第5章5-7離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)ppt課件

1、第五章 離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)Discrete-time Stochastic Signal5.5 相關(guān)序列和協(xié)方差序列的性質(zhì)根據(jù)相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)的定義，稍加推導(dǎo)就可得到它們的一些很有用的性質(zhì)。我們把這些性質(zhì)列舉如下，以備未來參考。思索兩個(gè)實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程xn和yn，它們的自相關(guān)序列、自協(xié)方差序列、相互關(guān)序列和互協(xié)方差序列分別是性質(zhì)1：當(dāng)mx=0和my=0時(shí)，Cxx(m)=Rxx(m)和Cxy(m)=Rxy(m)。證明：根據(jù)定義有Rxx(m)=Exnxn+mCxx(m)=E(xn-mx)(xn+m-mx) =Exnxn+m-mxExn-mxExn+m+m2x =Rxx(m)-m2xRxy(m)=E

2、xnyn+mCxy(m)=E(xn-mx)(yn+m-my) =Exnyn+m-mxEyn+m-myExn+mxmy =Rxy(m)-mxmy性質(zhì)2：證明：根據(jù)定義有 Rxx(0)=Exnxn=Ex2n Cxx(0)=E(xn-mx)(xn-mx) =E(xn-mx)2 =2x性質(zhì)3：證明：根據(jù)定義有 Rxx(-m)=Exnxn-m 令n-m=n，即n=n+m，那么上式為 Rxx(-m)=Exn+mxn=Rxx(m) 根據(jù)性質(zhì)1和上式，得到 Cxx(-m)=Rxx(-m)-m2x=Rxx(m)-m2x=Cxx(m)用類似的方法不難證明Rxy(m)=Ryx(-m)和Cxy(m)=Cyx(-m)。

3、性質(zhì)4：特例：證明：由于已假設(shè)xn和yn都是實(shí)隨機(jī)過程，因此以下不等式成立：將左式左端展開，得到所以令xn=yn，那么上式化簡(jiǎn)為其他兩式可用類似的方法證明。從下式開場(chǎng)證明。性質(zhì)5：假設(shè)yn=xn-n0，那么有證明：令n-n0=n，根據(jù)定義和假設(shè)條件yn=xn-n0，有根據(jù)性質(zhì)1，得到由于my=Eyn=Exn-n0=mx，故上式變?yōu)槔眯再|(zhì)5的第一個(gè)結(jié)論，即Ryy(m)=Rxx(m)，那么上式成為性質(zhì)6：在隨機(jī)過程中，兩隨機(jī)變量的時(shí)間間隔越大，它們的相關(guān)性越小。時(shí)間間隔趨于無窮大的兩隨機(jī)變量，它們之間不再相關(guān)。這一性質(zhì)可用以下公式表示：根據(jù)性質(zhì)1，由上列兩式可以得出和性質(zhì)6闡明：相關(guān)序列和協(xié)方差

4、序列都是非周期序列，而且隨著m值的添加逐漸衰減，當(dāng)m值很大時(shí)，序列值已趨近為零。因此，相關(guān)序列和協(xié)方差序列的Z變換或傅里葉變換通常是存在的。上面6個(gè)性質(zhì)可歸納成圖5.4所示的圖形。記住了這個(gè)圖，也就記住了這些性質(zhì)。從這6個(gè)性質(zhì)可以得出以下重要結(jié)論：(1)工程實(shí)踐中經(jīng)常要處置的信號(hào)是不可預(yù)知的具有無限能量的非周期信號(hào)，這類信號(hào)不滿足絕對(duì)可和條件，甚至不滿足乘以指數(shù)衰減序列后絕對(duì)可和的條件，因此它們的傅里葉變換和Z變換都不存在。但是，假設(shè)將這類信號(hào)看成是一個(gè)離散隨機(jī)過程的取樣序列，那么，由于其自相關(guān)序列和自協(xié)方差序列都是非周期序列，而且當(dāng)m趨于無窮大時(shí)，自協(xié)方差序列的值將衰減為零，在均值等于零的條

5、件下，其自相關(guān)序列的值也將衰減為零，這闡明自相關(guān)序列和自協(xié)方差序列都是有限能量序列，它們的Z變換和傅里葉變換是存在的，因此可以在頻域或Z域中表示和分析這些信號(hào)。(2)自相關(guān)序列不僅反映出隨機(jī)過程中不同時(shí)辰的隨機(jī)變量之間相關(guān)性的大小，而且可以根據(jù)自相關(guān)序列求出隨機(jī)過程的均值、均方值和方差等數(shù)字特征，正如性質(zhì)6、性質(zhì)2所闡明的那樣。因此，自相關(guān)序列或自協(xié)方差序列是較全面地描畫隨機(jī)過程特性的重要參量。5.6 功率譜1、自協(xié)方差序列和自相關(guān)序列的傅里葉變換和z變換 在研討確定性信號(hào)時(shí)，人們經(jīng)常用傅里葉變換或Z變換對(duì)信號(hào)進(jìn)展頻譜分析。如今來討論離散隨機(jī)信號(hào)的頻譜分析問題。 離散隨機(jī)過程是它的無限多個(gè)取樣

6、序列的集合。實(shí)踐中要處置的離散時(shí)間信號(hào)，僅僅是無限多個(gè)取樣序列中的一個(gè)。即使對(duì)于遍歷性的平穩(wěn)隨機(jī)過程，也只能根據(jù)它的一個(gè)取樣序列，來計(jì)算出它的均值、方差、均方值、自相關(guān)序列以及協(xié)方差序列等特征量，這些特征量都是對(duì)隨機(jī)過程的時(shí)域特征的描畫。 隨機(jī)信號(hào)不僅不能夠用確定信號(hào)的表示方法來描畫，而且它們通常都是無限時(shí)寬和無限能量的信號(hào)，因此它們的傅里葉變換和Z變換都是不存在的。即使計(jì)算它的Z變換，得到的Z變換往往都沒有收斂域。即使有收斂域，這個(gè)Z變換對(duì)應(yīng)的頻譜與其它的取樣序列的頻譜通常也是不同的。但是，隨機(jī)過程的自協(xié)方差序列或自相關(guān)序列卻能較全面描畫隨機(jī)過程的特征，包括時(shí)域特征和頻域特征。由于不論用哪個(gè)

7、取樣序列來計(jì)算自協(xié)方差序列或自相關(guān)序列，得到的結(jié)果總是一樣的。換句話說，即使是由一個(gè)取樣序列計(jì)算出來的自相關(guān)序列或自協(xié)方差序列，也能作為對(duì)隨機(jī)過程的本質(zhì)描畫。此外，前節(jié)曾經(jīng)指出，自協(xié)方差序列和在均值等于零情況下的自相關(guān)序列都是有限能量序列，它們的傅里葉變換和Z變換總是存在的。因此，在對(duì)離散隨機(jī)過程進(jìn)展頻譜分析時(shí)，要用自協(xié)方差序列或自相關(guān)序列取代隨機(jī)過程的取樣序列。2、功率譜的定義協(xié)方差序列Cxx(m)的Z變換：稱為平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜。傳統(tǒng)上，人們把功率譜定義成自相關(guān)序列Rxx(m)的Z變換。但那樣定義會(huì)帶來不方便，由于當(dāng)mx0時(shí)，根據(jù)式(5.57)可知，自相關(guān)序列將不是一個(gè)有限能量序列，嚴(yán)厲

8、地說，它的Z變換是不存在的。為了抑制這個(gè)困難，不得不把Z變換的定義推行，即允許在z1(或0) 處功率譜有一個(gè)沖激存在，由于根據(jù)Z變換的終值定理(書本P.49)，有這闡明，在z1處Sxx(z)有一個(gè)極點(diǎn)，或者說Sxx(ej)在=0處存在一個(gè)沖激。為減少這個(gè)費(fèi)事，常把功率譜定義為自協(xié)方差序列的Z變換。采用這個(gè)定義，對(duì)于mx0的隨機(jī)過程而言，由于Cxx(m)Rxx(m)，所以如今的定義與傳統(tǒng)的定義是一致的；對(duì)于mx0的隨機(jī)過程而言，由于Cxx(m)是有限能量序列，它的Z變換一直是存在的，所以就無需對(duì)Z變換的定義進(jìn)展推行。在今后的討論中，總是假定隨機(jī)信號(hào)的均值為零，即使對(duì)于均值不為零的隨機(jī)信號(hào)，也可以

9、將其均值置為零，即重新定義一個(gè)零均值隨機(jī)信號(hào)xnExn，這對(duì)于隨機(jī)過程的頻譜分析不會(huì)帶來任何影響。因此，把平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜的定義改寫成下式：(5.59)對(duì)于該式，假定了mx=0。3、功率譜的性質(zhì)(1)根據(jù)自相關(guān)序列的性質(zhì)3即書本P.168 式(5.52)，一個(gè)實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)序列是時(shí)間差m的偶函數(shù)，即Rxx(m)Rxx(m)，由Z變換的性質(zhì)可以得出功率譜的一個(gè)性質(zhì)：(5.60)即Sxx(z)的極點(diǎn)是關(guān)于單位圓對(duì)稱的。現(xiàn)設(shè)Sxx(z)最接近于單位圓的一個(gè)極點(diǎn)位于|z|Ra1的圓周上必存在一個(gè)對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)，該極點(diǎn)也是最接近于單位圓的，不過它處在單位圓外。因此，Sxx(z)的收斂域是一個(gè)包含

10、單位圓在內(nèi)的環(huán)形區(qū)域Ra|z|Ra-1，這里0Ra1；假設(shè)Ra1那么Sxx(z)沒有收斂域。在0Ra1的情況下，由于Sxx(z)的收斂域包含單位圓，所以Rxx(m)的傅里葉變換總是存在的，即(5.61)今后，把式(5.59)和(5.61)都作為功率譜的定義。留意，Sxx(ej)是的周期函數(shù)，周期是2。式(5.61)有時(shí)稱為維納-辛欣定理。式(5.59)和(5.61)對(duì)應(yīng)的逆變換公式分別為和一個(gè)隨機(jī)序列x(n)的自相關(guān)函數(shù)Rxx(m)與該序列的自功率譜密度函數(shù)Sxx(ej)也是一個(gè)傅里葉變換對(duì)。由上式可以得到根據(jù)自相關(guān)序列的性質(zhì)2，上式即該式闡明，功率譜在一個(gè)周期內(nèi)的平均值就是隨機(jī)過程的平均功率

11、。圖5.5畫出了功率譜函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表示圖。函數(shù)曲線Sxx()在-頻率區(qū)間所圍的面積恰等于隨機(jī)過程的平均功率的2倍即2Ex2。因此，Sxx()具有功率密度的物理意義。所以，功率譜實(shí)踐上是指功率密度譜，有時(shí)簡(jiǎn)稱為譜。(2)實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜是非負(fù)的，即(3)實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜是實(shí)函數(shù)，即式中，*號(hào)表示復(fù)共軛。(4)實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜是的偶函數(shù)，即從變換域的觀念看，相關(guān)函數(shù)是一座橋梁：時(shí)域(序列)相關(guān)域(自相關(guān)函數(shù)) 頻域(自功率譜)。自相關(guān)函數(shù)將無限能量序列轉(zhuǎn)變?yōu)橛邢弈芰啃蛄校瑢㈦S機(jī)序列轉(zhuǎn)變?yōu)榇_定性序列，從而為譜分析鋪平了道路。但是，在這過程中失去了相位信息。所以，從頻譜可以恢復(fù)

12、出原時(shí)域信號(hào)，但從自功率譜不能恢復(fù)出原隨機(jī)序列，只能得出序列的統(tǒng)計(jì)特性Rxx(m)。類似地，可以定義兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程xn和yn的互功率譜：或根據(jù)相互關(guān)序列的性質(zhì)3(式(5.52)，可以得出互功率譜具有以下性質(zhì)：自功率譜是實(shí)偶的，互功率譜卻是復(fù)函數(shù)。由于Rxy(m)既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)，不像Rxx(m)是實(shí)偶的。相關(guān)函數(shù)和功率譜函數(shù)分別從相關(guān)域和頻域這兩個(gè)側(cè)面去描畫隨機(jī)序列，它們反映的都是隨機(jī)序列的統(tǒng)計(jì)特性，可用于信號(hào)檢測(cè)、時(shí)延分析，數(shù)字系統(tǒng)設(shè)計(jì)和分析、缺點(diǎn)診斷，信號(hào)譜分析等。例5.8 假設(shè)知零均值白噪聲隨機(jī)過程的自相關(guān)序列為Rxx(m)=2x(m)，這里2x是隨機(jī)過程的方差。求該隨機(jī)過程

13、的功率譜。解：由式(5.59)求得即白噪聲的功率譜是常數(shù)，并等于隨機(jī)過程的方差。例5.9 相位為平穩(wěn)隨機(jī)過程的正弦序列依然是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程，它的自相關(guān)序列為式中，A是正弦序列的振幅，0是正弦序列的角頻率。求該正弦序列的功率譜。解：由式(5.61)可以計(jì)算得到例5.10 設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)序列為求該隨機(jī)過程的功率譜。解：以上3個(gè)例子中得到的功率譜都是實(shí)的、非負(fù)的偶函數(shù)。5.7 離散隨機(jī)信號(hào)經(jīng)過線性非移變系統(tǒng)在數(shù)字信號(hào)處置的廣泛運(yùn)用領(lǐng)域中，經(jīng)常需求用線性移不變系統(tǒng)對(duì)信號(hào)進(jìn)展濾波或處置。這些信號(hào)通常都是遍歷性平穩(wěn)隨機(jī)過程的取樣序列。本節(jié)討論當(dāng)這樣的離散隨機(jī)信號(hào)作用于一個(gè)線性移不變系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)所

14、產(chǎn)生的呼應(yīng)，詳細(xì)要討論的是系統(tǒng)輸出的數(shù)字特征(均值、方差、自相關(guān)序列和功率譜)與輸入的數(shù)字特征之間的關(guān)系。設(shè)線性非移變系統(tǒng)的沖激響運(yùn)用h(n)表示，加在系統(tǒng)輸入端的離散隨機(jī)信號(hào)x(n)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程(輸入隨機(jī)過程)的一個(gè)取樣序列，系統(tǒng)產(chǎn)生的輸出信號(hào)(呼應(yīng))y(n)也是一個(gè)離散隨機(jī)信號(hào)，把它看成是另一隨機(jī)過程(輸出隨機(jī)過程)的一個(gè)取樣序列。不論x(n)是確定性的還是隨機(jī)性的信號(hào)，對(duì)于系統(tǒng)來說是沒有區(qū)別的，系統(tǒng)的沖激呼應(yīng)、輸入信號(hào)和輸出呼應(yīng)之間總是存在著以下關(guān)系：設(shè)輸入隨機(jī)過程的均值、方差、自相關(guān)序列和功率譜分別為mx、2x、Rxx(m)和Sxx(ej)，如今來計(jì)算輸出隨機(jī)過程的相應(yīng)的特征參數(shù)

15、，并討論輸入隨機(jī)過程與輸出隨機(jī)過程之間這些參數(shù)的關(guān)系。系統(tǒng)的輸出呼應(yīng)y(n)是輸出隨機(jī)過程yn的一個(gè)取樣序列，根據(jù)遍歷性假設(shè)，可以由y(n)求出yn的均值為(1)輸出隨機(jī)過程y(n)的均值my由于輸入隨機(jī)過程是平穩(wěn)隨機(jī)過程，故上式中的Ex(n-k)等于mx，于是上式化為式中，H(ej0)是系統(tǒng)的頻率特性在=0時(shí)的值。因此，輸出隨機(jī)過程的均值是與時(shí)間n無關(guān)的一個(gè)常量，它與輸入隨機(jī)過程的均值mx成正比例關(guān)系，比例常數(shù)是系統(tǒng)頻率特性在零頻率上的取值。(2)輸出隨機(jī)過程的自相關(guān)序列Ryy(n, n+m)由該式看出輸出隨機(jī)過程的自相關(guān)序列只與時(shí)間差m有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)的選取(即n的選取)無關(guān)，故可將Ry

16、y(n, n+m)表示成Ryy(m)，上式遂化為(5.72)綜合以上討論可看出，輸出隨機(jī)過程的均值為常數(shù)，其自相關(guān)序列只與時(shí)間差有關(guān)，故它是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程。令r-kl，那么式(5.72)可寫成(5.73)式中，(5.74) 它是系統(tǒng)沖激呼應(yīng)h(n)的(確定性)自相關(guān)序列。由式(5.73)可以看出，系統(tǒng)輸出隨機(jī)過程的自相關(guān)序列，等于輸入隨機(jī)過程的自相關(guān)序列與系統(tǒng)沖激呼應(yīng)的自相關(guān)序列的線性卷積。 由于在確定性離散時(shí)間信號(hào)作用于線性非移變系統(tǒng)的情況下，系統(tǒng)的輸出呼應(yīng)等于輸入信號(hào)與系統(tǒng)沖激呼應(yīng)的線性卷積，因此，如今討論的隨機(jī)性離散時(shí)間信號(hào)作用于線性非移變系統(tǒng)的情況，與其非常類似。(3)輸出隨機(jī)過程的

17、功率譜Syy(z)假設(shè)輸入隨機(jī)過程的均值mx0，因此輸出隨機(jī)過程的均值亦為零。這樣，輸入和輸出隨機(jī)過程的協(xié)方差序列都分別與它們各自的自相關(guān)序列相等。對(duì)式(5.73)左右兩端進(jìn)展Z變換，得到式中，Syy(z)和Sxx(z)分別是輸出和輸入隨機(jī)過程的功率譜，它們分別等于Ryy(m)和Rxx(m)的Z變換，即Shh(z)是Rhh(m)的Z變換，設(shè)h(n)是實(shí)序列，從式(5.74)可以看出，Rhh(l)是h(n)和h(-n)的線性卷積，那么Shh(z)為Rhh(l)的z變換對(duì)應(yīng)于h(n)和h(-n)的z變換的乘積，那么有(5.76)式(5.76)中，H(z)是系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。假設(shè)h(n)是復(fù)序列，那么

18、(5.77)于是式(5.75)可寫成(5.78)由上式可以看出，假設(shè)H(z)在z=zp處有一個(gè)極點(diǎn)，那么Syy(z)將在z=zp和共軛倒數(shù)位置z=1/z*p上各有一個(gè)極點(diǎn)；類似地，假設(shè)H(z)在z=z0處有一個(gè)零點(diǎn)，那么Syy(z)將在互成共軛倒數(shù)關(guān)系的兩個(gè)位置z=z0和z=1/z*0上各有一個(gè)零點(diǎn)。在h(n)為實(shí)序列的情況下，將式(5.76)代入式(5.75)，有式中，|H(z)|是H(z)的模。假設(shè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么Syy(z)的收斂域包含單位圓，由上式可以得出由式(5.80)看出，輸出隨機(jī)過程的功率譜等于輸入隨機(jī)過程的功率譜與系統(tǒng)頻率特性幅度平方的乘積。當(dāng)輸入信號(hào)功率譜為常數(shù)時(shí)(例如輸入

19、隨機(jī)過程是一個(gè)白噪聲過程)，系統(tǒng)的輸出信號(hào)的功率譜與系統(tǒng)頻率特性幅度的平方具有完全類似的外形。(4)輸入隨機(jī)過程與輸出隨機(jī)過程的相互關(guān)序列Rxy(m)(5.81)上式闡明，系統(tǒng)的輸入信號(hào)與輸出信號(hào)之間的相互關(guān)序列，等于輸入信號(hào)自相關(guān)序列與系統(tǒng)沖激呼應(yīng)的線性卷積。式(5.74)定義了系統(tǒng)沖激呼應(yīng)的自相關(guān)序列Rhh(l)，實(shí)踐上它就是h(m)與h(-m)的線性卷積，代入式(5.73)，得到(5.82)思索到式(5.81)的結(jié)果，上式可寫成：(5.83)該式闡明，輸出隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)序列，可以經(jīng)過輸入與輸出間的相互關(guān)序列與系統(tǒng)沖激呼應(yīng)進(jìn)展相關(guān)計(jì)算來得到(留意，與h(-m)進(jìn)展線性卷積運(yùn)算等效于與h(m)進(jìn)展相關(guān)運(yùn)算)。式(5.81)、式(5.82)和式(5.83)可以用圖5.6來闡明:式(5.81)是一個(gè)重要結(jié)果。假設(shè)輸入是一個(gè)零均值的平穩(wěn)白噪聲隨機(jī)過程，它的方差為2x，自相關(guān)序列是一個(gè)沖激Rxx(m)= 2x(m)，功率譜等于常數(shù)Sxx(z)2x，這時(shí)式(5.81)化為(5.84)上式對(duì)應(yīng)的Z變換為或由此得到(5.85)假設(shè)計(jì)算得到了系統(tǒng)輸