信息論與編碼試卷及答案_2

1、信息論與編碼試卷及答案一、概念簡答題（每題5分，共40分）1.什么是平均自信息量與平均互信息，比較一下這兩個概念的異同？2.簡述最大離散熵定理。對于一個有m個符號的離散信源，其最大熵是多少？3.解釋信息傳輸率、信道容量、最佳輸入分布的概念，說明平均互信息與信源的概率分布、信道的傳遞概率間分別是什么關(guān)系？4.對于一個一般的通信系統(tǒng)，試給出其系統(tǒng)模型框圖，并結(jié)合此圖，解釋數(shù)據(jù)處理定理。5.寫出香農(nóng)公式，并說明其物理意義。當(dāng)信道帶寬為5000Hz，信噪比為30dB時求信道容量。6.解釋無失真變長信源編碼定理。7.解釋有噪信道編碼定理。8.什么是保真度準(zhǔn)則？對二元信源，其失真矩陣，求a0時率失真函數(shù)的

2、和？二、綜合題（每題10分，共60分）1.黑白氣象傳真圖的消息只有黑色和白色兩種，求：1） 黑色出現(xiàn)的概率為0.3，白色出現(xiàn)的概率為0.7。給出這個只有兩個符號的信源X的數(shù)學(xué)模型。假設(shè)圖上黑白消息出現(xiàn)前后沒有關(guān)聯(lián)，求熵；2） 假設(shè)黑白消息出現(xiàn)前后有關(guān)聯(lián)，其依賴關(guān)系為：，求其熵 ；2.二元對稱信道如圖。；1）若，求和； 2）求該信道的信道容量和最佳輸入分布。3.信源空間為，試分別構(gòu)造二元和三元霍夫曼碼，計算其平均碼長和編碼效率。4.設(shè)有一離散信道，其信道傳遞矩陣為，并設(shè)，試分別按最小錯誤概率準(zhǔn)則與最大似然譯碼準(zhǔn)則確定譯碼規(guī)則，并計算相應(yīng)的平均錯誤概率。5.已知一（8，5）線性分組碼的生成矩陣為。

3、求：1）輸入為全00011和10100時該碼的碼字；2）最小碼距。6.設(shè)某一信號的信息傳輸率為5.6kbit/s，在帶寬為4kHz的高斯信道中傳輸，噪聲功率譜NO=5106mw/Hz。試求：（1）無差錯傳輸需要的最小輸入功率是多少？（2）此時輸入信號的最大連續(xù)熵是多少？寫出對應(yīng)的輸入概率密度函數(shù)的形式。概念簡答題（每題5分，共40分）1.答：平均自信息為表示信源的平均不確定度，也表示平均每個信源消息所提供的信息量。平均互信息表示從Y獲得的關(guān)于每個X的平均信息量，也表示發(fā)X前后Y的平均不確定性減少的量，還表示通信前后整個系統(tǒng)不確定性減少的量。2.答：最大離散熵定理為：離散無記憶信源，等概率分布時

4、熵最大。最大熵值為。3.答：信息傳輸率R指信道中平均每個符號所能傳送的信息量。信道容量是一個信道所能達(dá)到的最大信息傳輸率。信息傳輸率達(dá)到信道容量時所對應(yīng)的輸入概率分布稱為最佳輸入概率分布。平均互信息是信源概率分布的型凸函數(shù)，是信道傳遞概率的U型凸函數(shù)。4.答：通信系統(tǒng)模型如下：數(shù)據(jù)處理定理為：串聯(lián)信道的輸入輸出X、Y、Z組成一個馬爾可夫鏈，且有，。說明經(jīng)數(shù)據(jù)處理后，一般只會增加信息的損失。5.答：香農(nóng)公式為，它是高斯加性白噪聲信道在單位時間內(nèi)的信道容量，其值取決于信噪比和帶寬。由得，則6.答：只要，當(dāng)N足夠長時，一定存在一種無失真編碼。7.答：當(dāng)RC時，只要碼長足夠長，一定能找到一種編碼方法和

5、譯碼規(guī)則，使譯碼錯誤概率無窮小。8.答：1）保真度準(zhǔn)則為：平均失真度不大于允許的失真度。2）因為失真矩陣中每行都有一個0，所以有，而。二、綜合題（每題10分，共60分）1.答：1）信源模型為2）由得則2.答：1） 2），最佳輸入概率分布為等概率分布。3.答：1）二元碼的碼字依序為：10，11，010，011，1010，1011，1000，1001。平均碼長，編碼效率2）三元碼的碼字依序為：1，00，02，20，21，22，010，011。平均碼長，編碼效率4.答：1）最小似然譯碼準(zhǔn)則下，有，2）最大錯誤概率準(zhǔn)則下，有，5.答：1）輸入為00011時，碼字為00011110；輸入為10100時，

6、碼字為10100101。2）6.答：1）無錯傳輸時，有即則2）在時，最大熵對應(yīng)的輸入概率密度函數(shù)為信息論習(xí)題集二、填空（每空1分）（100道）在認(rèn)識論層次上研究信息的時候，必須同時考慮到 形式、含義和效用 三個方面的因素。1948年，美國數(shù)學(xué)家 香農(nóng) 發(fā)表了題為“通信的數(shù)學(xué)理論”的長篇論文，從而創(chuàng)立了信息論。按照信息的性質(zhì)，可以把信息分成 語法信息、語義信息和語用信息 。按照信息的地位，可以把信息分成 客觀信息和主觀信息 。人們研究信息論的目的是為了 高效、可靠、安全 地交換和利用各種各樣的信息。信息的 可度量性 是建立信息論的基礎(chǔ)。 統(tǒng)計度量 是信息度量最常用的方法。 熵 是香農(nóng)信息論最基本

7、最重要的概念。事物的不確定度是用時間統(tǒng)計發(fā)生 概率的對數(shù) 來描述的。10、單符號離散信源一般用隨機變量描述，而多符號離散信源一般用 隨機矢量 描述。11、一個隨機事件發(fā)生某一結(jié)果后所帶來的信息量稱為自信息量，定義為 其發(fā)生概率對數(shù)的負(fù)值 。12、自信息量的單位一般有 比特、奈特和哈特 。13、必然事件的自信息是 0 。14、不可能事件的自信息量是 。 15、兩個相互獨立的隨機變量的聯(lián)合自信息量等于 兩個自信息量之和 。16、數(shù)據(jù)處理定理：當(dāng)消息經(jīng)過多級處理后，隨著處理器數(shù)目的增多，輸入消息與輸出消息之間的平均互信息量 趨于變小 。17、離散平穩(wěn)無記憶信源X的N次擴展信源的熵等于離散信源X的熵的

8、 N倍 。 18、離散平穩(wěn)有記憶信源的極限熵，。19、對于n元m階馬爾可夫信源，其狀態(tài)空間共有 nm 個不同的狀態(tài)。20、一維連續(xù)隨即變量X在a，b區(qū)間內(nèi)均勻分布時，其信源熵為 log2（b-a） 。21、平均功率為P的高斯分布的連續(xù)信源，其信源熵，Hc（X）=。22、對于限峰值功率的N維連續(xù)信源，當(dāng)概率密度 均勻分布 時連續(xù)信源熵具有最大值。23、對于限平均功率的一維連續(xù)信源，當(dāng)概率密度 高斯分布 時，信源熵有最大值。24、對于均值為0，平均功率受限的連續(xù)信源，信源的冗余度決定于平均功率的限定值P和信源的熵功率 之比 。25、若一離散無記憶信源的信源熵H（X）等于2.5，對信源進(jìn)行等長的無失

9、真二進(jìn)制編碼，則編碼長度至少為 3 。26、m元長度為ki，i=1，2，n的異前置碼存在的充要條件是：。27、若把擲骰子的結(jié)果作為一離散信源，則其信源熵為 log26 。28、同時擲兩個正常的骰子，各面呈現(xiàn)的概率都為1/6，則“3和5同時出現(xiàn)”這件事的自信息量是 log218（1+2 log23）。29、若一維隨即變量X的取值區(qū)間是0，其概率密度函數(shù)為，其中：，m是X的數(shù)學(xué)期望，則X的信源熵。30、一副充分洗亂的撲克牌（52張），從中任意抽取1張，然后放回，若把這一過程看作離散無記憶信源，則其信源熵為 。31、根據(jù)輸入輸出信號的特點，可將信道分成離散信道、連續(xù)信道、半離散或半連續(xù) 信道。32、

10、信道的輸出僅與信道當(dāng)前輸入有關(guān)，而與過去輸入無關(guān)的信道稱為 無記憶 信道。33、具有一一對應(yīng)關(guān)系的無噪信道的信道容量C= log2n 。34、強對稱信道的信道容量C= log2n-Hni 。35、對稱信道的信道容量C= log2m-Hmi 。36、對于離散無記憶信道和信源的N次擴展，其信道容量CN= NC 。37、對于N個對立并聯(lián)信道，其信道容量 CN = 。38、多用戶信道的信道容量用 多維空間的一個區(qū)域的界限 來表示。39、多用戶信道可以分成幾種最基本的類型： 多址接入信道、廣播信道 和相關(guān)信源信道。40、廣播信道是只有 一個輸入端和多個輸出端 的信道。41、當(dāng)信道的噪聲對輸入的干擾作用表

11、現(xiàn)為噪聲和輸入的線性疊加時，此信道稱為 加性連續(xù)信道 。42、高斯加性信道的信道容量C=。43、信道編碼定理是一個理想編碼的存在性定理，即：信道無失真?zhèn)鬟f信息的條件是 信息率小于信道容量 。44、信道矩陣代表的信道的信道容量C= 1 。45、信道矩陣代表的信道的信道容量C= 1 。46、高斯加性噪聲信道中，信道帶寬3kHz，信噪比為7，則該信道的最大信息傳輸速率Ct= 9 kHz 。47、對于具有歸并性能的無燥信道，達(dá)到信道容量的條件是 p（yj）=1/m） 。 48、信道矩陣代表的信道，若每分鐘可以傳遞6*105個符號，則該信道的最大信息傳輸速率Ct= 10kHz 。49、信息率失真理論是量

12、化、數(shù)模轉(zhuǎn)換、頻帶壓縮和 數(shù)據(jù)壓縮 的理論基礎(chǔ)。50、求解率失真函數(shù)的問題，即：在給定失真度的情況下，求信息率的 極小值 。51、信源的消息通過信道傳輸后的誤差或失真越大，信宿收到消息后對信源存在的不確定性就 越大 ，獲得的信息量就越小。52、信源的消息通過信道傳輸后的誤差或失真越大道傳輸消息所需的信息率 也越小 。53、單符號的失真度或失真函數(shù)d（xi，yj）表示信源發(fā)出一個符號xi，信宿再現(xiàn)yj所引起的 誤差或失真 。54、漢明失真函數(shù) d（xi，yj）= 。55、平方誤差失真函數(shù)d（xi，yj）=（yj- xi）2。56、平均失真度定義為失真函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，即d（xi，yj）在X和Y的

13、聯(lián)合概率空間P（XY）中 的統(tǒng)計平均值。57、如果信源和失真度一定，則平均失真度是 信道統(tǒng)計特性 的函數(shù)。58、如果規(guī)定平均失真度不能超過某一限定的值D，即：。我們把稱為 保真度準(zhǔn)則 。59、離散無記憶N次擴展信源通過離散無記憶N次擴展信道的平均失真度是單符號信源通過單符號信道的平均失真度的 N 倍。60、試驗信道的集合用PD來表示，則PD= 。61、信息率失真函數(shù)，簡稱為率失真函數(shù)，即：試驗信道中的平均互信息量的 最小值 。62、平均失真度的下限取0的條件是失真矩陣的 每一行至少有一個零元素 。63、平均失真度的上限D(zhuǎn)max取Dj：j=1，2，m中的 最小值 。64、率失真函數(shù)對允許的平均失

14、真度是 單調(diào)遞減和連續(xù)的 。65、對于離散無記憶信源的率失真函數(shù)的最大值是 log2n 。66、當(dāng)失真度大于平均失真度的上限時Dmax時，率失真函數(shù)R（D）= 0 。67、連續(xù)信源X的率失真函數(shù)R（D）= 。68、當(dāng)時，高斯信源在均方差失真度下的信息率失真函數(shù)為 。69、保真度準(zhǔn)則下的信源編碼定理的條件是 信源的信息率R大于率失真函數(shù)R（D） 。70、某二元信源其失真矩陣D=，則該信源的Dmax= a/2 。71、某二元信源其失真矩陣D=，則該信源的Dmin= 0 。72、某二元信源其失真矩陣D=，則該信源的R（D）= 1-H（D/a） 。73、按照不同的編碼目的，編碼可以分為三類：分別是 信

15、源編碼、信道編碼和安全編碼 。74、信源編碼的目的是： 提高通信的有效性 。75、一般情況下，信源編碼可以分為 離散信源編碼、連續(xù)信源編碼和相關(guān)信源編碼 。 76、連續(xù)信源或模擬信號的信源編碼的理論基礎(chǔ)是 限失真信源編碼定理 。77、在香農(nóng)編碼中，第i個碼字的長度ki和p（xi）之間有 關(guān)系。78、對信源進(jìn)行二進(jìn)制費諾編碼，其編碼效率為 1 。79、對具有8個消息的單符號離散無記憶信源進(jìn)行4進(jìn)制哈夫曼編碼時，為使平均碼長最短，應(yīng)增加 2 個概率為0的消息。80、對于香農(nóng)編碼、費諾編碼和哈夫曼編碼，編碼方法惟一的是 香農(nóng)編碼 。81、對于二元序列0011100000011111001111000

16、001111111，其相應(yīng)的游程序列是 23652457 。82、設(shè)無記憶二元序列中，“0”和“1”的概率分別是p0和p1，則“0”游程長度L（0）的概率為 。83、游程序列的熵 等于 原二元序列的熵。84、若“0”游程的哈夫嗎編碼效率為0，“1”游程的哈夫嗎編碼效率為1，且01對應(yīng)的二元序列的編碼效率為，則三者的關(guān)系是 01 。85、在實際的游程編碼過程中，對長碼一般采取 截斷 處理的方法。86、“0”游程和“1”游程可以分別進(jìn)行哈夫曼編碼，兩個碼表中的碼字可以重復(fù)，但 C碼 必須不同。87、在多符號的消息序列中，大量的重復(fù)出現(xiàn)的，只起占時作用的符號稱為 冗余位 。88、“冗余變換”即：將一

17、個冗余序列轉(zhuǎn)換成一個二元序列和一個 縮短了的多元序列 。89、L-D編碼是一種 分幀傳送冗余位序列 的方法。90、L-D編碼適合于冗余位 較多或較少 的情況。91、信道編碼的最終目的是 提高信號傳輸?shù)目煽啃?。92、狹義的信道編碼即：檢、糾錯編碼 。93、BSC信道即：無記憶二進(jìn)制對稱信道 。94、n位重復(fù)碼的編碼效率是 1/n 。95、等重碼可以檢驗 全部的奇數(shù)位錯和部分的偶數(shù)位錯 。96、任意兩個碼字之間的最小漢明距離有稱為碼的最小距dmin，則dmin=。97、若糾錯碼的最小距離為dmin，則可以糾正任意小于等于t= 個差錯。98、若檢錯碼的最小距離為dmin，則可以檢測出任意小于等于l

18、= dmin-1 個差錯。99、線性分組碼是同時具有 分組特性和線性特性 的糾錯碼。100、循環(huán)碼即是采用 循環(huán)移位特性界定 的一類線性分組碼。三、判斷（每題1分）（50道）必然事件和不可能事件的自信息量都是0 。錯自信息量是的單調(diào)遞減函數(shù)。對單符號離散信源的自信息和信源熵都具有非負(fù)性。對單符號離散信源的自信息和信源熵都是一個確定值。錯單符號離散信源的聯(lián)合自信息量和條件自信息量都是非負(fù)的和單調(diào)遞減的。對自信息量、條件自信息量和聯(lián)合自信息量之間有如下關(guān)系： 對自信息量、條件自信息量和互信息量之間有如下關(guān)系： 對當(dāng)隨即變量X和Y相互獨立時，條件熵等于信源熵。對當(dāng)隨即變量X和Y相互獨立時，I（X；Y

19、）=H（X） 。錯10、信源熵具有嚴(yán)格的下凸性。錯11、平均互信息量I（X；Y）對于信源概率分布p（xi）和條件概率分布p（yj/xi）都具有凸函數(shù)性。 對12、m階馬爾可夫信源和消息長度為m的有記憶信源，其所含符號的依賴關(guān)系相同。 錯13、利用狀態(tài)極限概率和狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移概率來求m階馬爾可夫信源的極限熵。 對14、N維統(tǒng)計獨立均勻分布連續(xù)信源的熵是N維區(qū)域體積的對數(shù)。 對15、一維高斯分布的連續(xù)信源，其信源熵只與其均值和方差有關(guān)。 錯16、連續(xù)信源和離散信源的熵都具有非負(fù)性。 錯17、連續(xù)信源和離散信源都具有可加性。 對18、連續(xù)信源和離散信源的平均互信息都具有非負(fù)性。 對19、定長編碼的效率

20、一般小于不定長編碼的效率。 對20、若對一離散信源（熵為H（X）進(jìn)行二進(jìn)制無失真編碼，設(shè)定長碼子長度為K，變長碼子平均長度為，一般K。 錯21、信道容量C是I（X；Y）關(guān)于p（xi）的條件極大值。 對22、離散無噪信道的信道容量等于log2n，其中n是信源X的消息個數(shù)。 錯23、對于準(zhǔn)對稱信道，當(dāng)時，可達(dá)到信道容量C。錯24、多用戶信道的信道容量不能用一個數(shù)來代表。 對25、多用戶信道的信道容量不能用一個數(shù)來代表，但信道的信息率可以用一個數(shù)來表示。錯26、高斯加性信道的信道容量只與信道的信噪有關(guān)。 對27、信道無失真?zhèn)鬟f信息的條件是信息率小于信道容量。對28、最大信息傳輸速率，即：選擇某一信源

21、的概率分布（p（xi），使信道所能傳送的信息率的最大值。 錯29、對于具有歸并性能的無燥信道，當(dāng)信源等概率分布時（p（xi）=1/n），達(dá)到信道容量。 錯30、求解率失真函數(shù)的問題，即：在給定失真度的情況下，求信息率的極小值。對31、信源的消息通過信道傳輸后的誤差或失真越大，信宿收到消息后對信源存在的不確定性就越小，獲得的信息量就越小。 錯32、當(dāng)p（xi）、p（yj/xi）和d（xi，yj）給定后，平均失真度是一個隨即變量。 錯33、率失真函數(shù)對允許的平均失真度具有上凸性。對34、率失真函數(shù)沒有最大值。 錯35、率失真函數(shù)的最小值是0 。對36、率失真函數(shù)的值與信源的輸入概率無關(guān)。錯37、信

22、源編碼是提高通信有效性為目的的編碼。 對38、信源編碼通常是通過壓縮信源的冗余度來實現(xiàn)的。 對39、離散信源或數(shù)字信號的信源編碼的理論基礎(chǔ)是限失真信源編碼定理。 錯40、一般情況下，哈夫曼編碼的效率大于香農(nóng)編碼和費諾編碼。 對41、在編m（m2）進(jìn)制的哈夫曼碼時，要考慮是否需要增加概率為0的碼字，以使平均碼長最短。 對42、游程序列的熵（“0”游程序列的熵與“1”游程序列的熵的和）大于等于原二元序列的熵。 錯43、在游程編碼過程中，“0”游程和“1”游程應(yīng)分別編碼，因此，它們的碼字不能重復(fù)。 錯44、L-D編碼適合于冗余位較多和較少的情況，否則，不但不能壓縮碼率，反而使其擴張。 對45、狹義的

23、信道編碼既是指：信道的檢、糾錯編碼。 對46、對于BSC信道，信道編碼應(yīng)當(dāng)是一對一的編碼，因此，消息m的長度等于碼字c的長度。 錯47、等重碼和奇（偶）校驗碼都可以檢出全部的奇數(shù)位錯。 對48、漢明碼是一種線性分組碼。對49、循環(huán)碼也是一種線性分組碼。 對50、卷積碼是一種特殊的線性分組碼。 錯四、簡答（每題4分）（20道）信息的主要特征有哪些？（4）信息的重要性質(zhì)有哪些？（4）簡述幾種信息分類的準(zhǔn)則和方法。（5）信息論研究的內(nèi)容主要有哪些？（8）簡述自信息的性質(zhì)。（13）簡述信源熵的基本性質(zhì)。（23）簡述信源熵、條件熵、聯(lián)合熵和交互熵之間的關(guān)系。（48）信道的分類方法有哪些？（93-94）簡

24、述一般離散信道容量的計算步驟。（107）10、簡述多用戶信道的分類。（115-116）11、簡述信道編碼定理。（128）12、簡述率失真函數(shù)的性質(zhì)。（140-145）13、簡述求解一般離散信源率失真函數(shù)的步驟。（146-149）14、試比較信道容量與信息率失真函數(shù)。（164）15、簡述編碼的分累及各種編碼的目的。（168）16、簡述費諾編碼的編碼步驟。（170）17、簡述二元哈夫曼編碼的編碼步驟。（173）18、簡述廣義的信道編碼的分類及各類編碼的作用。（188）19、簡述線性分組碼的性質(zhì)。（196）20、簡述循環(huán)碼的系統(tǒng)碼構(gòu)造過程。（221）一、（11）填空題1948年，美國數(shù)學(xué)家 香農(nóng) 發(fā)

25、表了題為“通信的數(shù)學(xué)理論”的長篇論文，從而創(chuàng)立了信息論。必然事件的自信息是 0 。 離散平穩(wěn)無記憶信源X的N次擴展信源的熵等于離散信源X的熵的 N倍 。 對于離散無記憶信源，當(dāng)信源熵有最大值時，滿足條件為_信源符號等概分布_。對于香農(nóng)編碼、費諾編碼和霍夫曼編碼，編碼方法惟一的是 香農(nóng)編碼 。已知某線性分組碼的最小漢明距離為3，那么這組碼最多能檢測出_2_個碼元錯誤，最多能糾正_1_個碼元錯誤。設(shè)有一離散無記憶平穩(wěn)信道，其信道容量為C，只要待傳送的信息傳輸率R_小于_C（大于、小于或者等于）， 則存在一種編碼，當(dāng)輸入序列長度n足夠大，使譯碼錯誤概率任意小。平均錯誤概率不僅與信道本身的統(tǒng)計特性有關(guān)

26、，還與_譯碼規(guī)則_和_編碼方法_有關(guān)二、（9）判斷題 信息就是一種消息。 （ ）信息論研究的主要問題是在通信系統(tǒng)設(shè)計中如何實現(xiàn)信息傳輸、存儲和處理的有效性和可靠性。 （ ）概率大的事件自信息量大。 （ ）互信息量可正、可負(fù)亦可為零。 （ ）信源剩余度用來衡量信源的相關(guān)性程度，信源剩余度大說明信源符號間的依賴關(guān)系較小。 （ ） 對于固定的信源分布，平均互信息量是信道傳遞概率的下凸函數(shù)。 （ ） 非奇異碼一定是唯一可譯碼，唯一可譯碼不一定是非奇異碼。 （ ）信源變長編碼的核心問題是尋找緊致碼（或最佳碼），霍夫曼編碼方法構(gòu)造的是最佳碼。 （ ）（9）信息率失真函數(shù)R(D)是關(guān)于平均失真度D的上凸函數(shù). ( )（5）居住在某地區(qū)的女孩中有25%是大學(xué)生，在女大學(xué)生中有75%是身高1.6米以上的，而女孩中身高1.6米以上的占總數(shù)的一半。 假如我們得知“身高1.6米以上的某女孩是大學(xué)生”的消息，問獲得多少信息量？ 解：設(shè)A表示“大學(xué)生”這一事件，B表示“身高1.60以上”這一事件，則 P(A)=0.25 p(B)=0.5 p(B|A)=0.75 （2分）故 p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*0.25/0.5=0.375 （2分） I(A|B)=-log0.375=1.42bit （1分）四