǎn)B的損失費(fèi)用期望值E(B) = 0.4 x 0 + 0.5 x 19800 + 0.1 x 50000 = 14900將其標(biāo)在B的上方，在第二級(jí)決策點(diǎn)A處進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)正常進(jìn)度方案為最佳方案， 故劃去提前加班的方案分枝，并將14900標(biāo)在A點(diǎn)上方。因此，合理的決策應(yīng)是開始以正常施工進(jìn)度進(jìn)行施工，15天后再根據(jù)具體情況作 進(jìn)一步?jīng)Q策，若出現(xiàn)陰雨天，則維持正常 速度;若出現(xiàn)小風(fēng)暴可采用應(yīng)急措施；若出 現(xiàn)大風(fēng)暴，則進(jìn)行抽空施工。不確定型決策當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)決策問題的自然狀態(tài)發(fā)生的概率既不知道、也無法預(yù)先估計(jì)或利用歷史資 料得到時(shí)的決策問題就稱為不確定型決策問題。仍用NN2,七，表示決策問題 中的自然狀態(tài)，A , A，,A表示行動(dòng)方案，a表示在自然狀態(tài)N下采i種行動(dòng)方12mijj的益損值。若a為效益值時(shí)取正值;若a為損失值時(shí)取負(fù)值。下面介紹幾不確定型的決策準(zhǔn)則。樂觀準(zhǔn)則樂觀準(zhǔn)則的思想就是對(duì)客觀情況總是持樂觀態(tài)度，事事都合人意，即選最大效益 的最大值max max a所對(duì)應(yīng)的行動(dòng)方案作