彈性力學(xué)-能量原理與變分法課件

1、 彈性理論問題需要解一系列偏微分方程組，并滿足邊界條件，這在數(shù)學(xué)上往往遇到困難。因此需要尋求近似的解法。變分法的近似解法是常用的一種方法。在數(shù)學(xué)上，變分問題是求泛函的極限問題。在彈性力學(xué)里，泛函就是彈性問題中的能量（功），變分法是求能量（功）的極值，在求極值時得到彈性問題的解，變分問題的直接法使我們比較方便地得到近似解。 本章首先給出計算形變勢能的表達式。利用功與能的關(guān)系，主要介紹了位移變分法和應(yīng)力變分法。1能量原理與變分法第十章 能量原理與變分法10-1 彈性體的變形比能與形變勢能10-3 位移變分法10-4 應(yīng)力變分方程與應(yīng)力變分方法110-2 位移變分方程與極小勢能原理能量原理與變分法1

2、0-1 彈性體的變形比能與形變勢能一 變形比能 在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，設(shè)彈性體受有全部六個應(yīng)力分量 。根據(jù)能量守恒定理，形變勢能的多少與彈性體受力的次序無關(guān)，而完全確定于應(yīng)力及形變的最終大小。從而有彈性體的形變勢能密度或比能：比能用應(yīng)力分量表示2能量原理與變分法比能用應(yīng)變分量表示其中因此，我們有比能對應(yīng)力分量的偏導(dǎo)3能量原理與變分法比能對應(yīng)變分量的偏導(dǎo)二 形變勢能 由于應(yīng)力分量和形變分量，進而比能 都是位置坐標的函數(shù)，所以整個彈性體的形變勢能 為： 將比能的三種表達形式代入，得形變勢能的三種積分形式4能量原理與變分法將幾何方程代入，形變勢能還可用位移分量來表示5能量原理與變分法一 變分及其性質(zhì) 高

3、等數(shù)學(xué)我們學(xué)過微分的概念，微分是變量的增量。那么什么是變分呢？變分是函數(shù)的增量，通常用表示。變分具有以下的性質(zhì)： 10-2 位移變分方程與極小勢能原理6能量原理與變分法二 位移變分方程 設(shè)彈性體在一定外力作用下，處于平衡狀態(tài)，發(fā)生的真實位移為 u,v,w，它們滿足位移分量表示的平衡方程，并滿足位移邊界條件和用位移表示的應(yīng)力邊界條件?，F(xiàn)在假設(shè)位移分量發(fā)生了位移邊界條件所容許的微小改變（虛位移）u 、v、w，這時外力在虛位移上作虛功，虛功應(yīng)和變形能泛函的增加相等，即這個方程就是所謂位移變分方程。其中X,Y,Z為體力分量， 為面力分量。7能量原理與變分法三 極小勢能原理 由于虛位移是微小的，因此在虛

4、位移的過程中，外力的大小和方向可以當(dāng)做保持不便，只是作用點有了改變。利用變分的性質(zhì)，位移變分方程可改寫為：設(shè)外力勢能為則 該式的意義是：在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的各組位移中，實際存在的一組位移應(yīng)使總勢能為最小。如果考慮二階變分，進一步的分析證明，對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，這個極值是極小值。因此，該式又稱為極小勢能原理。8能量原理與變分法 顯然，實際存在的位移，除了滿足位移邊界條件以外，還應(yīng)當(dāng)滿足位移表示的平衡方程和應(yīng)力邊界條件；現(xiàn)在又看到，實際存在的位移，除了滿足位移邊界條件外，還滿足位移變分方程。而且，通過運算，還可以從位移變分方程導(dǎo)出用位移表示的平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。于是可見：

5、位移變分方程可以代替平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。9能量原理與變分法 10-3 位移變分法其中u0,v0,w0 為設(shè)定的函數(shù)，它們的邊界值等于邊界上的已知位移；um 、vm、wm 為邊界值等于零的設(shè)定函數(shù)，Am、Bm、Cm為待定的系數(shù)，位移的變分由它們的變分來實現(xiàn)。 先設(shè)定滿足位移邊界條件的位移分量的表達式，其中包含若干個待定的系數(shù)，再根據(jù)極小勢能原理，決定這些系數(shù)。取位移分量的表達式如下：一 瑞次法10能量原理與變分法應(yīng)變能的變分為外力勢能的變分為位移分量的變分是11能量原理與變分法中，得到上面是個數(shù)為3m的線性代數(shù)方程組，求解后，代回位移分量的表達式，得到位移分量的近似解。這種方法稱為瑞次法

6、。代入12能量原理與變分法二 伽遼金法 將變分看做形變分量的函數(shù)，則由于所以應(yīng)用奧高公式，對上式中的第一項，我們有13能量原理與變分法對于其余各項也進行同樣的處理，則將上式代入位移變分方程，并歸項得14能量原理與變分法如果應(yīng)力邊界條件得到滿足，則上式簡化為這就是位移分量滿足位移邊界條件及應(yīng)力邊界條件時，位移變分所應(yīng)滿足的方程，稱為伽遼金變分方程。15能量原理與變分法 若取位移分量的表達式如下：使得位移邊界條件和應(yīng)力邊界條件都得到滿足，則將位移變分代入伽遼金方程，就得到16能量原理與變分法由于的任意性，它們的系數(shù)應(yīng)當(dāng)分別為零于是得將上列三方程中的應(yīng)力分量通過物理方程用形變分量表示，再通過幾何方程

7、用位移分量表示，簡化后即得：17能量原理與變分法 這樣就得到位移函數(shù)待定常數(shù)的線性方程組，求解后，代回位移分量的表達式，得到位移分量的近似解。這種方法稱為伽遼金法。 要注意的是：用位移變分法求位移分量，只須取幾項就可達到較高的精度，然而由此求出的應(yīng)力卻很不精確。為了求得的應(yīng)力充分精確，必須取更多的項。18能量原理與變分法三 應(yīng)用與舉例 將位移變分法應(yīng)用于平面問題，瑞次法和伽遼金法都將得到簡化。由于兩種平面問題都不必考慮 z 方向的位移 w ，且u 和 v 都不隨坐標 z 而變，所以位移分量的表達式可設(shè)為 在采用瑞次法時，為了決定系數(shù)Am及 Bm ，在z方向取一個單位長度，只須應(yīng)用如下二式來求解

8、線性方程組19能量原理與變分法其中形變勢能用位移分量表示形式簡化如下，平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題 在采用伽遼金法時，對于平面應(yīng)變問題，要應(yīng)用如下二式來求解線性方程組20能量原理與變分法對于平面應(yīng)力問題，要求解的方程組如以下二式形式 伽遼金方法的計算工作量較小，但對位移函數(shù)的要求較高，除了要求滿足位移邊界條件外，還要求根據(jù)位移函數(shù)求得的應(yīng)力應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。在特殊情況，如僅有位移邊界，而無應(yīng)力邊界，這也表示著應(yīng)力邊界條件得到滿足，這時用伽遼金方法十分方便。 瑞次法的要點是要找到滿足全部邊界條件的位移函數(shù)，而這種函數(shù)一般仍然難以找到，尤其在邊界不規(guī)整的情況下。所以瑞次方法的應(yīng)用在這一點上受到極大的

9、限制。21能量原理與變分法例1：如圖所示的薄板，不計體力，求薄板的位移解： 設(shè)位移它們是滿足位移邊界（左邊和下邊）的邊界條件的。 在平面應(yīng)力狀態(tài)下可得xyq1q2bao22能量原理與變分法即可得由即解得23能量原理與變分法例2：如圖所示，寬為2a而高度為b的矩形薄板，左右兩邊及下邊均被固定，而上邊的位移給定為不計體力，試求薄板的位移和應(yīng)力。 解： 取坐標軸如圖所示。設(shè)位移分量為aabboxy24能量原理與變分法可以滿足位移邊界條件，即 在該問題中，并沒有應(yīng)力邊界條件，因此可以認為所設(shè)位移既然滿足了位移邊界條件，也就滿足了全部邊界條件，這就可以應(yīng)用伽遼金法求解，使數(shù)學(xué)運算比較簡單一些。 注意體力

10、X=Y=0而m = 1，伽遼金方程成為25能量原理與變分法將位移分量的各二階導(dǎo)數(shù)以及代入伽遼金方程，進行積分并求解得26能量原理與變分法 為簡單起見，取b=a而=0.2，將A1和B1代入所設(shè)位移函數(shù)得應(yīng)用幾何方程及物理方程，可有上式求得應(yīng)力分量27能量原理與變分法 10-4 應(yīng)力變分方程應(yīng)力變分方法 設(shè)有任一彈性體，在外力的作用下處于平衡。命ij為實際存在的應(yīng)力分量，它們滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件，也滿足相容方程?，F(xiàn)在，假想體力不變,而應(yīng)力分量發(fā)生了微小的變化ij，即所謂虛應(yīng)力或應(yīng)力的變分，使應(yīng)力分量成為ij +ij ，設(shè)它們只滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。一 應(yīng)力變分方程 既然兩組應(yīng)力

11、分量都滿足同樣體力作用下的平衡微分方程，應(yīng)力分量的變分必然滿足無體力時的平衡方程，即28能量原理與變分法(a)(b)同時，在位移給定的邊界上（面力不可能給定），應(yīng)力分量的變分必然伴隨著面力分量的變分 。根據(jù)應(yīng)力邊界條件的要求，應(yīng)力分量的變分在邊界上必須滿足29能量原理與變分法 由于應(yīng)力分量的變分，形變勢能必有相應(yīng)的變分。把形變勢能看做應(yīng)力分量的函數(shù)，則形變勢能的變分應(yīng)為將下式代入30能量原理與變分法再將幾何方程代入，得 根據(jù)分步積分和奧高公式，對上式右邊的各項進行處理，例如最后可得31能量原理與變分法再將式（a）和（b）代入，即得這就是所謂應(yīng)力變分方程(卡斯提安諾變分方程)。方程的右邊代表面力

12、的變分在實際位移上所做的功。由此可見，由于應(yīng)力發(fā)生的變分，形變勢能的變分等于面力的變分在實際位移上所做的功。32能量原理與變分法 如果在某一部分邊界上，面力是給定的，則該部分邊界上的面力不能有變分，于是 ，而應(yīng)力變分方程右邊的相應(yīng)積分項成為零；如果在某一部分邊界上，給定的位移等于零，則應(yīng)力變分方程右邊的相應(yīng)積分項也成為零。因此，應(yīng)力變分方程右邊的積分，只須在這樣的邊界上進行：面力沒有給定，而給定的位移又不等于零。二 極小余能原理 將應(yīng)力變分方程改寫為由于在需要積分的邊界上，位移是給定的，在變分過程中保持不變，所以上式可以改寫為33能量原理與變分法 中括號內(nèi)的表達式稱為彈性體的余能。因此，在滿足

13、平衡方程和應(yīng)力邊界條件的各組應(yīng)力中間，實際存在的一組應(yīng)力應(yīng)使彈性體的余能成為極值。如果考慮二階變分，可以證明這個極值是極小值，所以上述結(jié)論稱為極小余能原理。 以前看到，實際存在的應(yīng)力，除了滿足平衡微分方程以外，還應(yīng)當(dāng)滿足相容方程?，F(xiàn)在又看到，實際存在的應(yīng)力，除了滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件以外，還滿足應(yīng)力變分方程。而且，通過運算，還可以從應(yīng)力變分方程導(dǎo)出相容條件。于是可見，應(yīng)力變分方程可以代替相容條件。34能量原理與變分法三 應(yīng)力變分法 設(shè)定應(yīng)力分量的表達式，使其滿足平衡方程和應(yīng)力邊界條件，但其中包含若干待定系數(shù)，然后根據(jù)應(yīng)力變分方程決定這些系數(shù)。應(yīng)力分量一般可設(shè)為 其中Am為互不依賴的m個

14、系數(shù)。ij0是滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件的設(shè)定函數(shù)，ijm 是滿足“無體力和面力作用時的平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件”的設(shè)定函數(shù)。這樣，不論系數(shù)Am如何取值，ij總能滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。 注意：應(yīng)力的變分只是由系數(shù)Am的變分來實現(xiàn)。(c)35能量原理與變分法 如果在彈性體的每一部分邊界上，不是面力被給定，便是位移等于零，則應(yīng)力變分方程簡化為顯然，形變勢能U是Am的二次函數(shù)，因而(d)式將是Am的一次方程。這樣的方程共有 m 個，恰好可以用來求解系數(shù)Am，回代(c)式，求得應(yīng)力分量。即(d) 如果在某一部分邊界上，位移是給定的，但并不等于零，則在這一部分邊界上須直接應(yīng)用變分方程，即

15、36能量原理與變分法在這里，u、v、w是已知的，積分只包括該部分邊界。將面力的變分與應(yīng)力的變分兩者之間的關(guān)系，即代入方程的右邊積分后，將得出如下的結(jié)果：其中Bm是常數(shù)。另一方面，方程的左邊37能量原理與變分法因而得上式仍然是Am的一次方程，總共有m個，且各個Am是互不相關(guān)的，因而可以求出所有的Am ，回代(c)式，求得應(yīng)力分量。 在應(yīng)用應(yīng)力變分法時，要使設(shè)定的應(yīng)力分量既滿足應(yīng)力邊界條件，又滿足平衡微分方程，這往往是很困難的。但是，在某些類型的問題中存在著應(yīng)力函數(shù)，而且用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量又能滿足平衡微分方程。這時，我們就只須設(shè)定應(yīng)力函數(shù)的表達式，使它給出的應(yīng)力分量能滿足應(yīng)力邊界條件，困難就

16、大大減少了。38能量原理與變分法 其中Am為互不依賴的m個系數(shù)。0給出的應(yīng)力滿足實際的應(yīng)力邊界條件，m 給出的應(yīng)力滿足無面力時的應(yīng)力邊界條件。 由于應(yīng)力分量的數(shù)量較多，確定起來有困難，通常用應(yīng)力函數(shù)方法。 在平面應(yīng)力問題中，如果體力分量為常數(shù)，則存在應(yīng)力函數(shù)。將應(yīng)力函數(shù)設(shè)定為四 應(yīng)力函數(shù)方法 在平面應(yīng)力狀態(tài)，用應(yīng)力分量表示的形變勢能為39能量原理與變分法 如果考慮單連體，且是應(yīng)力邊界問題，應(yīng)力分量應(yīng)與 無關(guān)，可設(shè)其為零。則兩類平面問題皆簡化為用應(yīng)力函數(shù)表示為 對于平面應(yīng)變問題40能量原理與變分法 在應(yīng)力邊界問題中，因為面力不能有變分，所以變分方程簡化為U=0,因此系數(shù)應(yīng)滿足 上式為線性方程組，

17、求解Am后，得到應(yīng)力函數(shù)的近似解，最后得到各應(yīng)力分量。將應(yīng)力函數(shù)的表達式代入，得 41能量原理與變分法 由于是近似解，應(yīng)力分量不能精確滿足相容條件，由應(yīng)力分量求得的應(yīng)變分量也不能精確滿足變形協(xié)調(diào)條件，不能根據(jù)幾何方程求得位移分量。 由上式即可解得系數(shù)Am。從而確定應(yīng)力函數(shù)，再由應(yīng)力函數(shù)求得各應(yīng)力分量。 應(yīng)力函數(shù)法的要點是要找到滿足全部邊界條件的應(yīng)力函數(shù)，而這種函數(shù)一般仍然難以找到，尤其在邊界不規(guī)整的情況下。所以應(yīng)力方法的應(yīng)用在這一點上受到極大的限制。42能量原理與變分法例題3：設(shè)有矩形薄板，體力不計，在兩對邊上受有按拋物線分布的拉力，其最大集度為 q ，圖示。試求板的應(yīng)力。 解：在圖示坐標下，

18、邊界條件是取xyaabbq43能量原理與變分法則由給出的應(yīng)力分量滿足邊界條件。而由所對應(yīng)的應(yīng)力能滿足無面力時的邊界條件。 將以及體力X=Y=0代入下式中44能量原理與變分法進行積分，并簡化以后得為簡單起見，令a=b，則代入中，并令a=b，再求應(yīng)力分量得45能量原理與變分法能量原理與變分法習(xí)題10.1 鉛直平面內(nèi)的正方形薄板，邊長為2a，四邊固定，只受重力作用，設(shè) ，試取位移分量的表達式為用瑞次法求解位移分量(取A1項及B1項)及應(yīng)力分量。aaaaxy解： 當(dāng)只取A1項及B1項時：能量原理與變分法形變勢能現(xiàn)計算 和 能量原理與變分法在用瑞次法時，要求由解之得能量原理與變分法所以能量原理與變分法習(xí)題10.2 簡支梁受均布荷