2022年河南省十所重點(diǎn)名校高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知，是平面內(nèi)三個(gè)單位向量，若，則的最小值（ ）ABCD52設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限3已知數(shù)列，是首項(xiàng)為8，公比為得等比數(shù)列

2、，則等于（ ）A64B32C2D44設(shè)過(guò)拋物線上任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn))的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，則（ ）ABCD5如圖，中，點(diǎn)D在BC上，將沿AD旋轉(zhuǎn)得到三棱錐，分別記，與平面ADC所成角為，則，的大小關(guān)系是（ ）ABC，兩種情況都存在D存在某一位置使得6某幾何體的三視圖如圖所示，圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長(zhǎng)為3，則該幾何體表面積為（ ）ABCD7已知復(fù)數(shù)，則（ ）ABCD28關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（ ）A函數(shù)的定義域?yàn)锽函數(shù)一個(gè)遞增區(qū)間為C函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱D將函數(shù)圖像向左平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖像9設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，則的一個(gè)充分條

3、件是（ ）A且B且C且D且10M、N是曲線y=sinx與曲線y=cosx的兩個(gè)不同的交點(diǎn),則|MN|的最小值為()ABCD211已知直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，與平行的直線與圓交于，兩點(diǎn)，且與的面積相等，給出下列直線：，.其中滿足條件的所有直線的編號(hào)有（ ）ABCD12設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則使得成立的的取值范圍是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知向量，滿足，則的取值范圍為_(kāi).14已知，且，則_15若正實(shí)數(shù)x，y，滿足x+2y=5，則x2-3x+1+2y2-1y的最大值是_16現(xiàn)有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為x的小正方形，然后做成

4、一個(gè)無(wú)蓋方盒，該方盒容積的最大值是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）在四棱錐中，底面是平行四邊形，底面（1）證明：；（2）求二面角的正弦值18（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（1）求曲線、的極坐標(biāo)方程；（2）在極坐標(biāo)系中，射線與曲線，分別交于、兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），定點(diǎn)，求的面積19（12分）設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為，若.（1）證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）是否存在常數(shù)，滿足？并說(shuō)明理由.20（12分）在直角坐標(biāo)系中，

5、直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫(xiě)出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，的頂點(diǎn)也在曲線上運(yùn)動(dòng)，求面積的最大值.21（12分）已知.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)于，恒成立；（3）若存在，使得當(dāng)時(shí)，恒有成立，試求的取值范圍.22（10分）已知函數(shù)，函數(shù).（）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（）若時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1A【解析】由于，且為單位向量，所以可令，再設(shè)出單位向量

6、的坐標(biāo)，再將坐標(biāo)代入中，利用兩點(diǎn)間的距離的幾何意義可求出結(jié)果【詳解】解：設(shè)，則，從而，等號(hào)可取到故選：A【點(diǎn)睛】此題考查的是平面向量的坐標(biāo)、模的運(yùn)算，利用整體代換，再結(jié)合距離公式求解，屬于難題2C【解析】化簡(jiǎn)得到，得到答案.【詳解】，故，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)和對(duì)應(yīng)象限，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.3A【解析】根據(jù)題意依次計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)題意知：，故，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列值的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4C【解析】畫(huà)出圖形，將三角形面積比轉(zhuǎn)為線段長(zhǎng)度比，進(jìn)而轉(zhuǎn)為坐標(biāo)的表達(dá)式。寫(xiě)出直線方程，再聯(lián)立方程組，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，最后代入坐標(biāo)，求得三角形面

7、積比.【詳解】作圖，設(shè)與的夾角為，則中邊上的高與中邊上的高之比為，設(shè)，則直線，即，與聯(lián)立，解得，從而得到面積比為.故選：【點(diǎn)睛】解決本題主要在于將面積比轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)的比例關(guān)系，進(jìn)而聯(lián)立方程組求解，是一道不錯(cuò)的綜合題.5A【解析】根據(jù)題意作出垂線段，表示出所要求得、角，分別表示出其正弦值進(jìn)行比較大小，從而判斷出角的大小，即可得答案【詳解】由題可得過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)作的垂線，垂足為，則易得，設(shè)，則有，可得，；，；，綜上可得，故選：【點(diǎn)睛】本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平6C【解析】幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1

8、，圓錐的母線長(zhǎng)為3，底面半徑為1，計(jì)算得到答案.【詳解】幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長(zhǎng)為3，底面半徑為1，故幾何體的表面積為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.7C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)即可求解.【詳解】,故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題.8B【解析】化簡(jiǎn)到，根據(jù)定義域排除，計(jì)算單調(diào)性知正確，得到答案.【詳解】，故函數(shù)的定義域?yàn)?，故錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故正確；當(dāng)，關(guān)于的對(duì)稱的直線為不在定義域內(nèi)，故錯(cuò)誤.平移得到的函數(shù)定義域?yàn)?，故不可能為，錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，

9、三角函數(shù)單調(diào)性，定義域，對(duì)稱，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.9B【解析】由且可得，故選B.10C【解析】?jī)珊瘮?shù)的圖象如圖所示,則圖中|MN|最小,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1=,x2=,|x1-x2|=,|y1-y2|=|sinx1-cosx2|=+=,|MN|=.故選C.11D【解析】求出圓心到直線的距離為：，得出，根據(jù)條件得出到直線的距離或時(shí)滿足條件，即可得出答案.【詳解】解：由已知可得：圓：的圓心為（0,0），半徑為2，則圓心到直線的距離為：，而，與的面積相等，或，即到直線的距離或時(shí)滿足條件，根據(jù)點(diǎn)到直線距離可知，滿足條件.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的

10、位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及點(diǎn)到直線的距離公式.12D【解析】構(gòu)造函數(shù)，令，則，由可得，則是區(qū)間上的單調(diào)遞減函數(shù)，且，當(dāng)x(0,1)時(shí),g(x)0,lnx0,f(x)0;當(dāng)x(1,+)時(shí),g(x)0,f(x)0,(x2-1)f(x)0,(x2-1)f(x)0,(x2-1)f(x)0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中某些數(shù)學(xué)問(wèn)題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確

11、的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】設(shè)，由，根據(jù)平面向量模的幾何意義，可得A點(diǎn)軌跡為以O(shè)為圓心、1為半徑的圓，C點(diǎn)軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓，為的距離，利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】設(shè)，如圖所示：因?yàn)椋訟點(diǎn)軌跡為以O(shè)為圓心、1為半徑的圓，C點(diǎn)軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓，則即的距離，由圖可知，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的模及運(yùn)算的幾何意義，還考查了數(shù)形結(jié)合的

12、方法，屬于中檔題.14【解析】試題分析：因,故,所以，,應(yīng)填.考點(diǎn)：三角變換及運(yùn)用1583【解析】分析：將題中的式子進(jìn)行整理，將x+1當(dāng)做一個(gè)整體，之后應(yīng)用已知兩個(gè)正數(shù)的整式形式和為定值，求分式形式和的最值的問(wèn)題的求解方法，即可求得結(jié)果.詳解：x2-3x+1+2y2-1y=(x+1)2-2(x+1)-2x+1+2y-1y=x+1-2+2y-(2x+1+1y)=x+2y-1-16(2x+1+1y)(x+1+2y)=4-16(2+2+4yx+1+x+1y)4-16(4+24)=83，當(dāng)且僅當(dāng)2y=x+1=3等號(hào)成立，故答案是83.點(diǎn)睛：該題屬于應(yīng)用基本不等式求最值的問(wèn)題，解決該題的關(guān)鍵是需要對(duì)式子

13、進(jìn)行化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化，利用整體思維，最后注意此類問(wèn)題的求解方法-相乘，即可得結(jié)果.16【解析】由題意容積，求導(dǎo)研究單調(diào)性，分析即得解.【詳解】由題意：容積，則，由得或（舍去），令則為V在定義域內(nèi)唯一的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，此時(shí).故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)建模，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（1）見(jiàn)解析（2）【解析】（1）利用正弦定理求得，由此得到，結(jié)合證得平面，由此證得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值，再轉(zhuǎn)化為正弦值.【詳解】（1）在中，由正弦定理

14、可得：， ，底面，平面， ； （2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)平面的法向量為，由可得：，令，則， 設(shè)平面的法向量為，由可得:，令，則， 設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為鈍角，則， ，故二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查空間向量法求二面角，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.18（1），；（2）.【解析】（1）先把參數(shù)方程化成普通方程，再利用極坐標(biāo)的公式把普通方程化成極坐標(biāo)方程；（2）先利用極坐標(biāo)求出弦長(zhǎng)，再求高，最后求的面積【詳解】（1）曲線的極坐標(biāo)方程為： ，因?yàn)榍€的普通方程為： ， 曲線的極坐標(biāo)方程為；（2） 由（1）得：點(diǎn)的極坐標(biāo)為，

15、 點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)到射線的距離為 的面積為 .【點(diǎn)睛】本題考查普通方程、參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化，同時(shí)也考查了利用極坐標(biāo)方程求解面積問(wèn)題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.19（1）證明見(jiàn)解析（0，2）；（2）存在，理由見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)直線l的方程為y=kx+b代入拋物線的方程，利用OAOB，求出b，即可知直線過(guò)定點(diǎn)（2）由斜率公式分別求出，聯(lián)立直線與拋物線，橢圓，再由根與系數(shù)的關(guān)系得，代入，化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】（1）證明：由題知，直線l的斜率存在且不過(guò)原點(diǎn)，故設(shè)由可得，.，故所以直線l的方程為故直線l恒過(guò)定點(diǎn).（2）由（1）知設(shè)由可得，即存在常數(shù)滿足題意.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋

16、物線、橢圓的位置關(guān)系，直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題20（1）：，：；（2）【解析】（1）由直線參數(shù)方程消去參數(shù)即可得直線的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程互化的公式即可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）由即可得的底，由點(diǎn)到直線的距離的最大值為即可得高的最大值，即可得解.【詳解】（1）由消去參數(shù)得直線的普通方程為，由得，曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）曲線即，圓心到直線的距離，所以，又 點(diǎn)到直線的距離的最大值為，所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.21（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）詳

17、見(jiàn)解析；（3）.【解析】試題分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上遞減，且，則，故原不等式成立.（3）同（2）構(gòu)造函數(shù)，對(duì)分成三類，討論函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，由此求得的取值范圍.試題解析：（1），當(dāng)時(shí)，.解得當(dāng)時(shí)，解得所以單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，由題意，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞減又，當(dāng)時(shí)，恒成立，即對(duì)于，恒成立（3）因?yàn)橛桑?）知，當(dāng)時(shí)，恒成立，即對(duì)于，不存在滿足條件的；當(dāng)時(shí)，對(duì)于，此時(shí)，即恒成立，不存在滿足條件的；當(dāng)時(shí)，令，可知與符號(hào)相同，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，即恒成立綜上，的取值范圍為點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，導(dǎo)數(shù)與不等式的證明，導(dǎo)數(shù)與恒成立問(wèn)題的求解方法.第一問(wèn)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這是導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的基本題型，也是基本功，先求定義域，然后求導(dǎo)，要注意通分和因式分解.二、三兩問(wèn)一個(gè)是恒成立問(wèn)題，一個(gè)是存在性問(wèn)題，要注意取值是最大值還是最小值.22 (1) 故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;(2). 【解析】試題分析：（）根據(jù)題意得到的解析式和定義域，求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)