常點鄰域上的級數(shù)解法課件

1、 9.2 常點鄰域上的級數(shù)解法一、線性二階常微分方程特殊函數(shù)方程大多為二階線性常微分方程，一般形式(實數(shù)域)為： 更一般的形式為(推廣至復(fù)數(shù)域) 其中z為復(fù)變數(shù)，z0為選定的點，c0和c1為任給的復(fù)常數(shù)，且w(z)為未知函數(shù)，p(z)和q(z)為已知復(fù)變函數(shù)，稱為方程的系數(shù)。上述方程一般不能用通常方法解出，但可用級數(shù)解法。即在任選某點的鄰域上將待求的解表示為級數(shù)形式，代入方程再確定系數(shù)。方程的解的性質(zhì)完全由系數(shù)p(z)和q(z)的解析性決定：若p(z)和q(z)都在z0及其某鄰域內(nèi)解析，則稱z0為方程的常點； 否則稱z0為方程的奇點。二、常點鄰域內(nèi)的級數(shù)解1. 微分方程解析理論的基本定理：若p

2、(z)和q(z)在圓|z-z0|R內(nèi)單值解析，則方程 在圓內(nèi)存在唯一的解w(z) ，且滿足初值條件 ， ，且w(z)在圓域內(nèi)單值解析。2. 解的形式：由上述定理，在|z-z0|R內(nèi)w(z)可寫成泰勒級數(shù) 將代入可確定系數(shù)ak(用c0和c1表示)，這種方法稱為級數(shù)解法。三、勒讓德方程 自然邊界條件例：x0=0的鄰域上求解l階勒讓德方程 解：方程可寫成 則 顯然x0=0是方程的常點，可設(shè)解為代入方程，由下表合并相同冪次項的系數(shù)：x0 x1x2.xk.y21a232a343a4.(k+1)(k+2)ak+2.-x2y-21a2.-k(k-1)ak.-2xy-21a1-22a2.-2kak.l(l+1

3、)yl(l+1)a0l(l+1)a1l(l+1)a2.l(l+1)ak.每列系數(shù)之和必為零，得遞推公式 得到l 階勒讓德方程解： (兩個級數(shù)之和)y0(x)只含偶次冪，為偶函數(shù)， y1(x)只含奇次冪，為奇函數(shù)， a0、a1為任意常數(shù)，可由初始條件確定 判斷級數(shù)解的收斂性:由遞推公式可得收斂半徑：所以， y0(x)、y1(x)收斂于|x|1的情況；(2)x=1，對應(yīng)=0，=，對應(yīng)極軸的正負方 向，而y0(x)、y1(x)在x=1均發(fā)散(見P397)。(3)可以證明l階勒讓德方程不存在形如 且在x=1均有限的無窮級數(shù)解(P193)；(4)自然邊界條件構(gòu)成的本征值問題 實際問題中要求解在一切方向保

4、持有限，即在 x-1，1或0，上有限 物理問題要求解在x=1保持有限，而y0(x)、 y1(x)不滿足該要求。由及可見：a. l=2n(n是正整數(shù))時，y0(x)退化為多項式，有限?？扇1=0保證解y(x)有限；b. l=2n+1(n是零或正整數(shù))時，y1(x)退化為多項式，有限。可取a0=0保證解y(x)有限；因此，要滿足上述邊界條件，即x=1保持有限，必須滿足：本征值是l(l+1)(l為零或正整數(shù))，相應(yīng)的本征函數(shù)是l階勒讓德多項式。通常把“解在x=1保持有限”說成是勒讓德方程的自然邊界條件。 勒讓德方程本征值問題 解在x=1保持有限 (自然邊界條件) 本征值是l(l+1),(l為零或正

5、整數(shù))， 相應(yīng)的本征函數(shù)是l階勒讓德多項式。習(xí)題：(P194.2)在x0=0的鄰域上求解y-xy=0解： p(x)=0，q(x)=-x ，x0=0是常點。設(shè)代入方程，比較系數(shù)得由上式(1) a2=a-1=0，(a-1=0) a5=0，.， a3k+2=0，(2)(3)故由遞推公式得：例(P195.3): 在x0=0的鄰域上求解埃爾米特(厄密)方程y-2xy+(-1)y=0，(量子力學(xué)諧振子問題中出現(xiàn))取什么數(shù)值可使級數(shù)解退化為多項式？這些多項式乘以適當(dāng)?shù)某?shù)使最高冪項成為 (2x)n形式，叫做厄密多項式，記為Hn(x)，寫出前幾個Hn(x)。解： x0=0是方程的常點，設(shè)則：代入方程，得推導(dǎo)得 ，其中且當(dāng)=4k-3(k=1，2.)時，y0(x)退化成多項式；當(dāng)=4k-1(k=1，2.)時，y1(x)退化成多項式；取k=1有=4k-3=1， y0(x)=1， 記為H0(x)=(2x)0=1=4k-1=3 ，y1(x)=x， 記為H1(x)=2y1(x)=(2x)1=2x取k=2有=4k-3=5，y0(x)=1-2x，