十兩等距比值尺度變項(xiàng)間的相關(guān)

1、第十六章兩等距/比值尺度變項(xiàng)間的相關(guān)壹、本單元目標(biāo)1、解釋散佈圖(scattergram)。2、計(jì)算及解釋斜率(slope)、截距(intercept)、Pearsons及r2。3、找到並說(shuō)明最小平方之迴歸線(theleast-squaresregressionlin)e並用其來(lái)預(yù)測(cè)應(yīng)變項(xiàng)的數(shù)值。4、解釋總變異量(totalvarianee)、已解釋變異量(explainedvarianee),以及未解釋變異量(unexplainedvarianc等概念。5、用迴歸及相關(guān)的技巧來(lái)分析及描述兩個(gè)變項(xiàng)間的關(guān)係。6、從事Pearson啲顯著測(cè)定。嚴(yán)、尸.、亠貳、前言兩等距/比值變項(xiàng)間的相關(guān)，通常是稱

2、之為correlation(當(dāng)然我們?nèi)钥捎胊ssociation)o雖然這裡談的變項(xiàng)，是用與先前介紹的測(cè)量尺度不同,但是一談到相關(guān),我們還是要問(wèn)相關(guān)是否存在,相關(guān)之強(qiáng)度及相關(guān)方向或趨勢(shì)等三個(gè)主要問(wèn)題。貳、Scattergrams(散佈圖)在前面章節(jié)討論相關(guān)時(shí),第一步要做的是檢查交叉表之百分比的情況。自然,在兩變項(xiàng)是類別或等級(jí)變項(xiàng)時(shí),我們可以這麼做。當(dāng)兩變項(xiàng)都是interval-ratio時(shí),我們就不能看百分比之變化,但我們可以先看兩變項(xiàng)之散佈圖。散佈圖即是以資料中每一個(gè)案在兩變項(xiàng)之分?jǐn)?shù)而建立之坐標(biāo)圖。以書中P.395表15.1之資料為例,可以畫出如圖15.1(P.395)之散佈圖。表15.1之

3、例共有12個(gè)案,每一個(gè)案(家)在小孩人數(shù)及丈夫每週做家事時(shí)間兩變項(xiàng)上各有一值。若以小孩人數(shù)為X，做家事時(shí)間為Y,則每一個(gè)案之X、Y值則為圖15.1中之一點(diǎn)。如您所見(jiàn)圖15.1有清楚的標(biāo)題,X及Y軸亦有軸之標(biāo)題,通常X及Y軸之長(zhǎng)度相等,而其各軸之坐標(biāo)單位則視情況而定。所謂散佈圖即為各(X、Y)值資料點(diǎn)之散佈情況,這些點(diǎn)之散佈情況顯示出兩變項(xiàng)相關(guān)的基本特性。如果我們能畫一條直線盡量穿過(guò)或接近各點(diǎn),則這些特性會(huì)更清楚,這條線可稱為迴歸線(regressionline)。從散佈圖,我們可以先大致看出兩變項(xiàng)相關(guān)是否存在、相關(guān)的強(qiáng)弱,以及相關(guān)的方向。我們也可大致判斷,這兩變項(xiàng)的相關(guān)是否為直線性的(ther

4、elationshipoflinearity)。散佈圖也可用來(lái)從一個(gè)案在一個(gè)變項(xiàng)的分?jǐn)?shù)來(lái)預(yù)測(cè)其在另一變項(xiàng)的分?jǐn)?shù)為何。如果X和Y兩變項(xiàng)有相關(guān)的話，則Y之值應(yīng)隨X值做變化，而散佈圖中每一X值上方之點(diǎn)，即可視為Y值之條件分配(conditionaldistribution)，即在此X值之情況下，Y值之分配為何。而X及Y無(wú)相關(guān)時(shí)，Y值並不會(huì)隨X值變化，在此無(wú)相關(guān)之情況下，其點(diǎn)之散佈會(huì)如P.396之圖15.2之C圖。無(wú)相關(guān)時(shí)，迴歸線會(huì)與X軸平行。至於說(shuō)相關(guān)之強(qiáng)度，則可視資料點(diǎn)散佈之範(fàn)圍大小而定，若是散佈之範(fàn)圍愈小，或是愈接近迴歸線，則相關(guān)程度愈強(qiáng)，自然要是有一直線能穿過(guò)所有之點(diǎn)，自是完全相關(guān)之情況，如圖

5、15.2之A，B皆是。而相關(guān)之方向則視迴歸線與X軸之角度及點(diǎn)之散佈方向而定，要是X分?jǐn)?shù)愈高，丫值亦愈高，自是正相關(guān)，反之則為負(fù)相關(guān)。散佈圖中，點(diǎn)之分佈情況並不一定是能用一直線來(lái)接近各點(diǎn)，有時(shí)，以曲線來(lái)接近各點(diǎn)或許更好。在前者之情況所顯示的是為兩變項(xiàng)間有一直線性關(guān)係(alinearrelationship)，而後者則為非直線性或曲線性關(guān)係(anon-linearorcurvilinearrelationship)。在此，只介紹適合直線性關(guān)係之相關(guān)量數(shù)，如果發(fā)現(xiàn)曲線關(guān)係，一個(gè)解決的方法是將interval-ratio變項(xiàng)視為等級(jí)變項(xiàng)，然後計(jì)算相關(guān)量數(shù)(參考P.397之圖16.3)。參、迴歸及預(yù)測(cè)利

6、用散佈圖及迴歸線，我們也可做預(yù)測(cè)之工作，所謂預(yù)測(cè)(prediction)，是猜測(cè)不在資料中之X值會(huì)對(duì)應(yīng)什麼樣的Y值，此預(yù)測(cè)之丫值，是以Y來(lái)表示，此值正是透過(guò)迴歸線來(lái)找。找的方法是先看該(不在資料中之)X值在X軸上是那一點(diǎn)，然後畫一垂直線與迴歸線相交，相交那一點(diǎn)再畫一與X軸平行之線，與丫軸相交之點(diǎn)，即為丫。現(xiàn)在，最重要的問(wèn)題是，這條迴歸線要怎麼畫，當(dāng)然，最簡(jiǎn)單的方法是用目測(cè)，找一條直線儘量接近各點(diǎn)，自然，我們有更好的方法。如果我們想要找一條直線儘量靠近各點(diǎn)的話，也就是要找一條線能使各點(diǎn)和此線之距離最短。這條線的找法和以前談過(guò)所有分?jǐn)?shù)與其平均數(shù)之差的平方和為最小有關(guān)，即藝(XX)2=minimum

7、而先前也曾提過(guò)每一個(gè)X軸上之X值上方之丫值，可看成是Y之條件性分配，換言之，每一X值之情況下之Y值之分配可有一平均數(shù)，這X值下之條件性平均數(shù)（conditionalmean）自與在此X值下之Y值之差的平方和為最小。如果我們找出各不同X值情況下之各條件性之丫的平均數(shù)，再將這些（Xi,Yi）的點(diǎn)連成一直線，就必然是一極佳的與各點(diǎn)距離最近的直線了。但天下事通常沒(méi)這麼簡(jiǎn)單的。這些（Xi,Yi）點(diǎn)常不能連成一直線。我們要再退而求其次，要找的是與所有conditionalmeansof丫之點(diǎn)距離最近之直線，這條直線可以下列公式表示，即=a+bX=依變項(xiàng)之分?jǐn)?shù)a=在Y軸上之截距（theYintercept）

8、b=迴歸線之斜率（slope），亦即當(dāng)X之一個(gè)單位改變時(shí)，所產(chǎn)生之Y值的改變。X=自變項(xiàng)之分?jǐn)?shù)E（X-X）（YY）這個(gè)公式中之b=2，而（X_X）a=blX這些公式所求出之迴歸線，是用所謂Theleast-squaresmethod（最小平方法）所求得的。這b之求法和X及Y之variances有何關(guān)聯(lián)（請(qǐng)將分子和與分母各除以N）?而a之求法表示出迴歸線及（乂，V）之關(guān)係為何？而b之求法，如用筆算可用下列公式：b=N瓦XY-（瓦X）（瓦Y）22NX（X）由此公式可看出，如X與丫之相關(guān)甚大，則X之一個(gè)單位的變化，可以增加（或減少）相當(dāng)大的丫值，即X對(duì)丫之影響很大，此外，b之值是正還是負(fù)，則代表相關(guān)

9、之方向。求得了Y二a+bX之最小平方的迴歸線(Theleast-squaresregressionline)後，即可從各種X值來(lái)預(yù)測(cè)Y值，因?yàn)閅=a+bX(X為不在原來(lái)資料中之X值)要注意的是此種預(yù)測(cè)是一種educatedguesses換言之，除非X與Y有完全相關(guān)，不然透過(guò)此迴歸線找到之Y值是最好的預(yù)測(cè)，而且若X及丫之相關(guān)愈強(qiáng)，則我們可做愈準(zhǔn)確之猜測(cè)。肆、相關(guān)係數(shù)(Thecorrelationcoefficient-Pearson雖然由b可看出X對(duì)丫之影響力及兩變項(xiàng)間相關(guān)之一些情況，但是b(迴歸係數(shù))，並非是在0及間變化，因此要測(cè)量X及丫兩等距變項(xiàng)關(guān)係之弱強(qiáng)，通常是用一量數(shù)叫Pearsonrs

10、此量數(shù)是在0及間變化，而遲(X-x)(丫Y)(X-x)2(丫-丫)2分子與求b之公式相同，代表X與Y之共變(covariation)，若用筆算，r之計(jì)算為NI：XY（I：X）（I：Y）JNEX2（送X）2N送Y2（瓦丫）2r雖然有在0及間變化之好處，但是其0及間之值的意義卻是只有相對(duì)之意義，但是若將r平方得r2,則此係數(shù)為一coefficientofdetermination,並且有PRE之意義。在此PRE之邏輯是，當(dāng)我們並不知道X之變化時(shí)，對(duì)丫值做最佳之猜測(cè)，然後再利用X值之消息來(lái)猜丫值。當(dāng)不知X值時(shí)，對(duì)Y值之最佳猜測(cè)，在等距變項(xiàng)之情況下，自是以猜Y為最佳，因?yàn)樗?Y-Y)2=minimum

11、,亦即猜每一Y值皆為Y時(shí)，可以得到最少之猜測(cè)錯(cuò)誤，藝(Y-Y)2即為丫值之totalvariation,p.406之圖15.6中之黑直線即表示以丫值來(lái)猜各丫值之點(diǎn)所犯之錯(cuò)誤，此圖中與X軸平行之線即為代表Y之線，因先不考慮X之變化對(duì)Y的影響，故此圖即可當(dāng)成一個(gè)變項(xiàng)Y之次數(shù)分配圖。而當(dāng)我們利用X值之消息來(lái)再度猜丫值，且利用最小平方迴歸線之方程式來(lái)猜測(cè)時(shí)，所猜測(cè)之Y值為Y=a+bX，以此法所得之猜測(cè)錯(cuò)誤以藝(Y2來(lái)表示，此藝(YY2)應(yīng)是最小的，此即最小平方法所得之結(jié)果。換言之，如X與丫無(wú)相關(guān)，則此Y=Y(why?)。而X與丫有相關(guān)時(shí)，則藝(YY比藝(Y-Y)2還小。如果你將在P.406之圖15.6

12、與P.407之圖15.7重疊，你可看出2一227丫丫八丫丫、丫丫換言之藝(Y丫)2此一totalvariation由兩部分組成。其第一部分藝(YY)2即為得知X後減少猜測(cè)錯(cuò)誤之部分，習(xí)稱explainedvariation，而藝(Y-丫即為在得知X後仍無(wú)法解釋之部分，亦即而r2（Y-丫）2（丫-丫）2unexplainedvariation,ExplainedvariationTotalvariation因此r2乘上100,即為知道X後，totalvariation中能歸諸於知道X之部分(或是為X所解釋)之比例。伍、Pearsonrs之假設(shè)測(cè)定當(dāng)我們由樣本中求得一Pearsons時(shí)，需進(jìn)一步求

13、此樣本之相關(guān)係數(shù)是否達(dá)到統(tǒng)計(jì)上之顯著水準(zhǔn)，即測(cè)定此相關(guān)關(guān)係是否也存在於得此樣本之母群中。Pearsons之假設(shè)測(cè)定的基本假定如下：步驟一:Model:RandomSamplingLevelofmeasurementisinterval-ratioBivariatenormaldistributionsLinearrelationshipHomoscedasticitySamplingdistributionisnormal上述之基本假定，有幾項(xiàng)是較特別的。其中bivariatenormaldistribution是說(shuō)兩變項(xiàng)之共同分配是常態(tài)的(見(jiàn)圖一，取自/People/hartlaub/MellonProject/Bivariate2.html)BivariateNormalBivariateNormal33(圖一)雙變項(xiàng)常態(tài)分配其次，我們必須要假設(shè)兩變項(xiàng)間之關(guān)係是直線性的第三個(gè)特別之假定是等分散性(homoscedasticity)，等分散性是說(shuō)在每一X值下之Y的變異量(varianee)是相同的。也就是說(shuō)Y離散之分配在整條迴歸線上面是相當(dāng)一致的，不會(huì)隨著X值的大小變化，而有不同程度的離散或變異。譬如說(shuō)，如果X值愈大(或愈