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文檔簡介

1、高階微分方程 習(xí)題課一、主要內(nèi)容高階方程可降階方程線性方程解的結(jié)構(gòu)二階常系數(shù)線性方程解的結(jié)構(gòu)特征根法特征方程的根及其對應(yīng)項待定系數(shù)法f(x)的形式及其特解形式微分方程解題思路一階方程高階方程分離變量法全微分方程常數(shù)變易法特征方程法待定系數(shù)法非全微分方程非變量可分離冪級數(shù)解法降階作變換作變換積分因子1、可降階的高階微分方程的解法 型解法接連積分n次，得通解 型特點解法代入原方程, 得 型特點解法代入原方程, 得2、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（1）二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):（2）二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):非齊方程的任兩解之差是相應(yīng)齊方程的解非齊通解 = 齊通解 + 非齊特解3、二階常系數(shù)齊次線性方程解法

2、n階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程解法由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.特征方程為推廣： 階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中的對應(yīng)項4、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法二階常系數(shù)非齊次線性方程解法待定系數(shù)法.二、典型例題例1解代入方程，得故方程的通解為例2解特征方程特征根對應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)原方程的特解為原方程的一個特解為故原方程的通解為由解得所以原方程滿足初始條件的特解為例3 設(shè)二階非齊次線性方程的三個特解為求其通解解 由解的結(jié)構(gòu)知非齊方程的任二解之差是相應(yīng)齊方程的解故是齊方程的兩個解齊通解且線性無關(guān)非齊通解例4 設(shè) f (x) 具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)試確定f (x) 使曲線積分與路徑無關(guān)解由曲線積分與路徑無關(guān)的條件得即這是一個二階常系數(shù)非齊次線性微分方程齊通解例5解特征方程特征根對應(yīng)的齊方的通解為設(shè)原方程的特解為由解得由即故原方程的通解為例6解（）由題設(shè)可得

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