MATLAB在自動控制原理的應(yīng)用和系統(tǒng)設(shè)計(jì)

1、MATLAB在自動控制原理的應(yīng)用和系統(tǒng)設(shè)計(jì) 5.1 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型5.2 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析 5.3 控制系統(tǒng)的根軌跡 5.4 控制系統(tǒng)的頻域分析5.5 系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析函數(shù)5.6 極點(diǎn)配置和觀測器設(shè)置5.7 最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì) 第五章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述與建模 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在控制系統(tǒng)的研究中有著相當(dāng)重要的地位，要對系統(tǒng)進(jìn)行仿真處理，首先應(yīng)當(dāng)知道系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后才可以對系統(tǒng)進(jìn)行模擬。同樣，如果知道了系統(tǒng)的模型，才可以在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一個(gè)合適的控制器，使得系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到預(yù)期的效果，從而符合工程實(shí)際的需要。在線性系統(tǒng)理論中，一般常用的數(shù)學(xué)模型形式有：傳遞函數(shù)模型（系統(tǒng)的外部模型）、狀

2、態(tài)方程模型（系統(tǒng)的內(nèi)部模型）、零極點(diǎn)增益模型和部分分式模型等。這些模型之間都有著內(nèi)在的聯(lián)系，可以相互進(jìn)行轉(zhuǎn)換。按系統(tǒng)性能分：線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)；連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)；定常系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)；確定系統(tǒng)和不確定系統(tǒng)。1、線性連續(xù)系統(tǒng)：用線性微分方程式來描述，如果微分方程的系數(shù)為常數(shù)，則為定常系統(tǒng)；如果系數(shù)隨時(shí)間而變化，則為時(shí)變系統(tǒng)。我們所討論的系統(tǒng)主要以線性定常連續(xù)系統(tǒng)為主。2、線性定常離散系統(tǒng)：離散系統(tǒng)指系統(tǒng)的某處或多處的信號為脈沖序列或數(shù)碼形式。這類系統(tǒng)用差分方程來描述。3、非線性系統(tǒng)：系統(tǒng)中有一個(gè)元部件的輸入輸出特性為非線性的系統(tǒng)。微分方程是控制系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)，一般來講，利用機(jī)械學(xué)、電學(xué)、力學(xué)等

3、物理規(guī)律，便可以得到控制系統(tǒng)的動態(tài)方程，這些方程對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)而言是一種常系數(shù)的線性微分方程。如果已知輸入量及變量的初始條件，對微分方程進(jìn)行求解，就可以得到系統(tǒng)輸出量的表達(dá)式，并由此對系統(tǒng)進(jìn)行性能分析。通過拉氏變換和反變換，可以得到線性定常系統(tǒng)的解析解，這種方法通常只適用于常系數(shù)的線性微分方程，解析解是精確的，然而通常尋找解析解是困難的。MATLAB提供了ode23、ode45等微分方程的數(shù)值解法函數(shù)，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，也適用于非線性及時(shí)變系統(tǒng)。 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型 對線性定常系統(tǒng)，式中s的系數(shù)均為常數(shù)，且a1不等于零，這時(shí)系統(tǒng)在MATLAB中可以方便地由分子和分母系數(shù)構(gòu)成的兩

4、個(gè)向量唯一地確定出來，這兩個(gè)向量分別用num和den表示。num=b1,b2,bm,bm+1den=a1,a2,an,an+1注意：它們都是按s的降冪進(jìn)行排列的。一、連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下：零極點(diǎn)模型實(shí)際上是傳遞函數(shù)模型的另一種表現(xiàn)形式，其原理是分別對原系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子、分母進(jìn)行分解因式處理，以獲得系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的表示形式。在MATLAB中零極點(diǎn)增益模型用z,p,K矢量組表示。即：z=z1,z2,zmp=p1,p2,.,pnK=k函數(shù)tf2zp()可以用來求傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)和增益。二、零極點(diǎn)增益模型K為系統(tǒng)增益，zi為零點(diǎn)，pj為極點(diǎn)控制系統(tǒng)常用到并聯(lián)系統(tǒng)，這時(shí)就要對

5、系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行分解，使其表現(xiàn)為一些基本控制單元的和的形式。函數(shù)r,p,k=residue(b,a)對兩個(gè)多項(xiàng)式的比進(jìn)行部分展開，以及把傳函分解為微分單元的形式。向量b和a是按s的降冪排列的多項(xiàng)式系數(shù)。部分分式展開后，余數(shù)返回到向量r，極點(diǎn)返回到列向量p，常數(shù)項(xiàng)返回到k。b,a=residue(r,p,k)可以將部分分式轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式比p(s)/q(s)。三、部分分式展開舉例：傳遞函數(shù)描述 1）num=12,24,0,20;den=2 4 6 2 2;2）借助多項(xiàng)式乘法函數(shù)conv來處理：num=4*conv(1,2,conv(1,6,6,1,6,6);den=conv(1,0,conv(1,1,c

6、onv(1,1,conv(1,1,1,3,2,5);零極點(diǎn)增益模型：num=1,11,30,0;den=1,9,45,87,50; z,p,k=tf2zp(num,den)z= 0 -6 -5p=k= 1結(jié)果表達(dá)式：部分分式展開：num=2,0,9,1;den=1,1,4,4; r,p,k=residue(num,den)p=k= 2r=結(jié)果表達(dá)式：P146例10-1，10-2，10-3自動控制原理教材P131例3-16 1控制系統(tǒng)的模型及轉(zhuǎn)換 線性控制系統(tǒng)是一般線性系統(tǒng)的子系統(tǒng)。在MATLAB中，對自動控制系統(tǒng)的描述采用三種模型：狀態(tài)空間模型(ss)、傳遞函數(shù)模型(tf)以及零極點(diǎn)增益模型(

7、zpk)。模型轉(zhuǎn)換函數(shù)：ss2tf，ss2zp，tf2ss，tf2zp，zp2ss和zp2tf。 在MATLAB的Control System Toolbox(控制系統(tǒng)工具箱)中提供了許多仿真函數(shù)與模塊，用于對控制系統(tǒng)的仿真和分析。 控制系統(tǒng)的描述與LTI對象2LTI對象 為了對系統(tǒng)的調(diào)用和計(jì)算帶來方便。根據(jù)軟件工程中面向?qū)ο蟮乃枷?，MATLAB通過建立專用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)類型，把線性時(shí)不變系統(tǒng)(LTI)的各種模型封裝成為統(tǒng)一的LTI對象。 MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中規(guī)定的LTI對象包含了三種子對象：ss對象、tf對象和zpk對象。每個(gè)對象都具有其屬性和方法，通過對象方法可以存取或者設(shè)置對象的屬性

8、值。屬性說明：(1)當(dāng)系統(tǒng)為離散系統(tǒng)時(shí)，給出了系統(tǒng)的采樣周期Ts。Ts0或缺省時(shí)表示系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)；Ts=-1表示系統(tǒng)是離散系統(tǒng)，但它的采樣周期未定。 (2) 輸入時(shí)延Td僅對連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)有效，其值為由每個(gè)輸入通道的輸入時(shí)延組成的時(shí)延數(shù)組，缺省表示無輸入時(shí)延。 (3)輸入變量名InputName和輸出變量名OutputName允許用戶定義系統(tǒng)輸入輸出的名稱，其值為一字符串單元數(shù)組，分別與輸入輸出有相同的維數(shù)，可缺省。 (4)Notes和用戶數(shù)據(jù)Userdata用以存儲模型的其它信息，常用于給出描述模型的文本信息，也可以包含用戶需要的任意其它數(shù)據(jù)，可缺省。LTI模型的建立及轉(zhuǎn)換函數(shù) 在MAT

9、LAB的控制系統(tǒng)工具箱中，各種LTI對象模型的生成和模型間的轉(zhuǎn)換都可以通過一個(gè)相應(yīng)函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。表 生成LTI模型的函數(shù)例5-4 生成離散系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型。MATLAB源程序?yàn)椋簔= ,-0.5;p=0.3,0.1+2i,0.2-2i;k=2,3;s6=zpk(z,p,k,-1)運(yùn)行結(jié)果為：Zero/pole/gain from input 1 to output: 從第1輸入端口至輸出的零極點(diǎn)增益 2-(z-0.3) Zero/pole/gain from input 2 to output: 從第2輸入端口至輸出的零極點(diǎn)增益 3 (z+0.5)-(z-(0.1+2i) (z-(0.2-2i)

10、 Sampling time: unspecified表明該系統(tǒng)為雙輸入單輸出的離散系統(tǒng)。P150例10-5，10-6，10-7 LTI對象屬性的設(shè)置與轉(zhuǎn)換1LTI對象屬性的獲取與設(shè)置表 對象屬性的獲取和修改函數(shù) 2LTI模型的轉(zhuǎn)換函數(shù)表 模型檢測函數(shù) 典型系統(tǒng)的生成1隨機(jī)生成N階穩(wěn)定的連續(xù)狀態(tài)空間模型函數(shù)rss( )格式：sys = rss(N,P,M)功能：隨機(jī)生成N階穩(wěn)定的連續(xù)狀態(tài)空間模型，該系統(tǒng)具有M個(gè)輸入，P個(gè)輸出。缺省是P=M=1，即sys=rss(N)。2. 隨機(jī)生成N階穩(wěn)定的連續(xù)線性模型系數(shù)函數(shù)rmodel( )格式：num,den=rmodel(N,P) 功能：生成一個(gè)N階連

11、續(xù)的傳遞函數(shù)模型系統(tǒng)，該系統(tǒng)具有P個(gè)輸出。3離散時(shí)間N階穩(wěn)定隨機(jī)系統(tǒng)生成函數(shù)drss( )和drmodel( )drss和drmodel函數(shù)的用法與rss和rmodel函數(shù)的用法相仿，不同點(diǎn)僅僅在于它生成的是離散系統(tǒng)。4二階系統(tǒng)生成函數(shù)ord2格式：A,B,C,D = ord2(Wn, Z) 功能：生成固有頻率為Wn，阻尼系數(shù)為Z的連續(xù)二階的狀態(tài)空間模型系統(tǒng)。 5系統(tǒng)時(shí)間延遲的Pade近似函數(shù)pade( )格式：sysx = pade(sys,N)功能：對連續(xù)系統(tǒng)sys產(chǎn)生N階Pade近似的延時(shí)后，生成新的系統(tǒng)sysx。 LTI模型的簡單組合與復(fù)雜模型組合1LTI模型的簡單組合(1)若假定兩環(huán)

12、節(jié)均為單輸入單輸出的系統(tǒng)SA和SB。兩個(gè)環(huán)節(jié)級聯(lián)：sysseries(SA，SB)兩個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)：sys=parallel(SA，SB)A環(huán)節(jié)前向，B環(huán)節(jié)反饋：S=feedback(SA,SB)(2)當(dāng)在多輸入多輸出系統(tǒng)中，必須增加輸入變量和輸出變量的編號：級聯(lián)：sys=series(SA，SB，outputA, inputB)并聯(lián)：sys=parallel(SA,SB,InputA,InputB,OutputA,OutputB)反饋： sys=feedback(SA,SB,feedout,feedin,sign)例5-14 計(jì)算圖所示的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。MATLAB源程序?yàn)椋簊1=tf(2,5,

13、1,1,2,3) %系統(tǒng)s1的傳遞函數(shù)模型s2=zpk(-2,-10,5) %系統(tǒng)s2的零極點(diǎn)增益模型sys=feedback(s1,s2)% s1環(huán)節(jié)前向，s2環(huán)節(jié)反饋5(s+2)/(s+10)程序運(yùn)行結(jié)果為：Transfer function: 系統(tǒng)s1的傳遞函數(shù)模型2 s2 + 5 s + 1- s2 + 2 s + 3Zero/pole/gain: 系統(tǒng)s2的零極點(diǎn)增益模型5 (s+2)-(s+10)Zero/pole/gain: 系統(tǒng)s1、s2的反饋零極點(diǎn)增益模型0.18182 (s+10) (s+2.281) (s+0.2192)- (s+3.419) (s2 + 1.763s +

14、 1.064)2LTI模型的復(fù)雜模型組合 對復(fù)雜系統(tǒng)的任意組合，在MATLAB中，則采用集成的軟件包，讓機(jī)器自動去完成復(fù)雜的組合，人們只要輸入各環(huán)節(jié)的LTI模型和相應(yīng)的聯(lián)接矩陣與輸入矩陣，指定輸出變量，軟件包會自動判別輸入的模型表述方式，作出相應(yīng)的運(yùn)算并最后給出組合后系統(tǒng)的狀態(tài)方程。在求解過程中，主要涉及append( )函數(shù)和connect( )函數(shù)。通常，由以下五個(gè)步驟來完成： 對方框圖中的各個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行編號，建立它們的對象模型。利用append函數(shù)命令建立無連接的狀態(tài)空間模型。 sap=append(s1,s2,sm)按規(guī)定寫出系統(tǒng)的互聯(lián)接矩陣q互聯(lián)矩陣q中的每一行由組合系統(tǒng)的一個(gè)輸入編號

15、和構(gòu)成該輸入的其它輸出編號組成，其中該行的第一個(gè)元素為該輸入的編號，接下來的元素則由構(gòu)成該輸入的其它子框的輸出編號組成，如果為負(fù)反饋，則編號應(yīng)取負(fù)號。選擇組合系統(tǒng)中需保留的對外的輸入和輸出端的編號并列出。 Inputs=i1,i2, outputs=j1, j2,用connect命令生成組合后的系統(tǒng)。連續(xù)系統(tǒng)與采樣系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換若連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：則對應(yīng)的采樣系統(tǒng)狀態(tài)方程為：其中Ts為采樣周期。 反之，采樣系統(tǒng)到連續(xù)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為上式的逆過程：1. 轉(zhuǎn)換原理 2. 連續(xù)系統(tǒng)與采樣系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換函數(shù)例5-17 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：輸入延時(shí)Td=0.35秒，試用一階保持法對連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行離散，采

16、樣周期Ts=0.1s。MATLAB程序?yàn)椋簊ys=tf(2,5,1,1,2,3,td,0.5); %生成連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型sysd=c2d(sys,0.1,foh)%形成采樣系統(tǒng)程序運(yùn)行結(jié)果為：Transfer function:z(-5) * - z2 - 1.792 z + 0.8187 5.2 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析 時(shí)域分析是一種直接在時(shí)間域中對系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法，具有直觀和準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)。它是根據(jù)控制系統(tǒng)輸入與輸出之間的時(shí)域表達(dá)式，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、瞬態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)誤差?？刂葡到y(tǒng)最常用的分析方法有兩種：一是當(dāng)輸入信號為單位階躍時(shí)，求出系統(tǒng)的響應(yīng)；二是當(dāng)輸入信號為單位沖激函數(shù)時(shí)，求出系統(tǒng)的響

17、應(yīng)。 1. 生成特定的激勵信號的函數(shù)gensig( )格式：u,t = gensig(type,tau)功能：按指定的類型type和周期tau生成特定類型的激勵信號u。其中變元type可取字符為：sin(正弦)、square(方波)、pulse(脈沖)。2LTI模型的單位沖激響應(yīng)函數(shù)impulse( )格式：impulse(sys)功能：繪制系統(tǒng)sys（sys由函數(shù)tf、zpk或ss產(chǎn)生）的單位沖激響應(yīng)，結(jié)果不返回?cái)?shù)據(jù)，只返回圖形。例5-19 系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：求脈沖響應(yīng)。MATLAB程序如下：sys=tf(4,1 1 4); %生成傳遞函數(shù)模型impulse(sys); %計(jì)算并繪制系統(tǒng)的單位

18、沖激響應(yīng)title(脈沖響應(yīng));該程序運(yùn)行所得結(jié)果如圖所示。圖系統(tǒng)的脈沖響應(yīng) 3. 狀態(tài)空間模型系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)函數(shù)initial( ) 格式：initial(sys,x0) 功能：繪制狀態(tài)空間模型sys在初始條件x0下的零輸入響應(yīng)，不返回?cái)?shù)據(jù)，只繪出 響應(yīng)曲線。該響應(yīng)由如下方程表征：連續(xù)時(shí)間：離散時(shí)間： 、4LTI模型任意輸入的響應(yīng)函數(shù)lsim( )格式：lsim(sys,u,T) 功能：計(jì)算和繪制LTI模型sys在任意輸入u、持續(xù)時(shí)間T的作用下的輸出y，不返回?cái)?shù)據(jù)，只返回圖形。T為時(shí)間數(shù)組，它的步長必須與采樣周期Ts相同。當(dāng)u為矩陣時(shí)，它的列作為輸入，且與T(i)行的時(shí)間向量相對應(yīng)。例如t

19、 = 0:0.01:5; u = sin(t); lsim(sys,u,t)完成系統(tǒng)sys對輸入u(t)=sin(t)在5秒內(nèi)的響應(yīng)仿真。5LTI模型的階躍響應(yīng)函數(shù)step( )格式：step(sys)功能：繪制系統(tǒng)sys(sys由函數(shù)tf、zpk或ss產(chǎn)生)的階躍響應(yīng)，結(jié)果不返回?cái)?shù)據(jù)，只返回圖形。對多輸入多輸出模型，將自動求每一輸入的階躍響應(yīng)。例5-21 求系統(tǒng)：的方波響應(yīng)，其中方波周期為6秒，持續(xù)時(shí)間12秒，采樣周期為秒。MATLAB程序?yàn)椋簎,t=gensig(square,6,12,0.1); %生成方波信號plot(t,u,-);hold on; %繪制激勵信號sys=tf(1,1,

20、1,2,5); %生成傳遞函數(shù)模型lsim(sys,u,t,k); %系統(tǒng)對方波激勵信號的響應(yīng)該程序運(yùn)行所得結(jié)果如圖所示。圖方波響應(yīng)曲線 5.3 控制系統(tǒng)的根軌跡 在控制系統(tǒng)分析中，為了避開直接求解高階多項(xiàng)式的根時(shí)遇到的困難，在實(shí)踐中提出了一種圖解求根法，即根軌跡法。所謂根軌跡是指當(dāng)系統(tǒng)的某一個(gè)(或幾個(gè))參數(shù)從到時(shí)，閉環(huán)特征方程的根在復(fù)平面上描繪的一些曲線。 應(yīng)用這些曲線，可以根據(jù)某個(gè)參數(shù)確定相應(yīng)的特征根。在根軌跡法中，一般取系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)K作為可變參數(shù)，利用它來反映出開環(huán)系統(tǒng)零極點(diǎn)與閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)(特征根)之間的關(guān)系。 根軌跡可以分析系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)已定的系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)特性，以及參數(shù)變化對時(shí)

21、域響應(yīng)特性的影響，而且還可以根據(jù)對時(shí)域響應(yīng)特性的要求確定可變參數(shù)及調(diào)整開環(huán)系統(tǒng)零極點(diǎn)的位置，并改變它們的個(gè)數(shù)，也就是說根軌跡法可用于解決線性系統(tǒng)的分析與綜合問題。根軌跡：是指開環(huán)系統(tǒng)某個(gè)參數(shù)由0變化到，閉環(huán)特征根在s平面上移動的軌跡。根軌跡與系統(tǒng)性能密切相關(guān)。表示系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)0 j j0.5K=1/2-0.5-1 s1 s2 閉環(huán)特征方程為 s2+s+K=0, 解得閉環(huán)特征根表達(dá)式 令K（由0到 ）變動，s1、s2在s平面的移動軌跡即為根軌跡。研究根軌跡的目的：分析系統(tǒng)的各種性能（穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)性能、動態(tài)性能）根軌跡(root locus)概念R(s)(-)C(s)開環(huán)零點(diǎn)：指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

22、中分子多項(xiàng)式方程的根。開環(huán)極點(diǎn)：指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中分母多項(xiàng)式方程的根。閉環(huán)零點(diǎn)：指系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)中分子多項(xiàng)式方程的根。閉環(huán)零點(diǎn)由前向通道的零點(diǎn)和反饋通道的極點(diǎn)構(gòu)成。對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn)就是開環(huán)零點(diǎn)。閉環(huán)極點(diǎn)：指系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)中分母多項(xiàng)式方程的根。閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)以及根軌跡增益K*均有關(guān)。(K*0, 開閉環(huán)極點(diǎn)相同。)開/閉環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)表達(dá)式根軌跡增益： K*為開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益；閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益 等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益。(由下式及mn可知） 根軌跡法的基本任務(wù)： 由已知的開環(huán)零、極點(diǎn)分布 及根軌跡增益，通過圖解的方法找出閉環(huán)極點(diǎn)。表 系統(tǒng)根軌跡繪制及零極點(diǎn)分析函數(shù) P199，例131，繪制系統(tǒng)的根軌跡例132，繪制系統(tǒng)的根軌跡，并根據(jù)軌跡判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例134例1385.4 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 系統(tǒng)穩(wěn)定的概念 設(shè)一線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài)，若它瞬間受到某一擾動作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)此擾動撤消后，系統(tǒng)仍能